精品解析：安徽省滁州市天长市2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题

实验中学教育集团2024-2025学年七年级下册期中数学测试卷 （时间：120分钟 分值：150分 七下第6章～8章） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题．（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. （每两个1之间依次增加一个0） D. 2. 华为芯片厚度仅为米，这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 当时，比较两个代数式的大小关系：______（ ） A. 大于 B. 等于 C. 小于或等于 D. 大于或等于 6. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 7. 若实数，满足，，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 8. 已知三个实数a，b，c，满足，，，则（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 9. 按一定规律排列的单项式：，，，，……，则第7个单项式是（ ） A. B. C. D. 10. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作运行了两次就停止，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 的平方根是_________ 12. 若，，则______． 13. 因式分解： ______． 14. 已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），甲、乙的面积分别为，． （1）______0（填“”“”或“”）； （2）若满足的整数有且只有3个，则的值是______． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算：． 16. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 已知实数，满足，是的整数部分．求的平方根． 19. 实验中学组织七年级学生赴龙岗红色基地研学旅行，报名人数超过630人，在安排住宿时发现，若每间住8人，则有120人无法入住；若每间宿舍住10人，则只有一间宿舍不空也不满，求参加研学的学生人数． 20. 观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：．………… （1）根据上述规律，请写出第5个等式：_______． （2）猜想：_______． （3）利用（2）中的结论，求的值． 21. 已知某品牌的饮料有大瓶装与小瓶装之分．某超市花了3500元购进一批该品牌的饮料共1000瓶，其中大瓶和小瓶饮料的进价及售价如下表所示： 大瓶 小瓶 进价（元/瓶） 5 2 售价（元/瓶） 7 3 （1）该超市购进大瓶和小瓶饮料各多少瓶？ （2）在大瓶饮料售出200瓶，小瓶饮料售出100瓶后，商家决定将剩下的小瓶饮料的售价降低0.5元销售，并把其中一定数量的小瓶饮料作为赠品，在顾客一次性购买大瓶饮料时，每满2瓶就送1瓶小瓶饮料，送完即止．超市要使这批饮料售完后获得的利润不低于1250元，那么小瓶饮料作为赠品最多只能送出多少瓶？ 22. 某位同学学习实数之后整理的一篇数学笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． *年*月*日 星期二 晴 今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．有这样一个探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A、，则点A对应的数为，点对应的数为．    类比思考：如图3，改变图2中正方形的位置，以数字1所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ （1）上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想______． A．方程思想 B．数形结合思想 C．化归思想 （2）“类比思考”中，线段的长为______，的长为______；则点B表示的数为______，点表示的数为______． （3）拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图4所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点P．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 23. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式．再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：______； （2）若，求的值； （3）求证，若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学教育集团2024-2025学年七年级下册期中数学测试卷 （时间：120分钟 分值：150分 七下第6章～8章） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题．（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. （每两个1之间依次增加一个0） D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查有理数和无理数的定义，掌握有理数和无理数的定义是解题的关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、（每两个1之间依次增加一个0）是无理数，符合题意； D、是有理数的，不符合题意． 故选：C． 2. 华为芯片厚度仅为米，这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学计算法的运用，掌握科学记数法的表示方法，正确确定的值是关键．科学记数法的表示形式为，确定的值的方法：当原数的绝对值大于等于 10 时，把原数变为时，小数点向左移动位数即为的值；当原数的绝对值小于 1 时，把原数变为时，小数点向右移动位数的相反数即为的值，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列计算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可； B．根据二次根式的性质进行计算，然后判断即可； C．根据单项式除以单项式法则和同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可； D．根据完全平方公式和合并同类项法则进行计算，然后判断即可． 【详解】解：A．∵，∴此选项的计算结果不是，故此选项不符合题意； B．∵当时，，当时，，∴此选项的计算结果不是，故此选项不符合题意； C．∵，∴此选项的计算结果不是，故此选项不符合题意； D．∵，∴此选项的计算结果是，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除法则、单项式除以单项式法则、二次根式的性质、完全平方公式和合并同类项法则． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的解在数轴上的表示方法. 根据不等式的解在数轴上的表示方法判断即可． 【详解】解：∵， ∴不等式的解集表示在数轴上的起点是实心圆点，且向左画， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 5. 当时，比较两个代数式的大小关系：______（ ） A. 大于 B. 等于 C. 小于或等于 D. 大于或等于 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，整式的加减计算，利用作差法求出的结果，再判断出计算结果的符号即可得到结论． 【详解】解； ， ， ， ， ， 故选：C． 6. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，如果一个整式满足的形式，这个整式就是完全平方式，因为是完全平方式，所以，解方程即可求出的值． 【详解】解：是完全平方式， ， ， 解得：，， 的值是或. 故选：A． 7. 若实数，满足，，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式将已知条件转化为所求代数式的形式． 本题考查了代数式的变形与求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】利用完全平方公式：， 将，代入：， ∴． 故选：A． 8. 已知三个实数a，b，c，满足，，，则（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是实数的性质，不等式的性质，由条件可得，可得，，再进一步分析即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故选：C． 9. 按一定规律排列的单项式：，，，，……，则第7个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式规律题，找到规律是解题的关键．根据题意，可得单项式的系数的绝对值为，序数为奇数时，符号为正，序数为偶数时，符号为负，字母为，次数从 0 次开始，据此即可求解． 【详解】解：∵按一定规律排列的单项式：，，，，……， ∴第个单项式为， ∴第 7 个单项式是． 故选：D． 10. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作运行了两次就停止，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 根据运行程序，第一次运算结果小于等于 95 ，第二次运算结果大于 95 列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ， 故选：A． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 的平方根是_________ 【答案】 【解析】 【分析】先确定，再根据平方根定义可得的平方根是±. 【详解】因为，6的平方根是±，所以的平方根是±. 故正确答案为±. 【点睛】此题考查了算术平方根和平方根定义.此题关键要看清符号所表示的意义. 12. 若，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用．把原式分别变形为，再整体代入即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 13. 因式分解： ______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 直接利用提公因式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（为正整数），甲、乙的面积分别为，． （1）______0（填“”“”或“”）； （2）若满足的整数有且只有3个，则的值是______． 【答案】 ①. ②. 1012 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式法则、绝对值的性质和求不等式组的特殊解，能够作差比较是解题的关键． （1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）先计算出，根据整数n有且只有2个，列出不等式，根据m为正整数即可求值． 【详解】解：（1）∵，， ， ∵m为正整数， ， ， 故答案为：； （2），的整数n有且只有2个， ∴这2个整数解为2025，2024， ， 解得， ∵为正整数 ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算．首先根据负指数幂、平方、绝对值、立方根的定义计算出算式中的各部分，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 16. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 解集在数轴上表示如下； 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．熟练掌握解一元一次不等式组，在数轴上表示解集是解题的关键． 先分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， 由， 解得，， 由， 解得，， ∴不等式组的解集为； 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，10 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据完全平方公式和平方差公式可以将括号内的式子展开，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式计算，最后将x、y的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 18. 已知实数，满足，是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质、无理数的估算、平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 根据非负数的性质求出、的值，估算出，即可得出的值，求出的值，再求平方根即可． 【详解】解：，，， ，， ，， ， ∴ ∴ ∵是的整数部分 ， ∴，16的平方根是 ∴的平方根是． 19. 实验中学组织七年级学生赴龙岗红色基地研学旅行，报名人数超过630人，在安排住宿时发现，若每间住8人，则有120人无法入住；若每间宿舍住10人，则只有一间宿舍不空也不满，求参加研学的学生人数． 【答案】参加研学的学生人数632人． 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，设宿舍有间，则学生数有人，列出不等式组求解即可． 【详解】解：设宿舍有间，则学生数有人，则 ， 解得， ∵为整数， ∴， ∴（人） 答：参加研学的学生人数632人． 20. 观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：．………… （1）根据上述规律，请写出第5个等式：_______． （2）猜想：_______． （3）利用（2）中的结论，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键： （1）根据已知等式写成第个等式即可； （2）观察可知第n个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母a的指数降序排列的，且每一项只含有a、b两个字母，每一项的系数都为1，字母的指数之和为n，等式右边是，据此可得答案； （3）根据（2）中的规律求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，第五个等式为； 【小问2详解】 解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． ……， 以此类推可知，； 【小问3详解】 解：由（2）可知， ． 21. 已知某品牌的饮料有大瓶装与小瓶装之分．某超市花了3500元购进一批该品牌的饮料共1000瓶，其中大瓶和小瓶饮料的进价及售价如下表所示： 大瓶 小瓶 进价（元/瓶） 5 2 售价（元/瓶） 7 3 （1）该超市购进大瓶和小瓶饮料各多少瓶？ （2）在大瓶饮料售出200瓶，小瓶饮料售出100瓶后，商家决定将剩下的小瓶饮料的售价降低0.5元销售，并把其中一定数量的小瓶饮料作为赠品，在顾客一次性购买大瓶饮料时，每满2瓶就送1瓶小瓶饮料，送完即止．超市要使这批饮料售完后获得的利润不低于1250元，那么小瓶饮料作为赠品最多只能送出多少瓶？ 【答案】（1）该超市购进大瓶饮料500瓶，小瓶饮料500瓶 （2）小瓶饮料作为赠品最多只能送出20瓶 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组及不等式的应用，理清题意得到相等关系和不等关系，并据此列出方程组或不等式是解题的关键． （1）设该超市购进大瓶饮料x瓶，小瓶饮料y瓶，根据：“该品牌的饮料共1000瓶、购进大、小瓶饮料共花费3500元”列不等式组求解可得； （2）设小瓶饮料作为赠品送出m瓶，根据题意列不等式求解可得． 【小问1详解】 该超市购进大瓶饮料x瓶，小瓶饮料y瓶．由题意，得 解得 答：该超市购进大瓶饮料500瓶，小瓶饮料500瓶； 【小问2详解】 设小瓶饮料作为赠品送出m瓶． 由题意，得， 解得． 答：超市要使这批饮料售完后获得的利润不低于1250元，那么小瓶饮料作为赠品最多只能送出20瓶． 22. 某位同学学习实数之后整理的一篇数学笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． *年*月*日 星期二 晴 今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．有这样一个探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A、，则点A对应的数为，点对应的数为．    类比思考：如图3，改变图2中正方形的位置，以数字1所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ （1）上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想______． A．方程思想 B．数形结合思想 C．化归思想 （2）“类比思考”中，线段的长为______，的长为______；则点B表示的数为______，点表示的数为______． （3）拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图4所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点P．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】（1）B （2），，， （3）如图所示，点P表示的数为． 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）体现了数形结合的思想； （2）利用平移的思想，进行求解即可； （3）类比题干中的方法，作图即可． 【小问1详解】 解：体现了数形结合的思想； 故选：B； 【小问2详解】 解：图3中的正方形相当于从图2的位置向右平移1个单位长度得到的， ∴的长为，，点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：，，，； 【小问3详解】 解：∵大正方形的面积为5， ∴小长方形的对角线长为． 23. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式．再将“A”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：______； （2）若，求的值； （3）求证，若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 【答案】（1） （2）2 （3） 证明： ； 令， 则原式， ∴原式， ∵n为正整数， ∴式子的值一定是某一个整数的平方． 【解析】 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想． （1）令，利用整体思想进行因式分解即可； （2）令，，求得，，再根据，求得即可． （3）先计算，，然后将，利用整体思想进行因式分解即可得证． 【小问1详解】 解：令， ∴原式， ∴原式； 故答案为：； 【小问2详解】 解：令，， ∴，， ∴； ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $