精品解析：云南省煤炭第一中学、二中等学校高三下学期5月大联考数学试卷

2025年云南省煤炭一中、二中等学校高三下学期5月大联考数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 祝考试顺利！ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 若等比数列的前项和为，则“”是“单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知非零向量，满足与夹角的余弦值为，若，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，．根据这些信息，可得（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知是边上的中线，则（ ） A. B. C. D. 6. 计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表： 16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如：十进制数“28”用十六进制表示就是“1C”（因为），同理，用十进制表示的加法“14+13=27”，在十六进制下的加法为“”，那么，在十六进制下，（ ） A. 9C B. 84 C. D. 7. 已知某圆台的体积为，其轴截面为梯形，，，则在该圆台的侧面上，从点到的最短路径的长度为（ ） A. B. C. 6 D. 8. 已知，，若不等式的解集中只含有两个正整数，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，将某一结果绘制成如图所示的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点或6点朝上 C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D. 从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 10. 如图，函数的部分图象，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 将图象向右平移后得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为 11. 若定义域为. 对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”，则下列说法正确的是（ ） A. 是倒数函数 B. 是倒数函数 C. 若在上是倒数函数，则 D. 若存在，使得 在定义域上是倒数函数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______. 13. 若，则_____. 14. 已知a，b为正数，且满足，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 16. 若随机变量X，Y均为定义在同一样本空间上的离散型随机变量，则将称为二维离散型随机变量，将取值为的概率记作，其中. 甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得1分，不进球得分，分数高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为，抽中签者点球，进球得1分，不进球得分；未抽中者不点球，得0分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进球的概率分别为，，且每次点球之间相互独立.记甲得分为X，乙得分为Y. （1）求，； （2）求； （3）已知随机事件发生了，求随机变量Y的分布列与数学期望. 17. 已知等差数列的前项和为，，．数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列是等比数列； （3）求数列的前项和． 18. 已知， （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性; （3）设，当时，证明:. 19. 已知是椭圆C：上的动点，过原点O向圆M：引两条切线，分别与椭圆C交于P，Q两点（如图所示），记直线OP，OQ的斜率依次为，，且． （1）求圆M的半径r； （2）求证：为定值； （3）求四边形OPMQ的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年云南省煤炭一中、二中等学校高三下学期5月大联考数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 祝考试顺利！ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过解一元二次不等式求出集合，然后再求，最后再求交集 【详解】因为或， 所以， 所以, 故选:D. 2. 若等比数列的前项和为，则“”是“单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的前n项和公式及，结合充分、必要性定义判断条件的关系. 【详解】若的公比为，则， 若时，不单调，充分性不成立； 若单调递增，则恒成立，故，必要性成立， 所以“”是“单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知非零向量，满足与夹角的余弦值为，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由向量垂直得数量积为0即可列方程求解. 【详解】设， 因为与夹角的余弦值为，且， 所以，即，解得. 故选：A. 4. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，．根据这些信息，可得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，，再根据二倍角余弦公式求出，然后根据诱导公式求出． 【详解】由题意可得：，且， ，解得：， 所以（负值不符合题意舍去）， . 故选：C 5. 在中，已知是边上的中线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两次余弦定理即可求解. 【详解】 由余弦定理得：， 再由余弦定理得：， 则， 故选：B 6. 计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表： 16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如：十进制数“28”用十六进制表示就是“1C”（因为），同理，用十进制表示的加法“14+13=27”，在十六进制下的加法为“”，那么，在十六进制下，（ ） A. 9C B. 84 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据十进制求出与的积，再把结果转化为十六进制即可. 【详解】解：. 故选：A. 7. 已知某圆台的体积为，其轴截面为梯形，，，则在该圆台的侧面上，从点到的最短路径的长度为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由体积公式与已知数据待定圆台母线与高，再利用侧面展开图中距离求解最短路径长即可. 【详解】由圆台轴截面为等腰梯形，故对边不是母线，分别是下、上底面圆的直径. 故由，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为， 设圆台的高为，由圆台的体积为， 得，解得. 在梯形中，则，即母线长为. 如图，由圆台性质，延长交于点， 由与相似，得，解得. 设该圆台的侧面展开图的圆心角为， 则，所以， 连结，则从点到的最短路径为线段， 又在中，，， 由余弦定理得 所以. 验证知，由，得，， 此时，恰与扇形弧所在圆相切，满足题意. 故选：B. 8. 已知，，若不等式的解集中只含有两个正整数，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性以及最值，再利用分离参数化简不等式，构造函数作图，可得答案. 【详解】定义域为，， 令，再上， 在上单调递增，。 则存在，使得，即， 则在上，在上， 在上，在上， 在上单调递减，在上单调递增， ， 则等价于，，定义域为， 则，即，等价于， 令，则， ，解得，解得， 则当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即的最大值在处取得， 令，解得，即函数与轴交于点， 作图象如下： 要使解集中只含有两个正整数，只能是2,3， ，解得，即. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，将某一结果绘制成如图所示的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 B. 掷一个正六面体的骰子，出现3点或6点朝上 C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D. 从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 【答案】BD 【解析】 【分析】计算出各个事件的概率，只要概率在0.3到0.4之间即可. 【详解】由频率折线图可知，频率在0.3到0.4之间. 选项A，出现正面朝上的概率为，不符合题意，故A错误； 选项B，掷一个正六面体的骰子，出现3点或6点朝上的概率为，在0.3到0.4之间，符合题意，故B正确； 选项C，一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意，故C错误； 选项D，从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为，在0.3到0.4之间，符合题意，故D正确. 故选：BD. 10. 如图，函数的部分图象，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 将图象向右平移后得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由图可得，，可求，代入最高点，可得，再根据的相关性质可逐一验证选项即可解答. 【详解】由图可知，，，， 所以， 又过点，， 所以，即，∵，， 故， ，故A正确； 向右平移后， 故B错误； ，解得， 时可得在区间上单调递增，故C正确； 对D，根据题意，当在区间上单调时最大值与最小值之差取得最大，由函数的对称性，不妨取在区间上单调递增且 ， 当时， 在区间上最大值与最小值之差取得最大值2， 当的对称轴在中点时最大值与最小值之差取得最小， 又的对称轴方程为， 所以， ， 最大值与最小值之差的最小值为， 综上，最大值与最小值之差的取值范围为，故D正确； 故选：ACD. 11. 若定义域为. 对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”，则下列说法正确的是（ ） A. 是倒数函数 B. 是倒数函数 C. 若在上是倒数函数，则 D. 若存在，使得 在定义域上是倒数函数，则 【答案】AC 【解析】 【分析】翻译题目可得在定义域上是“倒数函数”当且仅当，其中的值域、的值域分别为，对于AB，直接根据等价命题判断即可，对于C，首先求得，根据倒数函数的定义可得（1）且（2），解出即可判断；对于D，对进行适当划分并分类讨论，由必要性得，反过来验证充分性是否成立即可. 【详解】由题意对任意，存在唯一，使得， 则称在定义域上是“倒数函数”， 则在定义域上是“倒数函数”当且仅当对任意，存在唯一， 使得； 即当且仅当的值域是的值域的子集， 定义的值域、的值域分别为， 所以在定义域上是“倒数函数”当且仅当； 对于A，的值域为， 而的值域为，显然满足， 又为增函数，故唯一性成立，故A正确； 对于B，由对勾函数性质可得，的值域为， 而的值域为，不满足，故B错误； 对于C，由题意在上是倒数函数， 首先当时，单调递减， 此时， 由倒数函数定义可知，不包含0，即（1）； 从而在时的值域为， 由题意， 所以要满足题意，还需满足（2）； 只需（1）（2）式子同时成立即可， 所以当且仅当，解得， 又在上递减，故唯一性成立，故C正确； 对于D，必要性： 情形一：当时，在定义域上单调递增， 则， 若在定义域上是倒数函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； 情形二：当时，在定义域上单调递增， 则， 若在定义域上是倒数函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； 情形三：当时，注意到的对称轴为， 则， （i）当时，， 由二次函数性质可知存在使得，即此时， 若在定义域上是倒数函数， 首先，此时的值域为， 同时注意到不成立，故不符合题意； （ii）当时， 由二次函数性质可知， 即此时，注意到， 若在定义域上是倒数函数， 首先，其次结合，可得应该满足； 充分性：，有， 此时的值域为，，， 故存在，使， 此时存在两个，使，不合题意，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决C选项的关键是要依次得出（1）以及（2），解决D选项的关键在于先由必要性求参数，再验证充分性即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义， 则. 故答案为：3 13. 若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数的性质计算可得结果. 【详解】由题意得，且，解得， ∵，∴或，解得（舍去）或． 14. 已知a，b为正数，且满足，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据三个正数的基本不等式得出，即，由通分结合基本不等式得出结果. 【详解】由基本不等式可得，， 所以，又因为， 所以有，解得，当时取等号， 又，则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为2. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）取中点，连接，， 为的中点，，， 又∵，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，由几何性质得四边形为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理证得结论； （2）取中点，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解平面与平面的法向量，由向量夹角余弦公式从而得锐二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接， 由，点为中点，可得 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为直线与平面所成的角为 ， ，又， 如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ， ，设平面的一个法向量，， 则，取，则， 平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成锐二面角为， ， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 16. 若随机变量X，Y均为定义在同一样本空间上的离散型随机变量，则将称为二维离散型随机变量，将取值为的概率记作，其中. 甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得1分，不进球得分，分数高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为，抽中签者点球，进球得1分，不进球得分；未抽中者不点球，得0分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进球的概率分别为，，且每次点球之间相互独立.记甲得分为X，乙得分为Y. （1）求，； （2）求； （3）已知随机事件发生了，求随机变量Y的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） （3）的分布列为 数学期望为【解析】 【分析】（1）由题意有的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球，即可计算，由是不能事件，即得； （2）先计算，根据条件概率公式即可计算； （3）利用条件概率分别计算，，，即可得的分布列，最后根据数学期望的公式计算即可. 【小问1详解】 由题意有的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球， 所以， 因为是不可能事件， 所以； 【小问2详解】 表示：甲进球，乙未进球，或甲进球，乙进球，且乙抽到签， 所以， 所以； 【小问3详解】 表示：甲未进球，乙进球，或甲未进球，乙未进球，且乙抽到签， 所以， 又的可能取值为， 所以， ， ， 所以， ， ， 所以的分布列为 所以 17. 已知等差数列的前项和为，，．数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）证明：数列是等比数列； （3）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） ，． 又，，为常数． 是首项为1，公比为2的等比数列． （3） 【解析】 【分析】（1）由等差中项求出，再由基本量法求出通项即可； （2）由递推关系构造数列，再由基本量法可证； （3）由裂项相消法可得. 【小问1详解】 是等差数列，，． 又，． 等差数列的公差， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得， 记， ． 18. 已知， （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性; （3）设，当时，证明:. 【答案】（1）的极小值为，无极大值 （2）若，在内单调递增；若，在内单调递减，在内单调递增. （3）当时，则， 可得 对任意的，则，则， 令，则， 设，则， 可知在内单调递增，则，即， 可得， 即，所以. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和极值； （2）求导可得，讨论的符号，结合判别式分析求解； （3）利用作差法，整理可得，令，构建，利用导数可得，进而分析证明. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为， 若，则，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 因为， 可知的定义域为，且， 若，则，可知在内单调递增； 若，则，可知有2个实根，， 且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：若，在内单调递增； 若，在内单调递减，在内单调递增. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 19. 已知是椭圆C：上的动点，过原点O向圆M：引两条切线，分别与椭圆C交于P，Q两点（如图所示），记直线OP，OQ的斜率依次为，，且． （1）求圆M的半径r； （2）求证：为定值； （3）求四边形OPMQ的面积的最大值． 【答案】（1） （2）设，， 依题意，，代入 ，可得   ，解得 ，      于是；同理 .      所以  ， 即 为定值7. （3） 【解析】 【分析】（1）设出OP，OQ的方程，由圆心到切线的距离等于半径得到一元二次方程，由韦达定理和解方程求得半径； （2）由直线的方程与椭圆方程联立求得点坐标，即得,同理得，计算的表达式，消去化简即得； （3）将四边形OPMQ的面积拆解成两三角形面积之和，得到，利用（2）的结论和基本不等式即得面积最大值. 【小问1详解】 如图，由题意，切线OP，OQ的方程分别为，，则有，， 故，是方程，即方程的两根． 若，则圆M与y轴相切，直线OQ的斜率不存在，矛盾； 于是，化简得，解得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，当且仅当时等号成立． 综上所述，四边形OPMQ面积的最大值为． 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于要有同构意识，即要把由圆外一点向圆引出的两条切线的斜率看成方程的两根，于是可以迅速得到，利用条件求得半径；另外在求解四边形面积时，要充分运用图形特点，将其转化为两个直角三角形面积的和，利用（2）的结论和基本不等式求得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $