2026届高三数学一轮复习课时作业36：平面向量的概念及线性运算

5.1　平面向量的概念及线性运算 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.化简+--等于(　　) A. B.0 C. D. 2.(2025·沈阳模拟)已知a，b为两个不共线的向量，=a+b，=2a-b，=λa+μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则2λ+μ等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 3.(2024·西安模拟)已知点P是△ABC的重心，则等于(　　) A.+ B.+ C.+ D.+ 4.已知点P为△OAB所在平面内一点，且=+，则(　　) A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的延长线上 C.点P在线段AB的反向延长线上 D.点P在射线AB上 5.(2024·焦作模拟)已知△ABC所在平面内一点D满足++=0，则△ABC的面积是△ABD面积的(　　) A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍 6.已知a是单位向量，向量b满足|a-b|=3，则|b|的最大值为(　　) A.2 B.4 C.3 D.1 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下列说法正确的是(　　) A.若a与b是非零向量，则“a与b同向”是“a=b”的必要不充分条件 B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上 C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与-b反向 D.设λ，μ为实数，若λa=μb，则a与b共线 8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且=3，F为AE的中点，则(　　) A.=-+ B.=+ C.=-+ D.=- 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知O为△ABC内一点，且2=+=t，若B，O，D三点共线，则实数t的值为　　　　.  10.已知在四边形ABCD中，=，且||=||，则四边形ABCD的形状是　　　　　　　　　.  四、解答题(共27分) 11.(13分)已知a，b不共线，=a，=b，=c，=d，=e，设t∈R，如果3a=c，2b=d，e=t(a+b)，是否存在实数t，使得C，D，E三点在同一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由. 12.(14分)如图所示，在▱ABCD中，===a，=b. (1)试用向量a，b来表示；(6分) (2)AM交DN于点O，若=λ，求实数λ的值.(8分) 【提升练】 13.(多选)已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且=+λ，λ∈R，则下列说法正确的是(　　) A.△PCD的面积为定值 B.∃λ∈R，使得||>|| C.∠CPD的取值范围是 D.||的取值范围是[1，] 14.在△ABC中，点O满足=2，过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.设=，=，则m2+n的最小值是(　　) A.3 B.1 C. D. 15.(2024·盐城模拟)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，CD上，且满足==2，则|+|=　　　　.  16.如图，已知A，B，C是圆O上不同的三点，CO与AB交于点D(点O与点D不重合)，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ的取值范围是　　　　.  答案精析 1.B　2.D　3.D 4.D　[由=+得-=所以=· 所以点P在射线AB上.] 5.A　[设AB的中点为M， 因为++=0， 所以 =2(+)， 所以=4 所以点D是线段CM上靠近点M的五等分点， 所以==5， 所以△ABC的面积是△ABD面积的5倍.] 6.B　[方法一　设=a=b，因为|a-b|=3， 即|-|=||=3，即||=3， 所以点B在以A为圆心，3为半径的圆上， 又a是单位向量，则||=1， 故||的最大值为||+||=1+3=4，即|b|的最大值为4. 方法二　因为b=a-(a-b)， 所以|b|≤|a|+|a-b|=1+3=4， 所以|b|的最大值为4.] 7.ABC　[根据向量的有关概念可知A，B，C正确，对于D，当λ=μ=0时，a与b不一定共线，故D错误.] 8.ABC　[∵AB∥CD，AB=2DC， ∴=++=-++=-+故A正确； ∵=3 ∴==-+ ∴=+ =+ =+ 又F为AE的中点，∴==+故B正确； ∴=+=-++=-+故C正确； ∴=-=-+- =--故D错误.] 9. 解析　设线段BC的中点为M， 则+=2. 因为2=+ 所以= 则==+) ==+. 由B，O，D三点共线，得+=1，解得t=. 10.等腰梯形 解析　由= 可得AB∥CD且AB=DC， 所以四边形ABCD是梯形， 又因为||=||， 所以梯形ABCD的两个腰相等， 所以四边形ABCD是等腰梯形. 11.解　存在.由题设知， =d-c=2b-3a， =e-c=(t-3)a+tb， 又a，b不共线，则≠0， C，D，E三点在同一条直线上的充要条件是存在实数k，使得=k 即(t-3)a+tb=-3ka+2kb， 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b. 因为a，b不共线， 所以解得t=. 故存在实数t=使得C，D，E三点在同一条直线上. 12.解　(1)因为=- = 所以=-=a-b. 因为=+= 所以=+=a+b. (2)因为D，O，N三点共线， 所以存在实数k， 使得=k=ka-kb， 所以=+ =b+ka-kb=ka+(1-k)b，① 因为A，O，M三点共线， 所以存在实数m， 使得=m=ma+mb，② 由①②得解得m= 所以== 即λ=. 13.AC　[对于A，由=+λλ∈R可得-=λ即=λ可得∥因此，点P在正六边形ABCDEF的对角线 BE上，所以点P到CD的距离为定值，所以△PCD的面积为定值，故A正确； 对于B，因为正六边形ABCDEF关于对角线BE对称，故||=||，故B错误； 对于C，根据图形的对称性，当点P为BE中点时，∠CPD取得最大值当点P与B或E重合时∠CPD取得最小值即∠CPD的取值范围是故C正确； 对于D，因为正六边形边长为1，所以平行线BE，CD的距离d=又当PC⊥BE时，||有最小值故D错误.] 14. D [由题可知，m>0，n>0， 因为=，=， 所以=m，=n， 因为=2， 所以-=2(-)， 所以=+=m+n， 因为M，O，N三点共线，所以m+n=1， 则n=>0，则0<m<3， 所以m2+n=m2+=+ ≥，当且仅当m=时等号成立， 所以m2+n的最小值为.] 15.3 解析　因为= 所以=+=+ 又因为=2 所以=+=+ 所以|+|=|+| =||， 又因为∠BAD=120°， 所以∠ADC=60°， 所以△ADC为等边三角形， 所以AC=AD=2， 所以|+|=||=×2=3. 16. (1，+∞) 解析　因为CO与AB交于点D， 所以O，C，D三点共线， 所以与共线， 设=m，则m>1， 因为=λ+μ， 所以m=λ+μ， 可得=+， 因为A，B，D三点共线， 所以+=1，可得λ+μ=m>1， 所以λ+μ的取值范围是(1，+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$