精品解析：2025年河南省信阳市息县五校联考中考三模数学试题

2024-2025学年度九年级中招第三次模拟试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题 （每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下面几何体的名称是 （ ） A. 圆柱 B. 棱柱 C. 球 D. 正方体 3. 政府工作报告指出，2024年河南省规上工业企业、高新技术企业、科技型中小企业共计7万家，新兴产业加速成长．数据“7万”用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，能与合并是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，属于真命题的是 （ ） A. 邻补角相等 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 全等三角形的周长相等 D. 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 6. 在“迎新杯”篮球比赛中，某队首发5名球员的身高 （单位：cm）分别是∶ ，，，，， 则这组数据的中位数是 （ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知抛物线 与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，则抛物线的对称轴为直线（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （ ） A. B. C. D. 10. 如图1，四边形是菱形，点以1cm/s的速度从点出发，沿着的路线运动，同时点以相同的速度从点出发，沿着的路线运动，设运动时间为（s），，两点之间的距离为（cm），与的函数关系的图象如图2所示，则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个小于﹣1的无理数__________． 12. 不等式组 的解集为_______． 13. 三张写有不同整式运算式子卡片，除正面内容不同外其余完全相同，卡片置于暗箱中摇匀，任意抽取两张卡片，卡片上整式运算都正确的概率是____． 14. 如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________． 15. 如图， 等边中． 点为边中点，点为边上一点，且 ，将绕点在平面内旋转，连接，，若为直角三角形，则值为___． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1） 计算： （2） 化简： 17. 某学校为活跃校园文化生活，开设了“书法”“棋艺”“音乐”“绘画”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如下图所示不完整的统计图． （1）本次抽样调查的样本容量为 ，扇形统计图中值为 ； （2）补全条形统计图； （3）若该校一共有名学生，估计选择“绘画”的学生有多少名？ 18. 郑州图书馆位于郑东新区，地标性建筑之一，是一所综合性现代化大型文化场馆，入选第三批“全国古籍重点保护单位”．某校学习小组把测量郑州图书馆的高度作为一次课题活动，并绘制如下项目式学习表： 课题 测量郑州图书馆的高度 模型 说明 图书馆楼顶最高点到地面的高度为，在点用仪器测得点的仰角为 ，在点用该仪器测得点的仰角为（ ，且点，，，，，均在同一竖直平面内． 数据 ，测角仪的高度为1.8m ， 任务 （1）依据相关数据求出郑州图书馆的高度； （2）已知最后结果与实际数据有出入，请你写出一条减少误差的建议． 19. 如图，反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于点． 的平分线交反比例函数图象于点． （1）求和的值； （2）请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （3）若（2）中所作的垂直平分线分别交、于点、，连接．求证： 轴． 20. 郑州黄河文化公园是国家4A级旅游景区，公园内已经建成并对外开放五龙峰、大禹山、炎黄二帝塑像等五大景区．旅游区内设置两条线路的门票，经问询知，若买甲线路门票2张，乙线路门票3张，共用190元；买甲线路门票1张，乙线路门票2张，共用110元． （1）分别求甲、乙两线路门票的单价； （2）某旅行团准备购买甲、乙两线路门票共75张，因购买数量较多，景区售票处同意甲线路门票按原价销售，乙线路门票价格不变，若最终的费用是一个固定值，与购买门票的方案无关，求的值以及固定费用． 21. 如图， ， 是的切线， ，为切点， 过点作 交于点， 连接并延长交于点， 交于点， （1）点是否在 的平分线上？说明理由； （2）若的半径是， 求的长． 22. 掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米． （1）求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）； （2）为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？ 23. 综合探究 在矩形中，为其对角线， ，点为边上不与端点重合的一动点，连接，将 沿着翻折得对应． （1）若 ，如图1，当点落在对角线上时， 的度数是 ； 、、的数量关系是 ； （2）若 ①如图2，当点落在对角线上时，写出、、之间的数量关系，并说明理由； ②过点作 ，分别交、于，两点， 若 ，当点为线段的三等分点时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度九年级中招第三次模拟试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题 （每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相反数的定义，解题关键是熟练掌握相反数的定义． 根据相反数的定义即可得解． 【详解】解：根据相反数的定义可得，的相反数是． 故选：． 2. 下面几何体的名称是 （ ） A. 圆柱 B. 棱柱 C. 球 D. 正方体 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了对立体图形的认识，熟记常见立体图形的特征是解题关键． 根据图示的立体图形的特征判断即可． 【详解】解：根据图示可知：此几何体有四条棱，顶面和底面都是相同的四边形，故其名称是四棱柱． 故选：B． 3. 政府工作报告指出，2024年河南省规上工业企业、高新技术企业、科技型中小企业共计7万家，新兴产业加速成长．数据“7万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解∶ 7万即， ， 故选：B 4. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 详解】A. ，不能与合并； B. ，不能与合并； C. ，不能与合并； D. ，能与合并． 故选D． 【点睛】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 5. 下列命题中，属于真命题的是 （ ） A. 邻补角相等 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 全等三角形的周长相等 D. 两边及其中一边对角对应相等的两个三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题的判定，邻补角的定义，全等三角形的判定和性质等知识，根据．邻补角的定义，全等三角形的判定和性质一一判定即可得出答案． 【详解】解：．邻补角互补，但不一定相等，故原命题不属于真命题，故该选项不符合题意； ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故故原命题不属于真命题，故该选项不符合题意； ．全等三角形的周长相等是真命题 ，故该选项符合题意； ．两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题不属于真命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 6. 在“迎新杯”篮球比赛中，某队首发5名球员的身高 （单位：cm）分别是∶ ，，，，， 则这组数据的中位数是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一组数据的中位数，解题关键是理解中位数的概念． 先将数据排序，再求出中位数． 【详解】解：将数据从小到大排列为，，，，， 中位数是， 故选：A ． 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解出m的取值范围即可进行判断． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∵， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 8. 已知抛物线 与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，则抛物线的对称轴为直线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的对称轴，解题关键是将函数表达式转化为顶点式． 先将函数表达式转化为顶点式，再根据顶点的纵坐标为求解． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵顶点的纵坐标为， ∴，即， ∴抛物线的对称轴为直线， 故选：A． 9. 如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，，先证明四边形是矩形，再根据矩形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出 ，由等腰三角形的性质得出，由勾股定理求出，求出点K的坐标即可得出点B的坐标． 【详解】解：过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，， 则，， ∵是正六边形，且中心角为， 则，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵正六边形的中心点的坐标为 ∴， ∴， ∴， ∴点K的坐标为：， ∴B点的坐标为， 故选：D． 【点睛】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，写出直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形的判定和性质等知识，掌握正多边形的性质是解题的关键． 10. 如图1，四边形是菱形，点以1cm/s的速度从点出发，沿着的路线运动，同时点以相同的速度从点出发，沿着的路线运动，设运动时间为（s），，两点之间的距离为（cm），与的函数关系的图象如图2所示，则的最小值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，函数图象，垂线段最短，勾股定理．连接，交于点，由菱形性质得，，，根据图可知，，，由勾股定理求出，当时，最小，即最小，最后由等面积法即可求解． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， 根据图可知，，， ∴，， ∴， ∵同时运动， ∴当时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个小于﹣1的无理数__________． 【答案】-1.010010001......(答案不唯一） 【解析】 【详解】根据无理数的定义，指无限不循环小数，答案不唯一. 12. 不等式组 的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式组应先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后再找出它们的解集的公共部分． 【详解】解： ， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为：． 故答案为：． 13. 三张写有不同整式运算式子的卡片，除正面内容不同外其余完全相同，卡片置于暗箱中摇匀，任意抽取两张卡片，卡片上整式运算都正确的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据相关运算法则计算判断，记，这3张卡片分别为，列表得出所有等可能的结果数，以及抽取两张卡片上整式运算都正确的结果数，再利用概率公式求解，即可解题． 【详解】解：，3个整式运算中正确的有，两个， 记，这3张卡片分别为， 根据题意列表如下： A B C A (A,B) (A,C) B (B,A) (B,C) C (CA) (C,B) 由表中数据可知，总共有中情况，其中抽取两张卡片上整式运算都正确的有两种情况， 任意抽取两张卡片，卡片上整式运算都正确的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，列表法与树状图求概率，熟练掌握相关运算法则，列表法与树状图法求概率，以及概率公式是解答本题的关键． 14. 如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意知，底面半径为的圆锥的底面周长为，扇形弧长为，则扇形中未组成圆锥底面的弧长，根据圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积可得圆锥上粘贴部分的面积为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，底面半径为的圆锥的底面周长为，扇形弧长为， ∴扇形中未组成圆锥底面的弧长， ∵圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积， ∴圆锥上粘贴部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的弧长、面积公式．解题的关键在于熟练掌握，，其中为扇形的圆心角，为扇形的半径． 15. 如图， 等边中． 点为边中点，点为边上一点，且 ，将绕点在平面内旋转，连接，，若为直角三角形，则的值为___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质和判定，圆相关知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，在等边中， 点为边中点，得出，勾股定理求出，根据题意可得点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，若为直角三角形，根据题意可知只有一种情况，此时，点在上或延长线上，分情况分别根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，在等边中． 点为边中点， ∴， ∴， 根据题意可得点在以点为圆心，1为半径的圆上运动， 若为直角三角形，根据题意可知只有一种情况， 此时，点在上或延长线上， 当点在上时，如图， 则， ∴； 当点在延长线上时，如图， 则， ∴； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1） 计算： （2） 化简： 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、零指数幂和负整数指数幂，解决本题的关键是熟练掌握运算法则． 根据指数幂的运算法则、负整指数幂的运算法则、绝对值的定义进行计算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算即可； 首先根据平方差公式把除式中的分子分解因式，可得：，根据分式的除法法则可得：原式，再约去分子、分母的公因式化为最简分式即可． 【详解】解： ； 解： ． 17. 某学校为活跃校园文化生活，开设了“书法”“棋艺”“音乐”“绘画”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如下图所示不完整的统计图． （1）本次抽样调查的样本容量为 ，扇形统计图中值为 ； （2）补全条形统计图； （3）若该校一共有名学生，估计选择“绘画”的学生有多少名？ 【答案】（1），； （2）见详解； （3）名． 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的综合运用、用样本估计总体． 根据扇形统计图和条形统计图中组的数据可以求出样本容量，根据样本容量和条形统计图中组的人数，可得组人数占抽查总人数的百分比，根据百分比求出的值即可； 根据样本容量和条形统计图中其他组的人数可以求出组的人数，补全条形统计图即可； 根据条形统计图中选择“绘画”的学生的人数，求出本次抽样调查中选择“绘画”的学生占抽查总人数的百分比，用样本估计总体求出名学生中选择“绘画”的学生的人数 【小问1详解】 解：由条形统计图可知，组共有人， 由扇形统计图可知，组的人数占抽查学生总数的， 本次抽样调查的样本容量为； 由条形统计图可知组共有人， 组对应的扇形统计图中圆心角的度数是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由可知，本次抽样调查共抽查了人， 组的人数为(人)， 补全条形统计图如下图所示， 【小问3详解】 解：由条形统计图可知：选择“绘画”的学生人， 占抽查人数的， 估计学生中选择“绘画”的学生有人． 18. 郑州图书馆位于郑东新区，地标性建筑之一，是一所综合性现代化大型文化场馆，入选第三批“全国古籍重点保护单位”．某校学习小组把测量郑州图书馆的高度作为一次课题活动，并绘制如下项目式学习表： 课题 测量郑州图书馆的高度 模型 说明 图书馆楼顶最高点到地面的高度为，在点用仪器测得点的仰角为 ，在点用该仪器测得点的仰角为（ ，且点，，，，，均在同一竖直平面内． 数据 ，测角仪的高度为1.8m ， 任务 （1）依据相关数据求出郑州图书馆的高度； （2）已知最后结果与实际数据有出入，请你写出一条减少误差的建议． 【答案】（1）米（2）多次测量求平均值 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题． （1）连接，交于点，根据题意可得：，，，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答； （2）根据多次测量求平均值可以减少误差进行解答即可． 【详解】（1）解：连接，交于点， 由题意得：，，， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， ， ， 郑州图书馆的高度为． （2）减少误差的建议为多次测量求平均值． 19. 如图，反比例函数 图象与正比例函数 的图象相交于点． 的平分线交反比例函数图象于点． （1）求和的值； （2）请用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （3）若（2）中所作的垂直平分线分别交、于点、，连接．求证： 轴． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用，抓住图象中的交点及其他特殊点的坐标和性质是解决问题的关键． （1）先将代入，求出，得，再代入求出的值即可； （2）根据作垂直平分线的方法作图即可； （3）根据垂直平分线的性质得，可得出，由平分得，最后由内错角相等两直线平行可得结论． 【小问1详解】 解：点在正比例函数的图象上， ， ∴， ， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：． 【小问2详解】 解：如图： 【小问3详解】 解：垂直平分， ， ． 又平分， ． ． 轴． 20. 郑州黄河文化公园是国家4A级旅游景区，公园内已经建成并对外开放五龙峰、大禹山、炎黄二帝塑像等五大景区．旅游区内设置两条线路的门票，经问询知，若买甲线路门票2张，乙线路门票3张，共用190元；买甲线路门票1张，乙线路门票2张，共用110元． （1）分别求甲、乙两线路门票的单价； （2）某旅行团准备购买甲、乙两线路门票共75张，因购买数量较多，景区售票处同意甲线路门票按原价的销售，乙线路门票价格不变，若最终的费用是一个固定值，与购买门票的方案无关，求的值以及固定费用． 【答案】（1）甲线路门票的单价是50元，乙线路门票的单价是30元 （2）的值为60，固定费用是2250元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用. （1）设甲线路门票的单价是元，乙线路门票的单价是元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买张甲线路门票，则购买张乙线路门票，设所需费用为元，，求出，根据最终的费用是一个固定值作答即可. 【小问1详解】 设甲线路门票的单价是元，乙线路门票的单价是元， 根据题意得：， 解得， 甲线路门票的单价是50元，乙线路门票的单价是30元； 【小问2详解】 设购买张甲线路门票，则购买张乙线路门票， 设所需费用为元，， ， 最终的费用是一个固定值，即2250元， ， 解得 答：的值为60，固定费用是2250元． 21. 如图， ， 是的切线， ，为切点， 过点作 交于点， 连接并延长交于点， 交于点， （1）点是否在 的平分线上？说明理由； （2）若的半径是， 求的长． 【答案】（1）在；理由见解析； （2）． 【解析】 【分析】连接，，根据切线的性质可知，又因为，根据到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知点在的平分线上； 根据，，可证四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可知，根据平行线的性质可知，从而可证，所以可知和均为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质枯叶知，根据圆的半径为即可求出的长度． 【小问1详解】 解：； 理由：连接，， ，是的切线， ，， ， ， 点在的平分线上； 【小问2详解】 解：，， 四边形为平行四边形， ， ， 又， ， ， ， 和均为等腰直角三角形， 在中，， ． 22. 掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米． （1）求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）； （2）为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？ 【答案】（1） （2）前移动 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）由顶点式，可设抛物线的解析式为，再把代入求出a的值即可； （2）求出时，即可解得． 【小问1详解】 解：由题意可知抛物线顶点为． 故可设抛物线的解析式为， 又抛物线过， ， ， 解析式为； 【小问2详解】 当时， 即 （舍），， ， 应将布幔向前移动． 23. 综合探究 在矩形中，为其对角线， ，点为边上不与端点重合的一动点，连接，将 沿着翻折得对应． （1）若 ，如图1，当点落在对角线上时， 的度数是 ； 、、的数量关系是 ； （2）若 ①如图2，当点落在对角线上时，写出、、之间的数量关系，并说明理由； ②过点作 ，分别交、于，两点， 若 ，当点为线段的三等分点时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）①（合理即可），理由见解析，②或 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，折叠的性质，相似三角形的判定和性质. （1）根据三角函数得到，根据折叠的性质即可得到；根据折叠的性质得到，，根据三角函数得到，即可得解； （2）①由折叠的性质得到，，，根据三角函数得到，即可得解； ②分，两种情况，证明，由勾股定理求解即可. 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴ ∵将沿着翻折得对应，点落在对角线上， ∴； ∵将沿着翻折得对应，点落在对角线上， ∴，， ∵ ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ①，理由如下： ∵将沿着翻折得对应，点落在对角线上， ∴，， ∵点落在对角线上， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； ②∵当时， ∵， ∴， ∴， ∵将 沿着翻折得对应， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， 设， 则 ∴ 由勾股定理可得 ∴ 解得， 即 ∵当时， ∵， ∴， ∴， ∵将 沿着翻折得对应， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， 设， 则 ∴ 由勾股定理可得 ∴ 解得， 即 综上所述，的长为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$