精品解析：山东省济南市济阳区2024-2025学年下学期七年级数学期中试卷

七年级数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本次考试不允许使用计算器进行运算． 第Ⅰ卷（选择题40分） 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果三角形两边长分别是，，那么第三边长可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，由能得到的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 任画一个三角形，它的内角和为 B. 在一个只装有红球的袋子中摸出一个白球 C. 抛掷一枚硬币，正面向上 D. 任意掷一枚质地均匀的筛子，掷出的点数是偶数 6. 如图，在探究垂线的性质时，李老师将直角三角尺的一条直角边摆放在钝角的边上，另一条直角边经过顶点，则下列线段的长度能表示点到距离的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1次），则飞镖击中阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 若m，n是正整数，且满足，则与关系正确的是（ ） A B. C. D. 10. 如图，将ABC沿BC翻折，使点A落在点A′处，过点B作BD∥AC交A′C于点D，若∠1＝30°，∠2＝140°，则∠A的度数为（　　） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 计算：___________． 12. 如图，如果，则的度数为__________． 13. 如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为___________． 14. 若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为___________． 15. 如图是由“赵爽弦图”变化得到，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是___________．（用含的代数式表示）． 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的解题过程．） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） 17. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整． 例：先化简，再求值：，其中． 解： ____①____ 把代入上式，得：____②____ ____③____ 其中____④____ 18. 如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：____①____（已知）， ． 同理可得____②____． 在中，三角形三个内角和等于， ____③____， ____④____（等式的性质） ____⑤____． 19. 如图，已知直线，直线与分别相交于点，若于点，交直线于点． （1）若，求的度数． （2）若，，，则点到直线的距离是___________． 20. 按要求完成下列说明过程． 如图，在四边形中，点为延长线上一点，点为延长线上一点，连接，交于点，交于点，如果，，那么与相等吗？说说你理由， 解：相等．理由如下： （____①____） 又（已知）． ____②____（等量代换）． （____③____） （____④____） （已知）， （等量代换） ____⑤____．（同旁内角互补，两直线平行）． ____⑥____（_________）． 21. 某水果店以元/千克的成本购进千克橙子，店员在销售过程中随机抽取橙子进行“橙子损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，请解决以下问题： （1）估计柑橘损坏的概率为__________； （2）估计这批柑橘完好的质量为__________千克； （3）若这批橙子销售（只售好果）完毕后，利润是元，每千克的售价应为多少元？ 22. 如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． （1）求的长； （2）求的度数． 23. 9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图2所示． （1）用含a、b的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）； （2）若，，求板总面积． 24. 教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为___________． 【拓展应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则___________．． （2）若满足，求的值． 【学以致用】 （3）两块完全一样的直角三角板如图③放置，其中A，O，D在一条直线上，连接AC，BD．若，，求一块直角三角板的面积． 25. 如图，，点，分别是直线和上一点，平分，连接，过点作交的延长线交于点，当，． （1）___________°，___________°． （2）求度数； （3）将绕着点以每秒的速度顺时针旋转，射线绕着点以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为秒，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当为何值时，，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本次考试不允许使用计算器进行运算． 第Ⅰ卷（选择题40分） 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行大约需要．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解：数据用科学记数法表示为， 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，同底数幂的除法，幂的、积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别根据完全平方公式，同底数幂的除法，幂的、积的乘方运算法则判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，写法正确，符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：C． 3. 如果三角形两边长分别是，，那么第三边长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，本题根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得出答案即可． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是，， ∴设这个三角形第三边长为， 则x的取值范围是：，即， 故这个三角形第三边的长可能是． 故选：B． 4. 下列图形中，由能得到的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线判定定理逐项判断即可解题． 【详解】解：A、不能判定，故本选项不符合题意； B、，则（内错角相等，两直线平行），故本选项符合题意； C、，则（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； D、不能判定，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 任画一个三角形，它的内角和为 B. 在一个只装有红球的袋子中摸出一个白球 C. 抛掷一枚硬币，正面向上 D. 任意掷一枚质地均匀的筛子，掷出的点数是偶数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据三种事件的特点逐项判断即可求解． 【详解】解：A、任画一个三角形，它的内角和为，是必然事件，符合题意； B、在一个只装有红球的袋子中摸出一个白球，是不可能事件，不符合题意； C、抛掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意； D、任意掷一枚质地均匀的筛子，掷出的点数是偶数，是随机事件，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，在探究垂线的性质时，李老师将直角三角尺的一条直角边摆放在钝角的边上，另一条直角边经过顶点，则下列线段的长度能表示点到距离的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离定义：“点到直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离”，得出点到距离的是线段的长度，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点到距离的是线段的长度． 故选：D． 7. 如图，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，根据全等三角形对应角相等可得，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 8. 如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样．假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击中游戏板，则重投1次），则飞镖击中阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，掌握某事件的概率等于这个事件所占有的面积与总面积之比成为解题的关键． 先计算出阴影部分的面积，然后计算阴影部分的面积与整个图形的面积的比即可． 【详解】解：∵阴影部分为正方形，正方形的边长为， ∴阴影区域的面积为， ∵整个正方形的面积为， ∴飞镖击中阴影区域的概率是． 故选C． 9. 若m，n是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据已知等式可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，将ABC沿BC翻折，使点A落在点A′处，过点B作BD∥AC交A′C于点D，若∠1＝30°，∠2＝140°，则∠A的度数为（　　） A. 115° B. 120° C. 125° D. 130° 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠的性质和平行线的性质得到∠BCD＝∠CBD，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：设∠A′BD＝α， ∵将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A′处， ∴∠ABC＝∠A′BC＝30°，∠ACB＝∠A′CB，∠A＝∠A′， ∵AC∥BD， ∴∠ACB＝∠CBD， ∴∠BCD＝∠CBD， ∵∠2＝140°， ∴∠CBD＝∠BCD＝（180°﹣140°）＝20°， ∵∠CBA′＝30°， ∴∠A′BD＝10°， ∴∠A′＝∠2﹣∠A′BD＝140°﹣10°＝130°， ∴∠A＝∠A′＝130°， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，如果，则的度数为__________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角的性质．根据对顶角相等求出的度数，即可得解．熟记对顶角相等是解题的关键． 【详解】解：与为对顶角， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故答案为：． 14. 若关于的二次三项式是完全平方式，则的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，解一元一次方程，解题的关键是熟练运用完全平方公式．根据完全平方式的结构特征，列出方程，即可求解． 【详解】解：∵是完全平方式，且， ∴， 解得：或． 故答案为：或． 15. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是___________．（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弦图，完全平方公式，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，根据题意，，结合已知化简计算即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边为，较短直角边为， 根据题意，， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的值是， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的解题过程．） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用单项式乘单项式、同底数幂的乘法法则计算即可； （2）先化简绝对值、计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再计算加减即可； （3）先利用平方差公式进行括号内计算，再计算乘除即可； （4）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再计算加减即可． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整． 例：先化简，再求值：，其中． 解： ____①____ 把代入上式，得：____②____ ____③____ 其中____④____ 【答案】，，， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，解题的关键是求出多项式，准确熟练的进行计算． 根据整数的混合运算法则计算，再将代入计算，再求出多项式即可． 【详解】解：， 把代入上式，得：， 其中． 故答案为：，，， 18. 如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：____①____（已知）， ． 同理可得____②____． 在中，三角形三个内角和等于， ____③____， ____④____（等式的性质） ____⑤____． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义求出的值，后根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：平分，（已知）， ． 同理可得． 在中，三角形三个内角和等于， ， （等式的性质） ． 19. 如图，已知直线，直线与分别相交于点，若于点，交直线于点． （1）若，求的度数． （2）若，，，则点到直线的距离是___________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，余角和补角的有关计算，点到直线的距离等知识． （1）根据平行线的性质得出，再根据垂直以及余角的定义得出，进而可得出． （2）根据等面积法以及点到直线的距离求解即可． 【小问1详解】 解：如图， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：设点到直线的距离是， ， ， ， ， 点到直线的距离是， 故答案为：． 20. 按要求完成下列说明过程． 如图，在四边形中，点为延长线上一点，点为延长线上一点，连接，交于点，交于点，如果，，那么与相等吗？说说你的理由， 解：相等．理由如下： （____①____） 又（已知）． ____②____（等量代换）． （____③____） （____④____） （已知）， （等量代换） ____⑤____．（同旁内角互补，两直线平行）． ____⑥____（_________）． 【答案】对顶角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；；两直线平行，内错角相等 ． 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角性质、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行 ）和性质定理（两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等 ）是解题的关键．利用对顶角、等量代换推出直线平行关系，再依据平行线性质和判定，逐步推导得出 ． 【详解】解：解：相等．理由如下： （对顶角相等） 又（已知）． __（等量代换）． （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） （已知）， （等量代换） _ ．（同旁内角互补，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；；两直线平行，内错角相等 ． 21. 某水果店以元/千克的成本购进千克橙子，店员在销售过程中随机抽取橙子进行“橙子损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，请解决以下问题： （1）估计柑橘损坏的概率为__________； （2）估计这批柑橘完好的质量为__________千克； （3）若这批橙子销售（只售好果）完毕后，利润是元，每千克的售价应为多少元？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据概率求数量，一元一次方程的应用，掌握用频率估计概率知识是解决本题的关键． （1）根据图形即可得出柑橘损坏的概率； （2）用整体减去柑橘损坏的概率即可得出柑橘完好的概率，用柑橘完好的概率乘以这批柑橘的总质量即可求解； （3）设每千克的售价应为元，根据每千克的利润乘以总斤数等于总利润，列出方程，求出的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据统计图可得，随着抽取橙子质量的增加，损坏率稳定在附近， 即柑橘损坏的概率估计值为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：柑橘完好的概率估计值为：， 则这批柑橘完好的质量为：千克． 故答案为：． 【小问3详解】 解：设每千克的售价应为元， 根据题意得：， 解得：， 故每千克的售价应大约为元． 22. 如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． （1）求的长； （2）求度数． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． （1）利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）证明即可． 【小问1详解】 ∵， ， ； 【小问2详解】 ∵， ， ∵B，C，D共线， ， ， ， ． 23. 9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域，成功发射1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．某校的一个数学兴趣小组看到新闻后，产生浓厚的兴趣，参加了学校科技节比赛，制作了如图1所示航天火箭模型，为了向全校同学宣传自己的科技作品，用板制作了如图2所示的宣传版画，它是由一个三角形，两个梯形组成，已知板（阴影部分）的尺寸如图2所示． （1）用含a、b的代数式表示图2的板模型的总面积（结果需化简）； （2）若，，求板总面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、完全平方公式的运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据板模型的总面积为上面的三角形的面积中间梯形的面积下面梯形的面积，列式计算即可得解； （2）先利用完全平方公式得出，再代入（1）中所求的式子即可得解． 【小问1详解】 解：由图可得： 板模型的总面积为： ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴板模型的总面积为． 24. 教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为___________． 【拓展应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则___________．． （2）若满足，求的值． 【学以致用】 （3）两块完全一样的直角三角板如图③放置，其中A，O，D在一条直线上，连接AC，BD．若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】类比探究：；拓展应用：（1）；（2）；学以致用：（3）． 【解析】 【分析】考查了完全平方公式的几何背景及应用，熟练掌握完全平方公式的变形与几何意义是解题的关键． 类比探究：需通过观察图②，用整体与部分的面积关系推导等式，即大正方形面积减去空白部分面积得到阴影部分面积，或者用各部分阴影小图形面积相加来表示． 拓展应用：(1)根据类比探究得出的公式，将与的值代入计算 ． 拓展应用：(2)把和看作整体，利用类比探究的公式，结合已知条件计算 ． 学以致用：(3)设出直角三角板的两条直角边，根据线段和与面积和的条件，结合完全平方公式变形求解单块三角板面积 ． 【详解】解：类比探究： 大正方形边长，面积，空白是两个长宽的长方形，两个小正方形的面积分别为， ， ∴阴影面积 ． 拓展应用： (1)由，，， ∴ ． (2)设，，则， ． ， ∴ ． 学以致用：(3)设，，则 ． ，即 ． ∵， ∴，，， ． ∴一块直角三角板面积 ． 25. 如图，，点，分别是直线和上一点，平分，连接，过点作交的延长线交于点，当，． （1）___________°，___________°． （2）求的度数； （3）将绕着点以每秒的速度顺时针旋转，射线绕着点以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为秒，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当为何值时，，请直接写出此时的值． 【答案】（1）； （2） （3）秒或秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，旋转的性质等，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得出，根据如图求得，根据两直线平行。内错角相等即可求解； （2）根据两直线平行，内错角相等，同位角相等得出，，根据角平分线的定义得出，即可求解； （3）根据三角形内角和定理可得，根据旋转的性质得出射线旋转的度数为度，旋转的度数为度，结合射线旋转的度数，分为、、三种情况，结合图形，分别列出方程，求出的值。 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故， ∵， ∴． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， 即， ∴． 【小问3详解】 解：由（2）可得， ∴， 当射线旋转一周后停止转动时，，此时绕着点顺时针旋转了； 当射线旋转半周时，，此时绕着点顺时针旋转了； ∵射线绕着点以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为秒， ∴射线旋转的度数为度， ∵将绕着点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒， ∴旋转的度数为度， 当射线旋转的度数小于时，若，，如图： ∵射线旋转的度数为度， ∴的度数为度， ∵旋转的度数为度， ∴的度数为度，的度数为度， 即， 解得：； 当射线旋转的度数大于时，若，，如图： ∵射线旋转的度数为度， ∴的度数为度， ∵旋转的度数为度， ∴的度数为度，的度数为度， 即， 解得：； 当射线旋转的度数大于时，若，，如图： ∵射线旋转的度数为度， ∴的度数为度， ∵旋转的度数为度， ∴的度数为度，的度数为度， 即， 解得：； 综合上，当值为秒或秒或秒时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $