重庆市杨家坪中学2024-2025学年高一下学期第二次（6月）月考数学试题

杨家坪中学高2027届第二次月考试题答案 一、单选题（每题5分，共40分） 1．若（是虚数单位，a，b是实数），则复数在复平面内对应的点是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（   ） A．前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势 B．上映前十天的票房极差为4.76（亿） C．上映前十天的票房中位数为6.34（亿） D．上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿） 4．已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像关于轴对称，则满足条件且最小的的值为（    ） A．3 B． C．15 D．2 5．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．已知 A． B． C．6 D． 7．如图，四边形是边长为2的菱形，.半圆面底面，点为圆弧AD上的动点.当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，鹅岭公园的瞰远楼是重庆历史悠久且非常出名的观景点。我校数学兴趣小组成员为测瞰远楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的三处进行测量，如图2已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，BC=AB=12米，则根据该测量方案可测得瞰远楼的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、多选题（每题6分，共18分） 9．已知，是空间中的两个不同的平面，，，是三条不同的直线．下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 10．下列说法正确的是（    ） A．一组数据2，3，，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是3 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第分位数是23 C．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中某个体被抽到的概率是0.2 D．若样本数据的标准差为6，则数据，，，的标准差为11 11．如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A．不存在点，使得 //平面 B．过三点的平面截正方体所得截面面积是 C．三棱锥的体积不为定值 D．三棱锥的外接球表面积为 三、填空题（每题五分，共15分） 12．如图，梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则在平面图形中， ；图形的面积为 ． 13．如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线，平面与平面的交线，若直线与所成角为，直线与所成角为，则的值是 ． 14．在边长为的菱形中，为的中点，，点在线段上运动，则的取值范围是 . 四、解答题 15（13分）．重庆市杨家坪中学第十二届“爱国奋斗 强国励志”大成风采艺术节高2027届合唱比赛28个班级结果分数x分成四段：[8.15,8.55],[8.55,8.95],[8.95,9.35],[9.35,9.75]，并作出如图所示的频率分布直方图. (1)求出a的值； (2)已知样本数据落在[8.55,8.95]的平均分是8.778，落在[8.95,9.35]的平均分是9.161。求这两组数据的总平均数 (3)已知上四分位的班级获得特等奖，求出多少分以上为特等奖答案保留三位小数； . 16（15分）．在中，角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)已知面积为，为7，求边上中线长. 17（15分）．如图，三棱锥中，是等边三角形，，E为BC的中点． (1)M是AB上的一点，若EM//面ACD，则确定点M的位置，并证明； (2)证明：； (3)若，，，求E到平面ACD的距离． 18（17分）．已知向量，，其中，函数，且． (1)求函数的解析式； (2)求在上的值域； 3)若对，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围。 19（17分）．如图，等腰直角三角形所在平面与半圆弧所在平面垂直，且，M是上异于A、B的点，N是的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱锥体积最大为，设， （ⅰ）求体积最大时α的值及此时直线CM与面ABC夹角的正切值； （ⅱ）当M在弧上运动时（不与A、B重合），证明：点O到平面的距离． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C A B D A B BD AC 题号 11 答案 BD 1．D 【分析】根据复数的乘法，结合复数相等，可得参数的值，结合复数的几何意义，可得答案. 【详解】由，则， 所以复数在复平面上的对应点为. 故选：D. 2．D 【分析】根据投影向量的定义求在上的投影向量. 【详解】由投影向量的定义，在上的投影向量为. 故选：D 3．C 【分析】根据极差、中位线、百分位的定义计算可得. 【详解】对于A：根据折线统计图，无法预测前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势，故A错误； 对于B：上映前十天的票房极差为（亿），故B错误； 对于C：上映前十天的票房从小到大排列为、、、、、、、、、， 所以上映前十天的票房中位数为（亿），故C正确； 对于D：因为，所以上映前十天的票房第70百分位数为（亿），故D错误. 故选：C 4．A 【分析】根据平移得出偶函数计算求得，再计算得出最小值求参. 【详解】由题设，函数为偶函数， 所以，得， 要最小，取，得， 故选：A. 5．B 【分析】由题意画出图形，然后补形为长方体，求出长方体的对角线长，即可得到外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】由，，，∴，即有， 又平面，所以，，两两互相垂直，该瞥臑如图所示：     图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球，是长方体的体对角线， 也是外接球的直径，设外接球半径为R，则， 所以瞥臑的外接球表面积为. 故选：B． 6．D 【分析】根据，去除平角时的情况。. 【详解】，所以 故选:D． 7．A 【分析】根据给定条件，确定点的位置，再利用几何法求出二面角的余弦值. 【详解】过点作于，连接，菱形边长为2，， 由半圆面平面，半圆面平面平面， 得平面，而的面积是定值，要三棱锥的体积最大， 当且仅当最大，此时为弧的中点，为中点，而为正三角形， 因此，又平面，则平面， 而，则平面，又平面，于是， 则是二面角的平面角，，， 所以二面角的余弦值. 故选：A 8．B 【分析】结合题意先分析出图形中的具体角度，设，然后表示出其余所有边长，最后利用余弦定理求解. 【详解】在直角三角形中，，，可设； 在直角三角形中，，，可得； 在直角三角形中，，，可得. 在中，根据余弦定理，， 在中，根据余弦定理，， 又，则，即， 解得，即. 故选：B 9．BD 【分析】根据点，线，面位置关系的定理和性质逐一判断即可. 【详解】A，若，，此时有可能在平面内，并不一定，故A错误； B，若，，则，又，所以，故B正确； C，若，，则或，又，则两平面相交或平行，故C错误； D，因为，，根据一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面， 那么它也垂直于另一个平面，可得. 又因为，垂直于同一个平面的两条直线平行，所以，故D正确. 故选：BD 10．AC 【分析】根据数据平均数列方程求即可判断A；根据百分数的定义求数据中第分位数判断B；根据简单随机抽样各个体被抽到的概率等于样本容量与总体容量的比值判断C；根据方差的性质求新数据的方差，进而确定其标准差判断D. 【详解】A：由，可得，显然这组数据的众数是3，对； B：将数据从小到大排序为， 又，所以第分位数是，错； C：由题设，简单随机抽样过程中抽取到任一个体的概率为，对； D：由样本数据的标准差为6，即方差为， 则数据，，，的方差为，故标准差为，错. 故选：AC 11．BD 【分析】根据线面平行判定定理判断A，应用截面面积判断B，等体积计算判断C，结合长方体外接球计算求解判断D. 【详解】 对于A，当为中点时，由中位线可得， 因为平面，平面，所以平面，故A错误； 对于B，由中位线可得，在正方体中，易证，所以， 又因为，所以截面为等腰梯形，，故B正确； 对于C，，为定值，故C不正确； 对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以表面积，故D正确. 故选：BD. 12． 2 3 【分析】第一空由斜二测画法可得；第二空先由直观图求出梯形的高和面积，再由原图与直观图的面积关系计算可得. 【详解】由斜二测画法可知； 由图可得梯形的高为， 所以梯形的面积， 则平面图形的面积为. 故答案为：2；3. 13． 【分析】作出辅助线，得到为直线，故，利用边长关系求出，再由线面平行的性质定理得到，，由三角形全等得到，从而计算出的值. 【详解】延长与直线相交于，连接， 则平面与平面的交线为， 即为直线，故即为， 又，， 是棱的中点，且， ，， 又为锐角，且，， 则， 又平面平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以，又， 故直线与所成角为， 又，故， 所以， 故答案为：. 14．5． 【分析】利用平面向量数量积的定义可求得，然后以点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，设点，其中，利用二次函数的基本性质结合平面向量数量积的坐标运算可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以，， 因为，故， 以点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，设点，其中， ，， 所以， 因为，函数在上单调递减， 故，即， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 15．（1）、；——————4分 (2)、；————8分 （3）、分数在9.217分以上是特等奖。————13分 16、(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用内角和定理变角，即可求角； （2）利用面积公式和余弦定理列出等式，再由向量中线的线性表示，借助向量的运算得到方程求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理边化角得 利用三角形内角和定理可得 即 因为所以，即 因为，所以.——————7分 （2）由得① 由得② 由①②得 由， 得.————15分 17．(1)证明见解析；．(2)证明见解析；(3). 【分析】(1)作PB中点M，连接EM，中位线EM//AC，证得线面平行； （2）设的中点为，连接，易得、，再由线面垂直的判定和性质证明结论； （3）根据已知得，在平面内作，分析并构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，求出平面的一个法向量，应用向量法求点面距. 【详解】(1)做AB中点M，连接EM，此时EM//AC， ，所以EM//面ACD————4分 (2）设的中点为，连接，    由是等边三角形，则， 由中位线定理知且，则，————7分 又平面，故平面， 由平面，所以.————9分 （3））知，CD————10分 ————12分 由，则， 由题设，则，， 由余弦定理， 又，， AE=3；—————14分 ————15分 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）整理函数的解析式可得，由，可得，即可得函数解析式. （3）将所给不等式等价转化，将其化成在恒成立问题，通过设元，，将函数化成，，判断其单调性即得，从而求得参数范围. 【详解】（1）依题意， ． 由得， 即． 又，所以． 所以——————4分 （2）已知，所以的取值范围为————9分 （3）因在恒成立， 则， 而 ， 所以，————13分 即在恒成立， 记，——————15分 ， 又； 设，则在上单调递增， ， ，即． 故的取值范围为——————17分 19．(1)证明见解析 (2)（ⅰ），；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据面面垂直的性质，线面垂直的判定与性质即可证明； （2）（ⅰ）由三棱锥体积最大为求得半径及，再根据二面角的定义求解即可； （ⅱ）根据等体积法即可证明． 【详解】（1）证明：因为M是半圆弧上一点，所以，即， 因为分别是的中点，所以，， 因为是等腰直角三角形，，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面，，所以平面．————5分 （2）（ⅰ）设的半径为r，过点M作交于点G，如图，则， 因为， 故当最大时，体积最大，此时M位于的中点处， 所以，，所以．————8分 平面ABC，所以直线CM与面ABC夹角为,此时MG=CG,所以tan————11分 （ⅱ）：过点M作交于点G，如图所示， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 由（ⅰ）知， 当时，，则， 所以， 由等腰三角形得，， 因为平面，平面，所以， 所以， 在中，，， 所以， 又因为， 所以．————17分 答案第10页，共11页 答案第11页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$