精品解析：重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期中考数学三模试卷

2025重庆一中初三下三诊 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴为 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 下面的气象图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查，样本具有代表性的是（　　） A. 了解全校同学对课程喜欢情况，对某班男同学进行调查 B. 了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查 C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查 D. 了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查 4. 如图，若，且，则的面积与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 5. 反比例函图像一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 6. 估算的值在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 7. 如图所示，下列图形都是由同样大小的O按一定的规律组成的，其中第①个图形中有3个○，第②个图形中有5个○，第③个图形中有7个○，……．按此规律，第⑧个图形中○的个数是（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 8. 如图，是圆O的切线，切点为B，点A是圆O上一点，连接，和，与交于点D，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形ABCD的边BC上有一点F，连接AF，交对角线BD于点E，过点E 作HG⊥AF，分别交AB，CD于点G，H，若AG=2BF，则的值为（ ） A. −1 B. C. D. 10. 已知整式M：，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，其中n，为自然数，，为正整数，且．例如，当，时，整式，则，，下列说法： ①当时，满足条件的整式M共有4个； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 不透明袋子中装有7个绿球和3个红球，这些球除颜色外其余均相同．从袋子中随机摸出1个球，则恰好摸出绿球的概率为_____ 12 如图，，若，则_____度． 13. 张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是________． 14. 若是关于x的方程的解，则的值为_____ 15. 如图，平行四边形的三个顶点B，C，D在上，线段为直径，连接，与相交于点E，已知，则_____；延长交于点H，连接，若，则的长为_____ 16. 我们规定，一个四位自然数，各数位数字均不相同且均不为零，满足，则称该自然数为“长久”数，．如1386满足，所以1386是“长久”数，，如2772满足，但不满足各数位数字均不相同，所以2772不是“长久”数．若四位自然数（且x，y均为整数）是“长久数”，则_____；已知四位自然数（且a，b，c，d均为整数）是“长久”数，将B的千位数字作为十位数字，将B的十位数字作为个位数字得到的两位数记为s，将B的百位数字作为十位数字，将B的个位数字作为个位数字得到的两位数记为t，若是整数，且能被10整除，则满足条件的B的最大值为_____ 三、解答题：（本大题9个小题，第17，18题各8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 18. 如图，四边形是矩形，连接． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点，连接（保留作图痕迹，不写做法）． （2）已知：在矩形中，为的垂直平分线，求证：四边形为菱形．证明：四边形是矩形 ∴① ∵为的垂直平分线， ∴且② ∴在和中 ∴ ∴③ 又∵ ∴．四边形是平行四边形又∵④ ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 为了了解学生对中国传统文化的掌握情况，某校举办了传统文化知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名同学的竞赛成绩（满分50分）进行收集、整理、描述、分析（成绩用x来表示，且均为整数，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩在A组的数据是： 48，50，50，50，48，49，50，50，49，50，48，50 七、八年级所抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 48 a 50 八年级 48 49 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）请填空： ， ， （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的传统文化知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有600名学生、八年级有500名学生参加了此次传统文化知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到A等级的学生共多少人？ 21. 列方程（组）或不等式（组）解决问题． 2025年五一期间，重庆荣昌成为了全国热门旅游城市，荣昌卤鹅也渐渐成为了游客们的美食首选，卤鹅可分为酱香和麻辣两种口味．某卤鹅专卖店第一次购进了酱香味卤鹅和麻辣味卤鹅共40只，酱香味卤鹅每只进价18元，麻辣味卤鹅每只进价21元，酱香味卤鹅每只售价23元，麻辣味卤鹅每只售价25元． （1）若该店第一次购进两种卤鹅共花了774元，则购进酱香味卤鹅和麻辣味卤鹅各多少只？ （2）第一批卤鹅销售完毕，该店又购进了第二批，第二批两种卤鹅每只的进价不变，购进的两种卤鹅数量相同．每只酱香味卤鹅的售价在第一次的基础上涨了元，每只麻辣味卤鹅的售价在第一次的基础上降低了m元，当第二批进货全部买完后，统计出第二批酱香味卤鹅获得160元的利润，第二批麻辣味卤鹅获得40元的利润，求m的值． 22. 如图，在菱形中，，对角线，动点P沿以每秒2.5个单位长度的速度运动，到达C点停止运动；同时，动点Q沿以每秒1.5个单位长度的速度运动，到达C点停止运动．连接，设点P的运动时间为x秒，点P，Q的距离为，菱形的面积与的面积之比为 （1）请直接写出分别关于x表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图像，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出时x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 23. 如图，甲、乙两名外卖小哥同时从A餐厅出发，分别向B、C两个小区和F、E两个小区送餐，最后到达位于A餐厅正东方向的D餐厅再次取餐．甲外卖小哥沿A餐厅北偏东方向行驶一定距离到达B小区，再沿正东方向行驶4千米到达C小区，最后沿东南方向行驶一定距离到达D餐厅．乙外卖小哥沿A餐厅的正南方向行驶4千米后到达F小区，再沿南偏东方向行驶4千米后到达E小区，最后沿东北方向行驶一定距离到达D餐厅．（参考数据： （1）求A、D两餐厅之间的距离；（结果保留根号） （2）甲，乙外卖小哥均到达D餐厅后，求乙外卖小哥比甲外卖小哥多行驶了多少千米？（结果保留小数点后一位） 24. 在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，与y轴交于点A，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点H，点M为抛物线对称轴上一点，过点M作轴，垂足为N，连接，当线段取最大值时，求P的坐标和的最小值； （3）如图2，将抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新抛物线y＇，点E为新抛物线与x轴的左交点，连接AE，点M是新抛物线上的一个动点，连接，当满足时，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点M的坐标，写出求解过程． 25. 如图所示，在中，，点是边上一点，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，连接，，． （1）如图1，延长交于，当点在线段上时，连接，若为的角平分线，，求的度数（用的代数式表示）； （2）如图2，当点在线段上时，连接，，若为的角平分线，，求证：； （3）如图3，点为内一点，连接，，且，过点作于点，于点，连接，若，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025重庆一中初三下三诊 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴为 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 下面的气象图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； B．该图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意； C．该图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D．该图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意． 故选：B． 3. 下列调查，样本具有代表性的是（　　） A. 了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查 B. 了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查 C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查 D. 了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查 【答案】D 【解析】 【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现． 【详解】解：A、了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查，不具代表性、广泛性，故A错误； B、了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查，调查不具代表性、广泛性，故B错误； C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，调查不具有代表性、广泛性，故C错误； D、了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查，调查具有代表性、广泛性，故D正确． 故选D． 考点：抽样调查的可靠性． 4. 如图，若，且，则的面积与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， 故选：B． 5. 反比例函的图像一定经过的点是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，在反比例函数图象上的点的横纵坐标一定满足其解析式，故在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为负6，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函的图像一定经过的点是， 故选：D． 6. 估算的值在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 【答案】B 【解析】 【分析】先化简计算，然后用夹逼法求解． 【详解】解： ∵， ∴， ∴ ∴的值应在2和3之间． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 7. 如图所示，下列图形都是由同样大小的O按一定的规律组成的，其中第①个图形中有3个○，第②个图形中有5个○，第③个图形中有7个○，……．按此规律，第⑧个图形中○的个数是（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知每个图形中○的个数为序号的2倍加1，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个图形中有3个○， 第②个图形中有5个○， 第③个图形中有7个○， 第④个图形中有9个○， ……， 以此类推可知，第n个图形中有个○， ∴第⑧个图形中○的个数是， 故选：B． 8. 如图，是圆O的切线，切点为B，点A是圆O上一点，连接，和，与交于点D，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由切线的性质可得，由等边对等角可得，求出，最后再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是圆O的切线，切点为B， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，在正方形ABCD的边BC上有一点F，连接AF，交对角线BD于点E，过点E 作HG⊥AF，分别交AB，CD于点G，H，若AG=2BF，则的值为（ ） A. −1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，四点共圆，相似三角形的判定和性质，过点作，连接，利用全等三角形的判定和性质可得，再利用四点共圆得到为等腰直角三角形，即可得到，最后利用相似三角形的性质即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，连接， 四边形为正方形， ，， ， 四边形为矩形， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， 四点共圆， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 故选：A． 10. 已知整式M：，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，其中n，为自然数，，为正整数，且．例如，当，时，整式，则，，下列说法： ①当时，满足条件的整式M共有4个； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论，依次判断得到答案即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴满足条件的整式M共有4个，故①正确； 当时，当时，，不符合题意； 当时，， ∴， ∴， 满足条件的整式有：， 当时，， ∴， ∴，， 满足条件的整式有：，， ∴满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 由①得当时，满足条件的整式M共有4个； 当时，则， ∴ ∴，，，满足条件的整式M共有6个； 当时，则， ∴ ∴，，，满足条件的整式M共有4个； 当时，则， ∴ ∴，满足条件的整式M共有1个； 当时，则，（不符合题意，舍去） ∴满足条件的整式共有个．故③错误； 故选B 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 不透明袋子中装有7个绿球和3个红球，这些球除颜色外其余均相同．从袋子中随机摸出1个球，则恰好摸出绿球的概率为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率；根据概率计算公式，求出事件所有可能的结果数，取到绿球的可能结果数，即可求解 【详解】解：所有可能的结果数为，取到绿球的可能结果数为7， 则取到红球的概率为：； 故答案为：． 12. 如图，，若，则_____度． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，余角的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据互余求出，再根据平行得到内错角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 13. 张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是________． 【答案】 【解析】 【分析】设该超市的月平均增长率为x，根据等量关系：三月份盈利额五月份的盈利额列出方程求解即可． 【详解】解：设每月盈利平均增长率为x， 根据题意得：． 解得：，（不符合题意，舍去）， 故答案：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量后来的量，其中增长用＋，减少用−，难度一般． 14. 若是关于x的方程的解，则的值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义及求代数式的值．一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．把代入方程得出，然后将原式化简，整体代入求解即可． 【详解】解：把代入方程得，， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 如图，平行四边形的三个顶点B，C，D在上，线段为直径，连接，与相交于点E，已知，则_____；延长交于点H，连接，若，则的长为_____ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过O作于P，连接、，根据垂径定理和等腰三角形的性质，结合圆周角定理得到，，根据已知及正弦定义求得，进而可求得；过B作于Q，连接、，先利用圆周角定理和等腰三角形的性质求得，，，利用锐角三角函数求得，然后利用平行四边形的性质推导出，利用相似三角形的性质求得，进而在中，利用勾股定理可求得． 【详解】解：过O作于P，连接、，则，， ∴，又， ∴， ∵，线段为直径， ∴，， ∴， ∴； 过B作于Q，连接、， ∵，线段为直径， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， 则， 在中，，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 16. 我们规定，一个四位自然数，各数位数字均不相同且均不为零，满足，则称该自然数为“长久”数，．如1386满足，所以1386是“长久”数，，如2772满足，但不满足各数位数字均不相同，所以2772不是“长久”数．若四位自然数（且x，y均为整数）是“长久数”，则_____；已知四位自然数（且a，b，c，d均为整数）是“长久”数，将B的千位数字作为十位数字，将B的十位数字作为个位数字得到的两位数记为s，将B的百位数字作为十位数字，将B的个位数字作为个位数字得到的两位数记为t，若是整数，且能被10整除，则满足条件的B的最大值为_____ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，根据题意可得四位数A的千位数字为，十位数字为，当时，四位数的百位数字为，此时不是“长久数”，则，进而可得，解得，则四位数即为，；分当时，B的千位数字为a，百位数字为，十位数字为，个位数字为，当时， 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，两种情况求出对应的、，，进而表示出，再根据是整数，且能被10整除推出b与c的关系式，据此讨论求解即可． 【详解】解：，，， 四位数的千位数字为，十位数字为， 当时，四位数的百位数字与十位数字均为， 不是“长久数”， ， 四位数的百位数字为， ， ， 四位数即为， ； 当时， ，且， 千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ，， ， ， ， ； ， ， 能被整除， 一定能被整除， 一定能被整除， 或， 当时， ， 此时，，不符合题意； 当时，则， 是整数， 一定能被整除， 或或或， 当时， ，， ， ， 此时为； 当时， ，(不符合题意，舍去）； 当时， 可得：，， ， ， 为； 当时， 可得：，(不符合题意，舍去)； 当时， ，且，，，， 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ，， ， ， ， ； ∵ ， ， 能被整除， 一定能被整除， 一定能被整除， 或， 当时， ， ，不符合题意； 当时，则 是整数， 一定能被整除， 或或或， 当时， 要满足最大，则首先要满足最大， 当时，， ， ， 此时为； 当或或时，此时的值一定小于， 综上所述，的最大值即为， 故答案为：；． 三、解答题：（本大题9个小题，第17，18题各8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再求出整数解的和即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为，，，， ∴它的所有整数解的和为． 18. 如图，四边形是矩形，连接． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点E，交于点F，交于点，连接（保留作图痕迹，不写做法）． （2）已知：在矩形中，为的垂直平分线，求证：四边形为菱形．证明：四边形是矩形 ∴① ∵为的垂直平分线， ∴且② ∴在和中 ∴ ∴③ 又∵ ∴．四边形是平行四边形又∵④ ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，准确作图和证明是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图步骤进行作图即可； （2）由为的垂直平分线得到且，证明，得到，由得到四边形是平行四边形，又由即可证明平行四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如图即为所求， 【小问2详解】 证明：四边形是矩形 ∴ ∴ ∵为的垂直平分线， ∴且 ∴在和中 ∴ ∴ 又∵ ∴．四边形是平行四边形 又∵ ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：，，， 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式和整式的混合运算，涉及负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行整式的混合运算，再进行分式的混合运算，然后计算出，再代入求值即可． 【详解】解： ， 而， ∴原式． 20. 为了了解学生对中国传统文化的掌握情况，某校举办了传统文化知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名同学的竞赛成绩（满分50分）进行收集、整理、描述、分析（成绩用x来表示，且均为整数，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩在A组的数据是： 48，50，50，50，48，49，50，50，49，50，48，50 七、八年级所抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 48 a 50 八年级 48 49 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）请填空： ， ， （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的传统文化知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有600名学生、八年级有500名学生参加了此次传统文化知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到A等级的学生共多少人？ 【答案】（1）48；50；25 （2）八年级学生竞赛成绩更好，理由见解析 （3）685名 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义可得的值；求出满分人数即可得出其众数的值；先求出七年级组人数对应百分比，再由百分比之和为1可得的值； （2）根据中位数大小可得出结论，答案不唯一，合理均可； （3）各年级总人数乘以各年级参加此次知识竞赛成绩达到A等级的人数所占比例，再求和即可． 【小问1详解】 解：七年级A等级人数为12人，B、C、D总人数为8人，成绩按从小到大排列， 其中位数为第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据分别为A等级中的48，48， ∴七年级成绩的中位数； ∵八年级学生竞赛成绩满分，人数最多， ∴八年级成绩的众数， ∵七年级A等级人数对应百分比为， ，即． 故答案为：48；50；25． 【小问2详解】 解：八年级学生竞赛成绩更好， 因为八年级学生竞赛成绩的中位数大于七年级学生竞赛成绩的中位数，大多数的成绩较好（答案不唯一，合理均可）． 【小问3详解】 解：（名） 【点睛】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体，掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键． 21. 列方程（组）或不等式（组）解决问题． 2025年五一期间，重庆荣昌成为了全国热门旅游城市，荣昌卤鹅也渐渐成为了游客们的美食首选，卤鹅可分为酱香和麻辣两种口味．某卤鹅专卖店第一次购进了酱香味卤鹅和麻辣味卤鹅共40只，酱香味卤鹅每只进价18元，麻辣味卤鹅每只进价21元，酱香味卤鹅每只售价23元，麻辣味卤鹅每只售价25元． （1）若该店第一次购进两种卤鹅共花了774元，则购进酱香味卤鹅和麻辣味卤鹅各多少只？ （2）第一批卤鹅销售完毕，该店又购进了第二批，第二批两种卤鹅每只的进价不变，购进的两种卤鹅数量相同．每只酱香味卤鹅的售价在第一次的基础上涨了元，每只麻辣味卤鹅的售价在第一次的基础上降低了m元，当第二批进货全部买完后，统计出第二批酱香味卤鹅获得160元的利润，第二批麻辣味卤鹅获得40元的利润，求m的值． 【答案】（1）购进酱香味卤鹅只，麻辣味卤鹅只 （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）设购进酱香味卤鹅只，麻辣味卤鹅只，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）以购进两种卤鹅的数量相同作为等量关系列分式方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：设购进酱香味卤鹅只，麻辣味卤鹅只， 由题意可得：， 解得：， ∴购进酱香味卤鹅只，麻辣味卤鹅只； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故的值为． 22. 如图，在菱形中，，对角线，动点P沿以每秒2.5个单位长度的速度运动，到达C点停止运动；同时，动点Q沿以每秒1.5个单位长度的速度运动，到达C点停止运动．连接，设点P的运动时间为x秒，点P，Q的距离为，菱形的面积与的面积之比为 （1）请直接写出分别关于x的表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图像，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出时x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 【答案】（1） （2）当时，随增大而增大，当，随增大而减小；当时，随增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）当点在上时，过点作于，解，求得，由题意得：，，解，，，则，则，故；当点在上时，此时，，解，，，则，再由勾股定理建立函数关系式即可得到；如第一幅图，而，建立求解函数关系式； （2）描点即可作图，根据一次函数与反比例函数的图象的性质即可作答； （3）当，即函数图象在函数图象上方时的取值范围． 【小问1详解】 解：当点在上时，过点作于， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵ ∴，则 ∴在中，， 由题意得：，， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴； 当点在上时，此时， ∵， ∴， 在中，， ， ∴， ∴ ∴； 如第一幅图： ， 综上：； 【小问2详解】 解：画出函数图象为： 由函数图象可知，该函数有如下性质：当时，随增大而增大，当，随增大而减小；当时，随增大而减小； 【小问3详解】 解：由图象得，当，即函数图象在函数图象上方时，的取值范围为． 【点睛】本题考查了动点类的问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的图象与性质，解直角三角形，菱形的性质，勾股定理，画函数图象等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 23. 如图，甲、乙两名外卖小哥同时从A餐厅出发，分别向B、C两个小区和F、E两个小区送餐，最后到达位于A餐厅正东方向的D餐厅再次取餐．甲外卖小哥沿A餐厅北偏东方向行驶一定距离到达B小区，再沿正东方向行驶4千米到达C小区，最后沿东南方向行驶一定距离到达D餐厅．乙外卖小哥沿A餐厅的正南方向行驶4千米后到达F小区，再沿南偏东方向行驶4千米后到达E小区，最后沿东北方向行驶一定距离到达D餐厅．（参考数据： （1）求A、D两餐厅之间的距离；（结果保留根号） （2）甲，乙外卖小哥均到达D餐厅后，求乙外卖小哥比甲外卖小哥多行驶了多少千米？（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）千米 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点E作于M，过点E作交延长线于 K，解 得到千米，千米，则千米，证明四边形是矩形，得到千米，千米，解求出千米，则千米； （2）过点B作于N，过点C作于H，解得到，，设千米，则千米，千米，证明四边形是矩形，得到千米，，解得到千米，千米，则，解方程得到千米，千米，则千米，解得到千米，则千米，据此可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点E作于M，过点E作交延长线于 K， 在中，千米， ∴千米，千米， ∴千米 ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，千米， 在中，， ∴千米， ∴千米， 答：A、D两餐厅之间的距离为千米； 【小问2详解】 解：如图所示，过点B作于N，过点C作于H， 在中，， ∴，， 设千米，则千米，千米， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 在中，千米，千米， ∵千米， ∴， 解得， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，千米， ∴千米， 千米， 答：乙外卖小哥比甲外卖小哥多行驶了千米． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，与y轴交于点A，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点H，点M为抛物线对称轴上一点，过点M作轴，垂足为N，连接，当线段取最大值时，求P的坐标和的最小值； （3）如图2，将抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新抛物线y＇，点E为新抛物线与x轴的左交点，连接AE，点M是新抛物线上的一个动点，连接，当满足时，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点M的坐标，写出求解过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）可求出，得到；求出直线解析式为；过点P作轴交于T，则，解直角三角形得到；设，则，，当时，有最大值，此时有最大值，则可求出；过点P作且使得，连接，作点C关于x轴的对称点，连接，证明四边形是平行四边形，得到，由轴对称的性质可得，根据，得到当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为，据此利用两点距离计算公式求解即可； （3）先求出平移后的抛物线解析式为中，则可求出；可证明，则；取点，可证明，；在上取一点R，使得，过点R和点L分别作y轴的垂线，垂足分别为V、W，可求出；由，可得，则直线与抛物线的交点（不是E）即为点M的一个位置；如图所示，在直线取一点S使得，则点A为的中点，则，同理可证明直线与抛物线的交点（不是E）即为点M的一个位置，据此求解即可． 【小问1详解】 解；∵抛物线过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 如图2-1所示，过点P作轴交于T， ∴， ∵， ∴； 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∵， ∴当有最大值，有最大值， ∴此时点P的横坐标为， ∴， ∴； 如图2-2所示，当时，过点P作且使得，连接，作点C关于x轴对称点，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由轴对称的性质可得， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵轴， ∴， ∴； ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解；∵将抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新抛物线y＇， ∴平移后的抛物线解析式为； 在中，当时，解得或， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，取点， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，在上取一点R，使得，过点R和点L分别作y轴的垂线，垂足分别为V、W，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴直线与抛物线的交点（不是E）即为点M的一个位置， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点M的坐标为； 如图所示，在直线取一点S使得，则点A为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线与抛物线的交点（不是E）即为点M的一个位置， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，一次函数与几何综合，轴对称的性质，两点距离计算公式，平行四边形的性质与判定等等，解（2）的关键在于把求出的最大值转换成求的最大值，以及构造平行四边形；解（3）的关键在于构造． 25. 如图所示，在中，，点是边上一点，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，连接，，． （1）如图1，延长交于，当点在线段上时，连接，若为的角平分线，，求的度数（用的代数式表示）； （2）如图2，当点在线段上时，连接，，若为的角平分线，，求证：； （3）如图3，点为内一点，连接，，且，过点作于点，于点，连接，若，，，求的最小值． 【答案】（1）； （2）证明过程见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线． （1）综合三角形外交的性质和角平分线的性质，计算即可； （2）构造全等三角形，结合全等三角形的性质，推导线段之间的数量关系即可； （3）根据直角三角形的性质和三角形外角的性质，确定取最小值得条件，用勾股定理解直角三角形，构造等腰三角形，结合三角形外角的性质，得出含特殊角的直角三角形，解直角三角形，求出线段的长度，结合三角形三边之间的关系，即可求得的最小值． 【小问1详解】 解：由题意可知，点为与的交点，B、D、A三点共线， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 答：的度数为． 【小问2详解】 证明：在延长线上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 与的交点记为点，则， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵在中，，，， ∴， 又∵ ∴， 又∵，， ∴， ∴， 连接，取的中点记为，连接，则， ∵于点，于点， ∴， ∴，， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴当最小时，取最小值， 作的垂直平分线，交于点，交的垂直平分线于点，连接，，，则，， ∴，， 延长交于点，则，， ∴， 又∵， ∴， 作于点，则，，， ∵， ∴， 连接，则， ∴， ∴， 当点、点、点共线时，取得最小值， 答：的最小值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $