精品解析：2025年广西壮族自治区南宁市第十四中学九年级中考三模数学试题

数学 （全卷满分120分 考试时间120分钟） 一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 下列四个实数中，最小的数是（　　） A. B. 0 C. D. 2. 鲁班锁，民间也称作孔明锁，八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 2024年2月，中国载人月球探测任务新飞行器名称已经确定，新一代载人飞船命名为“梦舟”，月面着陆器命名为“揽月”，中国探月工程正向新的目标迈进．已知地球与月球之间的平均距离大约是384000千米，数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（　　） A. B. C. D. 7. 某学校开设了特色选修课程，小明从“足球”“篮球”“乒乓球”三门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，则小明恰好选中“足球”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 两块平面镜和按如图所示的方式摆放，且，从上的点处向平面镜射出一束光线，其反射光线恰好与平行，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图反映了某地年月的平均气温和降水量情况，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是（ ） A. 月平均气温在以下 B. 从月到月，气温逐渐升高 C. 从月到月，降水量逐渐减少 D. 冬冷夏热，，月的降水量较多 10. “指尖上的非遗——刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．取一幅长、宽的刺绣，在四周镶嵌宽度相同的边框便制成了一幅矩形挂图（如图），且整幅挂图的面积是．设边框的宽度为，则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 11. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 12. 某班同学在制作风筝的过程中，需要将一张矩形纸片沿折叠，使点B与对角线的中点O重合，展开后，连接，将矩形纸片沿折叠，点E落在上的点G处.若，则风筝骨架的长为（ ） A. B. C. D. 9 二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分） 13. 因式分解：_______． 14. 计算：_______． 15. 吃元宵是元宵节的传统习俗之一．某食品厂为了解市民对2024年销售较好的A，B，C，D四种元宵的喜好程度，在元宵节前对某小区居民进行抽样调查（每人只能选择一种元宵），并将调查结果绘制成如图所示不完整的扇形统计图，已知选择A种元宵的有75人，选择B种元宵的有200人，则选择C种元宵的有_______人． 16. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为_______寸． 17. 如图，菱形的周长为8，O是对角线的中点，将菱形沿向右平移的长得到菱形，与相交于点E，与相交于点F，则四边形的周长是_______． 18. 已知点和点在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，是x轴上的一个定点．当最短时，此时抛物线的解析式为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 解方程：＝1． 21. 如图，已知四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不用写作法） （2）在（1）中，若，，求的长． 22. “三月三”是广西重要的传统节日，在节日期间人们会开展丰富多彩的活动，其中“抛绣球”是壮族最为流行的传统体育项目之一．在某次民族运动会的高杆投绣球团体比赛中，共有30支代表队参赛，每支代表队10人，每人投10次，投进1个计1分，不进或违规投球计0分，随机抽取两个代表队的比赛得分如下： 甲队：5 6 6 8 8 9 9 9 10 10 乙队：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10 得分统计图： 得分统计表： 平均数 中位数 方差 甲 8 乙 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）______（填“>”“=”或“<”）； （2）请直接写出m，n的值； （3）按比赛规定，得分9分以上（含9分）为A等级，请估计本次比赛30支代表队中获得A等级共有多少人？ （4）从中位数和方差中任选其一进行分析，你认为甲，乙哪个队发挥的更好？请说明理由． 23. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． （1）甲同学用空杯先接了温水，再接开水，接完后杯中共有水______； （2）乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间． 24. 如图，四边形内接于．为的直径．．交的延长线于点E，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们以“二次函数的最大值”为主题开展数学活动． 观察发现 （1）如图1，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想用60米长的篱笆围成一个矩形花圃，设米，E是边上的动点。连接，，设的面积为y平方米，求出y与x之间的函数关系式，并求y的最大值． 探究迁移 （2）工人师傅要在如图2所示的矩形铁皮上分割出，用来填充不同材质的产品，已知，，点E，F，G分别在边，，上，且，，设，的面积为y． ①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； ②求y的最大值． （3）如图3，在（2）的条件下，且点F位于的面积最大时的位置，H是上的一点，连接，当四边形的面积为时，求的长． 26. 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边的交点为勾股顶点． （1）等腰直角三角形________勾股高三角形（填写“是”或“不是”）； （2）如图1，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点（），是边上的高． ①若，，试求线段的长度； ②试探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图2，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点作的平行线交于点，若，直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （全卷满分120分 考试时间120分钟） 一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 下列四个实数中，最小的数是（　　） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 分析】本题主要考查了实数比较大小，根据可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个数中最小的数为， 故选：C． 2. 鲁班锁，民间也称作孔明锁，八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的三视图，掌握立体图形的特点，三视图的特点是解题的关键． 根据立体图形的特点进行判定即可求解，在立体图形中存在的线条，三视图中能看到的用实线表示，看不到的用虚线表示． 【详解】解：如图所示的鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是 ， 故选：D ． 3. 2024年2月，中国载人月球探测任务新飞行器名称已经确定，新一代载人飞船命名为“梦舟”，月面着陆器命名为“揽月”，中国探月工程正向新的目标迈进．已知地球与月球之间的平均距离大约是384000千米，数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 4. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行求解即可，解题的关键是根据分式有意义的条件列出不等式并正确求解．． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故选：． 5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 在数轴上表示如图， 故选：． 6. 如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据钟面分成12个大格，每格的度数为30°即可解答． 【详解】解：∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°， ∴钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60° 故选B． 【点睛】考核知识点：钟面角.了解钟面特点是关键. 7. 某学校开设了特色选修课程，小明从“足球”“篮球”“乒乓球”三门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，则小明恰好选中“足球”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用概率公式求概率，根据概率公式可直接进行求解，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可知小明恰好选中“足球”的概率为； 故选：． 8. 两块平面镜和按如图所示的方式摆放，且，从上的点处向平面镜射出一束光线，其反射光线恰好与平行，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由平行线的性质可得，再结合物理知识可得，最后再根据平角的性质即可解答，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 9. 如图反映了某地年月的平均气温和降水量情况，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是（ ） A. 月平均气温在以下 B. 从月到月，气温逐渐升高 C. 从月到月，降水量逐渐减少 D. 冬冷夏热，，月的降水量较多 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，折线统计图，根据统计图获取信息逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、月平均气温在以下，原选项说法正确，不符合题； 、从月到月，气温逐渐升高，从月到月，气温逐渐降低，原选项说法错误，符合题； 、从月到月，降水量逐渐减少，原选项说法正确，不符合题； 、冬冷夏热，，月的降水量较多，原选项说法正确，不符合题； 故选：． 10. “指尖上的非遗——刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．取一幅长、宽的刺绣，在四周镶嵌宽度相同的边框便制成了一幅矩形挂图（如图），且整幅挂图的面积是．设边框的宽度为，则列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设边框的宽度为，根据题意列出方程即可，读懂题意，列出正确的方程是解题的关键． 【详解】解：设边框的宽度为， 根据题意得：， 故选：． 11. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，与事实矛盾，不符合题意； B、由抛物线的开口向下可知与事实矛盾，不符合题意； C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，，由直线可知， ，符合题意； D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，，由直线可知，，错误， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，熟知一次函数、二次函数图象与其系数的关系是解题的关键． 12. 某班同学在制作风筝的过程中，需要将一张矩形纸片沿折叠，使点B与对角线的中点O重合，展开后，连接，将矩形纸片沿折叠，点E落在上的点G处.若，则风筝骨架的长为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】如图，记，的交点为，由折叠可得：；，证明为等边三角形，可得，，设，则，由对折结合为对角线的交点可得：，由勾股定理建立方程，从而可得答案. 【详解】解：如图，记，的交点为， 由折叠可得：；， ∵点B与矩形对角线的中点O重合， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 设，则， 由对折结合为对角线的交点可得：， ∴，而， ∴， 解得：，（负根舍去）， ∴,,, ∴； 故选B 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，熟记轴对称的性质并灵活运用是解本题的关键. 二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分） 13. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数4，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根，再计算减法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 吃元宵是元宵节的传统习俗之一．某食品厂为了解市民对2024年销售较好的A，B，C，D四种元宵的喜好程度，在元宵节前对某小区居民进行抽样调查（每人只能选择一种元宵），并将调查结果绘制成如图所示不完整的扇形统计图，已知选择A种元宵的有75人，选择B种元宵的有200人，则选择C种元宵的有_______人． 【答案】125 【解析】 【分析】本题主要扇形统计图，用B的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，再用参与调查的人数减去A、B、D的人数即可得到C的人数． 【详解】解：人， ∴一共调查了500人， 人， ∴选择C种元宵的有125人， 故答案为：125． 16. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为_______寸． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由寸可求出的长，再设出圆的半径为寸，表示出的长，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵为的直径，，且寸， ∴寸， 设圆的半径的长为寸，则寸， ∵寸， ∴寸， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴， 解得， ∴寸， 故答案为：26． 17. 如图，菱形的周长为8，O是对角线的中点，将菱形沿向右平移的长得到菱形，与相交于点E，与相交于点F，则四边形的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平移的性质，由菱形的性质和平移的性质可得，则可证明四边形为平行四边形，再证明推出，同理可得，，则可证明四边形为菱形，求出，得到，再根据菱形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， 由平移的性质可得， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴四边形为菱形， ∵菱形的周长为， ∴， ∴， ∴四边形的周长是， 故答案为：． 18. 已知点和点在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，是x轴上的一个定点．当最短时，此时抛物线的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，可求出，设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，，作点关于x轴的对称点E，连接，则，可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，利用点B和点C坐标求出直线解析式为，再把点E坐标代入直线解析式中计算求解即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， 设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后抛物线解析式为，， 作点关于x轴的对称点E，连接，则， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴， 解得（已检验）， ∴平移后的抛物线解析式为， 故答案：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算法则是解题的关键； 按照先算乘方、再计算乘法、最后计算加减的顺序求解即可． 【详解】解： ． 20. 解方程：＝1． 【答案】x＝2． 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：＝1． 去分母得：x﹣1+2＝x2﹣1， 整理得：x2﹣x﹣2＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝2， 经检验：x＝﹣1是增根，舍去；x＝2是原方程的根． ∴原方程的根是x＝2． 【点睛】本题考查了分式方程的解法和一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键． 21. 如图，已知四边形是平行四边形． （1）尺规作图：作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不用写作法） （2）在（1）中，若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）4． 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交，于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离为半径画弧，在内交于一点O，作射线BO，交于点E即可； （2）根据角平分线和平行线可得到，然后利用平行四边形对边相等计算即可． 【小问1详解】 如图所示，为所求． 【小问2详解】 在平行四边形中，， ， 由（1）知，， ， ， 在平行四边形中，， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的作法，解决本题的关键是熟记平行四边形的性质． 22. “三月三”是广西重要的传统节日，在节日期间人们会开展丰富多彩的活动，其中“抛绣球”是壮族最为流行的传统体育项目之一．在某次民族运动会的高杆投绣球团体比赛中，共有30支代表队参赛，每支代表队10人，每人投10次，投进1个计1分，不进或违规投球计0分，随机抽取两个代表队的比赛得分如下： 甲队：5 6 6 8 8 9 9 9 10 10 乙队：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10 得分统计图： 得分统计表： 平均数 中位数 方差 甲 8 乙 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）______（填“>”“=”或“<”）； （2）请直接写出m，n的值； （3）按比赛规定，得分9分以上（含9分）为A等级，请估计本次比赛30支代表队中获得A等级共有多少人？ （4）从中位数和方差中任选其一进行分析，你认为甲，乙哪个队发挥的更好？请说明理由． 【答案】（1）； （2），； （3）； （4）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了数据统计与分析， （1）根据折线统计图可得甲的波动大，即得甲的方差大， （2）分别根据中位数、平均数的定义求解； （3）由A等级的百分比乘以总人数即可求出， （4）根据甲乙两队的中位数、或方差、平均数比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：由折线统计图可知，甲的波动大，故甲的方差大， 故答案为：> 【小问2详解】 根据甲的数据按由小到大排列，第5个数和第6个数分别是8，9，故甲的中位数是， 乙队的平均数 【小问3详解】 （人）； 答：所有代表队获得 A 等级共有 120 人． 【小问4详解】 方法一：甲代表队发挥的更好，因为： 甲代表队成绩的中位数 8．5 高于乙代表队成绩的中位数 8，说明甲代表队得分超 过 8．5 的人超过一半．方法二：乙代表队发挥的更好，因为： 甲，乙两队的平均分相同，而乙代表队成绩的方差低于甲代表队的方差，说明 乙代表队的得分更稳定． 23. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． （1）甲同学用空杯先接了温水，再接开水，接完后杯中共有水______； （2）乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间． 【答案】（1）180 （2）学生接温水的时间为，接开水的时间为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）分别求出温水和开水的体积，然后求和即可得到答案； （2）设乙同学分别接温水和开水的时间分别为，根据开水和温水的体积和为温度，混合温度为列出方程组求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴甲同学用空杯先接了温水，再接开水，接完后杯中共有水， 故答案为：180； 【小问2详解】 解：设乙同学分别接温水和开水的时间分别为， 由题意得， ， 解得， 答：学生接温水的时间为，接开水的时间为． 24. 如图，四边形内接于．为的直径．．交的延长线于点E，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的直径； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，角平分线的定义，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，由角平分线的定义和等边对等角可证明，则可证明，再由，可证明，则可是的直径； （2）由直径所对的圆周角是直角得到，则可求出，由角平分线的定义可得，进而可得，同理可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得． 25. 综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们以“二次函数的最大值”为主题开展数学活动． 观察发现 （1）如图1，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想用60米长的篱笆围成一个矩形花圃，设米，E是边上的动点。连接，，设的面积为y平方米，求出y与x之间的函数关系式，并求y的最大值． 探究迁移 （2）工人师傅要在如图2所示的矩形铁皮上分割出，用来填充不同材质的产品，已知，，点E，F，G分别在边，，上，且，，设，的面积为y． ①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； ②求y的最大值． （3）如图3，在（2）的条件下，且点F位于的面积最大时的位置，H是上的一点，连接，当四边形的面积为时，求的长． 【答案】（1）；y的最大值为112.5 （2）①；；②y的最大值为5 （3）的长为1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质与矩形的性质，三角形的面积等知识； （1）利用三角形面积即可表示出y与x的函数关系式，并根据二次函数解析式求出y的最大值； （2）利用矩形面积减掉直角梯形和两个直角三角形的面积即可得到y与x的函数关系式，根据实际应用题中有意义的条件，得出x的取值范围，进而得到y的最大值； （3）在（2）的条件下可以得到的面积，进而得到的面积，即可求出的长； 解题的关键是会用配方法求解二次函数的最值，会用割补法求解不规则图形的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴当时，y的最大值为112.5； （2）①由题可知，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵的面积=矩形的面积-梯形的面积-的面积-的面积， 即， 即， ∵，， ∴； ②∵， ∵，且， ∴当时，y的最大值为5； （3）如图4，连接， , ∵在（2）的条件下，且点F位于的面积最大时的位置时， ∴此时的面积为5， ∵四边形的面积=的面积+的面积=， ∴的面积=， ， ∴． 26. 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边的交点为勾股顶点． （1）等腰直角三角形________勾股高三角形（填写“是”或“不是”）； （2）如图1，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点（），是边上的高． ①若，，试求线段的长度； ②试探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图2，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点作的平行线交于点，若，直接写出线段的长度． 【答案】（1）是 （2）①； ②解：，证明如下， ∵为勾股高三角形，，则， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股高三角形的定义即可判断； （2）①根据勾股定理可得：，，于是， 即可求解； ②根据，得出，根据，即可得出结论； （3）过点作，垂足为，证明，即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，是等腰直角三角形， ∵，是边上的高， ∴等腰直角三角形是勾股高三角形； 故答案为：是； 【小问2详解】 ①在中， 根据勾股定理可得，， 即， 在中根据勾股定理可得， ，即， ∵勾股高三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略 【小问3详解】 解：如图，过点作，垂足为， ∵等腰三角形为勾股高三角形，且， ， ∴， 由（2）②可知：． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵ ∴ 又∵是等腰三角形，则 ∴ ∴为等腰三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质与判定、勾股高三角形的定义等知识，理解新定义，掌握勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $