2.4 有理数的乘方（课件）-2025-2026学年北师大版数学七年级上册

2.4 有理数的乘方 1 知识回顾 2.4 有理数的乘方 第1课时 有理数的乘方 2.4 有理数的乘方 如图 2-11，某种细胞每过 30 min 便由 1 个分裂成 2 个。经过 5 h，这种细胞能由 1 个分裂成多少个? 新课导入 2.4 有理数的乘方 1 个细胞经过 30 min 分裂成 2 个，经过 1 h 分裂成 2×2 个，经过 h 分裂成 2×2×2个…… 经过 5 h 分裂 10 次，分裂成 2×2×···×2×2 ＝ 1024 (个)。 10 个 2 2.4 有理数的乘方 下面表示细胞分裂后的个数的式子有哪些相同点? 2×2 ；2×2×2 ；2×2×2×2 ；…… ①都是乘法； ②各自的因数都相同； ③因数的个数等于分裂的次数。 2.4 有理数的乘方 2×2＝22 ； 2×2×2＝23 ； 2×2×2×2＝24 2×2×···×2×2 ＝ 210。 10 个 2 ? 2.4 有理数的乘方 一般地，n 个相同的因数 a 相乘，记作 an，即 a × a ×···× a ＝ an。 n 个 a 这种求 n 个相同因数 a 的积的运算叫作乘方(power)，乘方的结果叫作幂(power)，a叫作底数 (base number)，n 叫作指数(exponent )，an 读作“ a 的 n次幂”(或“ a 的 n 次方”)。 2.4 有理数的乘方 幂 底数 指数 2.4 有理数的乘方 思考·交流 你能举出有关乘方运算的实例吗? 与同伴进行交流。 如：消息传递、折纸、细胞分裂等。 在折纸中，一张纸对折 1 次是 2 页，对折 2 次是 2×2 页，对折 3 次是 2×2×2 页，对折 4 次是 2×2×2×2页，…对折 n 次是 2×2×2×···×2×2 页，即 2n 页. n 个 a 2.4 有理数的乘方 例1 计算： (1) 5； (2) (－3)4； (3) (－)3； (4) －(－2)3。 解：(1) 53＝5×5×5 ＝ 125； (2) (－3)4＝(－3)×(－3)×(－3)×(－3)＝81； (3) (－)3＝(－)×(－)×(－)＝－； (4) －(－2)＝－[(－2)×(－2)×(－2)]＝－(－8)＝8。 2.4 有理数的乘方 尝试·思考 有一张厚度为 0.1 mm 的纸，将它对折 1 次后，厚度为 2×0.1 mm。 (1) 将这张纸对折2次后，厚度为多少毫米? 解：22×0.1＝0.4 (mm) 因此，将这张纸对折2次后，厚度为 0.4 mm 。 2.4 有理数的乘方 (2) 假设可以将这张纸对折 20 次，那么对折 20 次后厚度为多少毫米? 解：220×0.1＝104 857.6 (mm) 因此，这张纸对折20次后厚度为 104 857.6 mm 。 2.4 有理数的乘方 每层楼的平均高度为3m，这张纸对折20次后大约有多少层楼高? 220×0.1＝104 857.6 (mm)≈105 (m) 105÷3＝35 (层) 因此，这张纸对折20次后大约有35层楼高。 2.4 有理数的乘方 1. (1) 在 74 中，底数是_________，指数是_________； (2) 在 (－)5 中，底数是_________，指数是__________。 7 4 5 随堂练习 2.4 有理数的乘方 2. 计算： (1) (－3)3； (2) (－1.5)2； (3) (－)2； (4) －(－3)2； (5) －(－)3. ＝－27 ＝－2.25 ＝ ＝－9 ＝ 2.4 有理数的乘方 有理数的乘方 乘方的意义：求n个相同因数a的积的运算 乘方的相关概念：幂、底数、指数 乘方的运算方法：化乘方为乘法，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值 乘方运算的符号法则 正数的任何次幂都是正数 负数的奇次幂是负数， 负数的偶次幂是正数 0的任何正整数次幂都是0 课堂小结 2.4 有理数的乘方 第2课时 科学记数法 2.4 有理数的乘方 (1) 计算：102，103，104，105； (－10)2，(－10)3，(－10)4，(－10)5。 102＝_______ (－10)2＝_______ 103＝_______ (－10)3＝_______ 104＝_______ (－10)4＝_______ 105＝_______ (－10)5＝_______ 100 1000 10000 100000 100 －1000 10000 －100000 新课导入 2.4 有理数的乘方 (2) 观察上面的结果，你能发现什么规律? 正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数、负数的偶次幂是正数. 还可以得到 10n (n为正整数)的特点：结果中 1 的后面含有 n 个 0. 2.4 有理数的乘方 观察·思考 观察图 2-12 中的数据，如何简单地表示这些大数呢? 2.4 有理数的乘方 1 440 000 000＝1.44 × 109 6 400 000＝6.4×106 300 000 000＝3×108 2.4 有理数的乘方 我们可以借用乘方的形式表示大数。例如： 1 440 000 000 可以表示成 1.44×109； 6 400 000 可以表示成 6.4×106； 300 000 000 可以表示成 3×108。 2.4 有理数的乘方 一般地， 一个大于 10 的数可以表示成 a×10n 的形式，其中1≤a＜10，n 是正整数，这种记数方法叫作科学记数法 (scientific notation)。 小于 －10 的数也可以用类似的方法表示，如 －2590 000 可以表示成 －2.59×106。 2.4 有理数的乘方 用科学记数法表示数 a×10n 一般分两步进行: ① 确定 a 的值 (1≤a＜10)； ② 确定 n 的值( n 比整数位数少 1 或小数点向左移动几位，n 就等于几)。 2.4 有理数的乘方 例2 用科学记数法表示下列数据： (1) 赤道长约为 40 000 000 m； (2) 地球表面积约为 510 000 000 km2。 解：(1) 40 000 000 m＝4×107 m； (2) 510 000 000 km2＝5.1×108 km2。 2.4 有理数的乘方 思考·交流 2016年，由我国自主研发的“神威·太湖之光”超级计算机(如图 2-13) 运算速度可达到 1 250 000 000 亿次/s。 2.4 有理数的乘方 假设一个人每秒可做一次简单的运算，要完成 1 250 000 000 亿次运算大约需要多少年? 用科学记数法表示结果，并与同伴进行交流。 由题意知，一个人要完成 1 250 000 000 亿次运算，需要 1 250 000 000 亿秒， 一年大约有 365×24×60×60＝31 536 000 (秒)，则 1 250 000 000 亿÷31 536 000≈39.6亿 (年)＝3.96×10 (年). 2.4 有理数的乘方 1. 塞罕坝机械林场是目前世界上最大的人工林场。半个多世纪以来，经过三代塞罕坝务林人的接续奋斗，林木总蓄积由 330 000 m 增加到 10 368 000 m3。用科学记数法表示这两个数据。 解：330 000 m3＝3.3×105 m3， 10 368 000 m3＝1.036 8×107m3. 随堂练习 2.4 有理数的乘方 2. 一个正常人平均每分钟心跳约 70 次，一年大约心跳多少次?用科学记数法表示这个结果。一个正常人一生心跳能达到 1 亿次吗? 解：一年以 365 天计算，一天 24 小时，一小时 60 分钟，一分钟心跳 70 次，一年大约心跳： 70×60×24×365＝36 792 000＝3.679 2×107(次). 2.4 有理数的乘方 心跳次数达到 1 亿大约需要的时间为 10÷(3.679 2×107) ≈2.7 (年)。 因此，一个正常人一生心跳次数能达到 1 亿。 2.4 有理数的乘方 科学记数法 概念 应用 一个大于10的数可以表示成 a×10n的形式，其中1 ≤ a < 10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。 表示大于10的数 根据科学记数法写原数 原数整数位数等于指数n加1 n 等于整数位数减 1 课堂小结 2.4 有理数的乘方 习题 2.4 2.4 有理数的乘方 〉〉知识技能 1. 填空： (1) 在 (－6)3 中，底数是_________，指数是__________； (2) 在 (－)4 中，底数是_________，指数是__________。 －6 3 － 4 2.4 有理数的乘方 2. 计算： (1) 72； (2) (－6)3； (3) ()3； (4) －32 ； (5) －； (6) －(－)3。 ＝49 ＝ ＝－216 ＝－9 ＝－ ＝ 2.4 有理数的乘方 3. 用科学记数法表示下列数据： (1) 水星的赤道半径约为 2440 000 m； (2) 木星的赤道半径约为 71500 000 m； 2 440 000 m＝2.44×106 m. 71 500 000 m＝7.15×107 m. 2.4 有理数的乘方 (3) 地球上的陆地面积约为 149 000 000 km； (4) 地球上的海洋面积约为 362 000 000 km。 149 000 000 km2＝1.49×108 km2. 362 000 000 km2＝3.62×108 km2. 2.4 有理数的乘方 4.下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数? (1) 北京故宫的占地面积约为 7.2×105 m2； (2) 人体中约有 2.5×1015 个红细胞； (3) 港珠澳大桥全长 5.5×104 m。 7.2×105 m2＝720 000 m2. 2.5×1013个＝25 000 000 000 000 个 5.5×104 m＝55 000 m. 2.4 有理数的乘方 〉〉数学理解 5. 一个数的平方是 16，这个数可能是几? 一个数的平方可能是零吗?可能是负数吗? 解：一个数的平方是 16，这个数可能是 4 或－4. 一个数的平方可能是零，0的平方是 0. 一个数的平方不可能是负数。 2.4 有理数的乘方 〉〉问题解决 6. “星等”是表示天体相对亮度强弱的等级。天体越亮，星等的数值越小。早在公元前 2 世纪，人们已将肉眼能看见的恒星分为 6 等。现规定天体星等数值每减小 1，亮度就大约增加为原来的 2.512 倍。假如 6 等星的亮度是 1，那么 1 等星的亮度是多少? －2 等星的亮度是多少? 解：1 等星的亮度是 2.5125，－2 等星的亮度是 2.5128。 2.4 有理数的乘方 7. 你见过拉面师傅拉面条吗? 拉面师傅将一根粗面条拉长、两头捏合，再拉长捏合，重复这样，就拉成许多根细面条了。据报道，在一次比赛中，某拉面师傅用 1kg 面粉拉出约 209万根面条，你认为该报道是怎样得出“209万根”这个结果的? 解：第一次：21＝2，第二次：22＝4，第三次：23＝8，··· 第 n次：2n 拉面师傅拉出约 209 万根面条，即 2n≈2 090 000，n 大约等于 21 (学习了使用计算器后，可以验证)，即拉面师傅拉 21 次，就能得到约 209 万根面条。 2.4 有理数的乘方 8. 《庄子》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完。那么第 7 次截取后剩下的木棒有多长? 解：第 1 次截取后剩 尺， 第 2 次截取后剩 ＝＝ (尺)， 2.4 有理数的乘方 第 3 次截取后剩 ＝＝ (尺)， ······ 第 7 次截取后剩 ＝ (尺) 2.4 有理数的乘方 9. (1) 一棵生长了 20 年的大树，仅能制成 5000~8000 双一次性筷子。假设每人每天用1双一次性筷子，调查你所在地区的人口数，估算一下一年我们要为此砍多少棵这样的大树(用科学记数法表示)。如果是一个1000万人口的城市呢? 解：(1) 调查、估算略。 1 000 万＝10 000 000，一年以 365 天计算， 则 ＝7.3×105 (棵)， 2.4 有理数的乘方 ＝4.562 5×105≈4.6×105 (棵)。 故如果是一个 1000 万人口的城市，一年我们要为此砍 4.6×105～7.3×105 棵生长了 20 年的大树。 2.4 有理数的乘方 (2) 根据 (1) 中的估算结果，你有何感想? 减少使用一次性餐具，注意保护环境。 (答案不唯一，合理即可) 2.4 有理数的乘方 〉〉联系拓广 ※ 10. 设 n 为正整数，计算： (1) (－1)2n； (2) (－1)2n＋1。 ＝1. ＝－1. 2.4 有理数的乘方 11. 如图，将一张边长为 1 的正方形纸片分割成 7 部分，部分 ① 的面积是边长为 1 的正方形纸片面积的一半，部分 ② 的面积是部分 ① 面积的一半，部分 ③ 的面积是部分 ② 面积的一半，依此类推。 (1) 阴影部分的面积是多少? ※ (2) 试求出 ＋＋＋···＋ 的值。 2.4 有理数的乘方 (1) 阴影部分的面积是多少? 解：部分 ① 的面积是，部分 ② 的面积是 ，③ 的面积是 ，依次类推，阴影部分的面积等于部分 ⑥ 的面积，即 (或 )。 2.4 有理数的乘方 ※ (2) 试求出 ＋＋＋···＋ 的值。 原式＝1－＝. 2.4 有理数的乘方 课堂总结 2.4 有理数的乘方 本课结束 $$