精品解析：江苏省南通市通州高级中学2024-2025学年高一下学期2月限时作业数学试题

通州高级中学2024级高一年级数学学科限时作业 一、单选题 1. 已知平面向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以，， 则 ． 2. 在中，设，，又，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法、数乘运算化简求解即可. 【详解】，, , ， ， 故选：A 3. 给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； ②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； ③若与同向，且，则>； ④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线． 其中假命题的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线定义判断①；根据向量相等的定义和平行四边形的定义判断②；根据两向量不能比较大小判断③；举反例否定④. 【详解】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线； ②正确．∵＝，∴||＝||且； 又∵是不共线的四点，∴四边形是平行四边形． 反之，若四边形是平行四边形， 则且与方向相同，因此＝； ③不正确．两向量不能比较大小． ④不正确．当时，与可以为任意向量， 满足λ＝μ，但与不一定共线． 故选：. 4. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为， 所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形， 则，故， 所以向量在向量上的投影向量为：． 故选：A． 5. 已知向量，则与向量垂直的单位向量是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】设与向量垂直的单位向量，根据向量的模和向量垂直的坐标表示建立方程组，解之可得选项. 【详解】解：设与向量垂直的单位向量，则，解得或， 故选：D. 6. M是的边BC的中点，满足，若动点P在内部，则的最小值为（ ）. A. B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】设中点为，由，再根据向量的线性运算可解. 【详解】设中点为， ， 当，即点P在中点时取等号， 故选：A. 7. 若M为所在平面内一点，且满足，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算法则化简条件等式可得，两边平方化简可得，结合数量积的性质可得，由此可得结论. 【详解】由，得 所以，即， 两边平方并化简得，则，即，故， 所以是直角三角形. 故选：A 8. 已知为所在平面上的一点，且.若，则是的（ ） A. 重心 B. 内心 C. 外心 D. 垂心 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理及向量数量积的运算可求得，由此可得点I在的平分线上，同理可得，点I在的平分线上，由三角形内心的性质可得选项. 【详解】因为，所以 ， 所以，所以 ， 所以在角A的平分线上，故点I在的平分线上， 同理可得，点I在的平分线上，故点I在的内心， 故选：B. 二、多选题 9. 设，，是非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AD，举反例即可判断；对于BC，由数量积的运算律验算即可. 【详解】对于A，令，不垂直，此时，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C正确； 对于D，让互为相反向量，且，则有，但是此时不成立，故D错误. 故选：BC. 10. ，是夹角为的单位向量，，，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由数量积公式可得，计算是否等于0可判断A选项；求出可判断B选项； 对平方再开方计算可判断C选项；计算出，由向量的夹角公式计算可判断D选项． 【详解】由向量，是夹角为的单位向量，可得， ∵，， ∴， ∴不成立，故A错误； ， ∴，故B正确； 由，可得，故C错误； ，则，故D正确． 故选：BD． 11. 在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. 当点为中点时， C. 的最大值为 D. 满足的点有且只有一个 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立坐标系，将四边形的四个点的坐标求出来，利用坐标逐一判断即可. 【详解】解：如图，建立直角坐标系，其中 设点，则， 由， ，故A正确， 对于，当点为中点时，，，B正确； 对于，(此时，即P与C重合时取最大值1)，C正确 对于，由令， 满足条件的点不只有一个，如和，D错误． 故选：ABC. 三、填空题 12. 的外接圆圆心为，且，则等于__________． 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可得，，再根据数量积的运算律得到，即可得到，再根据圆周角的性质计算可得. 【详解】解：∵的外接圆圆心为，且， ∴，， ∴ ， ∴，∴， 中，是圆心角，而是同弧所对的圆周角，. 故答案为： 13. 如图在平行四边形中，已知，，，，则的值是______________. 【答案】22 【解析】 【分析】根据基底表示再根据向量数量积化简，即得结果. 【详解】 【点睛】用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 14. 如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=，E，F分别是边AB，AC上 的点，且其中，若EF，BC的中点分别为M，N，且 则的最小值是 ____. 【答案】 【解析】 【分析】利用中点性质及向量的线性运算得，此式平方可求得结论． 【详解】， 由M，N为EF，BC的中点得： ， 所以， 所以， 因为，，所以，因此当时，取最小值． 故答案为：． 四、解答题 15. 已知向量，向量，向量满足. （1）若，且，求的值； （2）若与共线，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示，即可求得，再利用向量的坐标表示求模；（2）利用两向量共线定理，即可求得实数的值. 【详解】解：（1）∵，，，∴， ∴，∴. （2），，，即， ，解得：， ∴. 16. 已知向量，，. （1）若，，三点共线，求实数的值； （2）若为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量运算得，，进而结合向量共线的坐标表示求解即可； （2）结合题意得且与不共线，再根据数量积运算与共线的坐标表示求解即可. 【小问1详解】 解：因为，，， 所以，， 因为，，三点共线，所以与共线， 所以，解得. 所以实数的值 【小问2详解】 解：因为向量，，， 所以，， 因为为锐角， 所以且与不共线，即，解得且， 所以，实数的取值范围是 17. 已知向量. （1）已知，求向量与的夹角； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用向量坐标夹角公式进行求解； （2）先计算得到，，再利用向量垂直，数量积为0列出方程，求出的值. 【小问1详解】 因为，所以， 故， 因为，所以向量与的夹角； 【小问2详解】 ， ， 由于， 所以， 解得：或， 从而或. 18. 已知，是的中点 （1）若，求向量与向量的夹角的余弦值； （2）若是线段上的任意一点，且，求的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）建立直角坐标系，设出数据，写出向量与向量的坐标，代入夹角公式，计算得答案； （2）设动点的坐标，写出各个向量的坐标，代入计算得关于的目标函数，结合的取值范围，求得最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 令，则，所以, 设向量与向量的夹角为， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 设， 所以， 当且仅当时，取得最小值． 19. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解； （2）根据向量的线性运算以为基底表示,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出的值； （3）根据向量的线性运算以为基底表示，又因为三点共线，所以系数之和为1，得出，然后应用基本不等式中1的代换求出的最小值. 【小问1详解】 因为所以， 所以, 所以. 【小问2详解】 由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. 【小问3详解】 易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州高级中学2024级高一年级数学学科限时作业 一、单选题 1. 已知平面向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，设，，又，，则（ ） A. B. C. D. 3. 给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； ②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； ③若与同向，且，则>； ④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线． 其中假命题的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 5. 已知向量，则与向量垂直的单位向量是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. M是的边BC的中点，满足，若动点P在内部，则的最小值为（ ）. A. B. C. 1 D. 0 7. 若M为所在平面内一点，且满足，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 已知为所在平面上的一点，且.若，则是的（ ） A. 重心 B. 内心 C. 外心 D. 垂心 二、多选题 9. 设，，是非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有（ ） A. B. C. D. 若，则 10. ，是夹角为的单位向量，，，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. 当点为中点时， C. 的最大值为 D. 满足的点有且只有一个 三、填空题 12. 的外接圆圆心为，且，则等于__________． 13. 如图在平行四边形中，已知，，，，则的值是______________. 14. 如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=1，A=，E，F分别是边AB，AC上 的点，且其中，若EF，BC的中点分别为M，N，且 则的最小值是 ____. 四、解答题 15. 已知向量，向量，向量满足. （1）若，且，求的值； （2）若与共线，求实数的值. 16. 已知向量，，. （1）若，，三点共线，求实数的值； （2）若为锐角，求实数的取值范围. 17. 已知向量. （1）已知，求向量与的夹角； （2）若，求实数的值. 18. 已知，是的中点 （1）若，求向量与向量的夹角的余弦值； （2）若是线段上的任意一点，且，求的最小值． 19. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $