精品解析：江苏徐州市睢宁县菁华高级中学2025-2026学年高一下学期期末模拟考数学试题

菁华高级中学2025-2026学年度高一年级期末模拟考数学试题 时间：120分钟 分值：150分 命题人：周家亮 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知复数，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义及复数虚部的定义求解. 【详解】已知复数，则, 所以的虚部为3 . 2. 某人一次掷出两枚骰子，点数和为的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】掷出两枚骰子，设得到向上的点数分别为，， 则基本事件总数为，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共36种情况， 其中点数和为的有、、、共种情况， 所以点数和为的概率. 故选：C 3. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一分析四个选项即可. 【详解】若，，，则直线与的位置关系可以平行、相交和异面，故A错误； 若，，，则直线与的位置关系可以平行和异面，故B错误； 若，，，则，可以平行也可以相交，故C错误； 若，，可得 ，又，所以，故D正确. 故选：D. 4. 连续抛一枚硬币三次，事件“至多有一次硬币正面朝上”的对立事件是（ ） A. 至少有一次硬币正面朝上 B. 至少有两次硬币正面朝上 C. 至少有一次硬币反面朝上 D. 至少有两次硬币反面朝上 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件定义判断求解. 【详解】因为事件“至多有一次硬币正面朝上”是“0次或1次硬币正面朝上”， 对立事件是“2次或3次硬币正面朝上”，即“至少有两次硬币正面朝上”. 故选：B. 5. 如图，设，，线段DE与BC交于点F，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】用两种方式表示点的位置，然后利用向量基，底不共线，对应系数相等，得到. 【详解】依题意，, 所以，所以， 又因为，设， 所以， 即，因为，不共线，所以，所以， 所以. 6. 若，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析： ， 且，故选D. 【考点】三角恒等变换 【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差． （2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系． 7. 《九章算术》中将正圆台称为“圆亭”．某中学数学社团仿照古制制作了“圆亭”模型，模型上、下底面周长分别为和，高为3，则该模型的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用圆台体积公式计算求解. 【详解】已知圆台上、下底面周长分别为和，则半径分别为，，高． 圆台体积公式为， 代入得：． 8. 在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱C1D1上的一点，则三棱锥外接球的表面积的最小值为（　　） A. 12π B. 11π C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合球的性质、平面垂线的性质、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】如图所示：设三棱锥外接球的球心为，半径为， 设的中点分别为，连接，由正方体的性质可知：平面， 根据正方体和球的对称性可知：球心在线段上，设， 设，则， 由余弦定理，得， 在直角中，由勾股定理，得， 同理在直角中，由勾股定理，得， 所以可得：， 所以， 显然当时，有最小值， 所以三棱锥外接球的表面积的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 正棱柱是平行六面体 B. 用斜二测画法画的水平放置的边长为2的正三角形的直观图面积是 C. 当z为复数时， D. 在中，若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】正三棱柱是正棱柱但不是平行六面体，故A错误； 原正三角形的面积为，由斜二测画法直观图与原图的面积关系得直观图的面积为，故B正确； 取，则，，故C错误； 记的外接圆半径为，由，得，故，故D正确． 10. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（    ） A. B. 若，则周长的最大值为 C. 若为锐角三角形，且，则的取值范围为 D. 若的外心为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由正弦定理可得结论；B选项，由余弦定理和基本不等式可得，B正确；C选项，先由正弦定理可得，再求出的范围，可得答案；D选项，利用向量投影的定义和三角形外心的定义计算出. 【详解】A选项，，由正弦定理得， 即，， 因为，所以，故，A正确； B选项，，由余弦定理得， 故，， 因为，当且仅当时，等号成立， 故，解得，， 故的周长最大值为3，B正确； C选项，由正弦定理得，又，， 故， 若为锐角三角形，且，则，， 结合，可得， 故，C错误； D选项，若的外心为，则在上的投影向量为， 又，故，D正确 11. 已知A，B是随机事件，且，，则下列命题正确的有（ ） A. A与B可能为互斥事件 B. 若，则A与B相互独立 C. 若，则 D. 若A与B相互独立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设结合独立事件、互斥事件的定义、概率公式与性质逐一分析即可判断. 【详解】对于A，因为，所以， 所以A与B不可能为互斥事件，故A错误； 对于B，因为， 所以若，则A与B相互独立，故B正确； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若A与B相互独立，则与B相互独立， 所以 ，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第6个被抽到的同学的编号为__________. 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 【答案】176 【解析】 【详解】第1行第7列的数字开始，依次抽取175，068，331，047，447，176， 故第6个被抽到的同学的编号为176 13. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，直线平面，则______. 【答案】 【解析】 【分析】在线段上取点，使得，连接，，，由平面，可得，进而可得是线段的中点，由向量关系可得，即可求. 【详解】如图，在线段上取点，使得. 连接，，，记，， 连接，因为直线平面，且平面平面， 所以. 因为四边形是平行四边形， 所以为线段的中点，则为线段的中点. 因为，，所以， 所以，即. 因为为线段的中点，所以是线段的中点， 则，所以，则. 故答案为： 14. 已知15个数，， ，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为7，方差为5，则剩余的10个数，， ，的方差为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数和方差的公式求解即可. 【详解】由题意知，，， 所以，所以剩余的10个数的平均数为． 根据方差公式， 得，， 即，， 所以， 所以剩余的10个数的方差为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的加、减法计算即可； （2）利用复数的除法计算即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 为了调查假期期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计本次数学测试成绩的平均分和中位数．（每一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】（1） （2）平均分约为分，中位数约为分 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可知每组频率依次为：，，，，，， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）可知每组频率依次为：，，，，，， 估计本次数学测试成绩的平均分为（分）； 因为，所以估计本次数学测试成绩的中位数为分. 17. 如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且. （1）记平面平面，证明：； （2）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证. （2）连接交于，连接，取中点，过作的平行线交于，连接，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得出结论. 【小问1详解】 在正四棱锥中，，平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. 【小问2详解】 在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下：连接交于，连接，则为中点， 取中点，又，则， 过作的平行线交于，连接，在中，有， 由平面PAC，平面PAC，得平面PAC，而，则， 又，平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又，得平面，所以存在，且. 18. 某商场开展促销活动，每消费300元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. （1）已知甲在该商场消费了300元，求甲获得一等奖的概率； （2）当顾客在该商场消费满600元时，顾客有两次抽奖且这两次抽奖相互独立，为加大促销力度，在原规则的基础上，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了600元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件. （i）顾客乙中二等奖的概率； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）事件与事件不相互独立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据古典概型求解概率； （2）（i）根据事件的独立性计算事件的概率（ii）根据事件的独立性定义验证事件的相互独立 【小问1详解】 记三个红球分别为，，，两个白球分别为，，蓝球为， 则6个球中一次摸出两球的样本空间为： ， 则，且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型. 记事件“甲获得一等奖”，则，， 所以，所以甲获得一等奖的概率为； 【小问2详解】 记事件“乙第次摸得两个红球”，事件“乙第次摸得一红一蓝两个球”， 事件“乙第次摸得一白一蓝两个球”，事件“乙第次未摸到蓝球”，其中 （i）先不考虑额外中奖情况，事件“乙中二等奖”， 由（1）知，；， 再考虑额外中奖的情况，事件“乙中二等奖”， 因为这两个事件为互斥事件，所以顾客乙中二等奖的概率为； （ii）由（1）知；，；，； ，. 则，，与相互独立. 所以. 因为，且事件，，两两互斥，两次抽奖相互独立， 所以 . 因为，且，互斥，两次抽奖相互独立， 所以 又 所以，所以事件与事件不相互独立. 19. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若，解答下列问题： ①当的面积为时，求AC边上的中线长； ②若点D在边上，且平分，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式即可求解； （2）①由三角形面积公式及余弦定理得出和，再根据平面向量数量积的运算律即可求解；②由角平分线得出，，由余弦定理得，再由基本不等式即可求解． 【小问1详解】 根据已知，由正弦定理得， 因为， 所以， 由得，故． 【小问2详解】 ①由（1）知，则， 由面积得，即， 又由余弦定理， 代入，得， 设的中点为，则， ， 故中线长为． ②由角平分线得， 又，得，， 则， 由余弦定理，即， 所以，， 由（当且仅当时取等号），得： 所以， 又为三角形边长，则，故 综上所述，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 菁华高级中学2025-2026学年度高一年级期末模拟考数学试题 时间：120分钟 分值：150分 命题人：周家亮 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知复数，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 2. 某人一次掷出两枚骰子，点数和为的概率是（　　） A. B. C. D. 3. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 连续抛一枚硬币三次，事件“至多有一次硬币正面朝上”的对立事件是（ ） A. 至少有一次硬币正面朝上 B. 至少有两次硬币正面朝上 C. 至少有一次硬币反面朝上 D. 至少有两次硬币反面朝上 5. 如图，设，，线段DE与BC交于点F，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 6. 若，则 A. B. C. D. 7. 《九章算术》中将正圆台称为“圆亭”．某中学数学社团仿照古制制作了“圆亭”模型，模型上、下底面周长分别为和，高为3，则该模型的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱C1D1上的一点，则三棱锥外接球的表面积的最小值为（　　） A. 12π B. 11π C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 正棱柱是平行六面体 B. 用斜二测画法画的水平放置的边长为2的正三角形的直观图面积是 C. 当z为复数时， D. 在中，若，则 10. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（    ） A. B. 若，则周长的最大值为 C. 若为锐角三角形，且，则的取值范围为 D. 若的外心为，则 11. 已知A，B是随机事件，且，，则下列命题正确的有（ ） A. A与B可能为互斥事件 B. 若，则A与B相互独立 C. 若，则 D. 若A与B相互独立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第6个被抽到的同学的编号为__________. 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 13. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，直线平面，则______. 14. 已知15个数，， ，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为7，方差为5，则剩余的10个数，， ，的方差为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）. 16. 为了调查假期期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计本次数学测试成绩的平均分和中位数．（每一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 17. 如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且. （1）记平面平面，证明：； （2）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 18. 某商场开展促销活动，每消费300元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. （1）已知甲在该商场消费了300元，求甲获得一等奖的概率； （2）当顾客在该商场消费满600元时，顾客有两次抽奖且这两次抽奖相互独立，为加大促销力度，在原规则的基础上，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了600元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件. （i）顾客乙中二等奖的概率； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由. 19. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若，解答下列问题： ①当的面积为时，求AC边上的中线长； ②若点D在边上，且平分，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $