精品解析：湖北省武汉市第四十九中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

武汉市第四十九中学高一五月月考数学试卷 总分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线m，n，平面α，β，若α//β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n关系是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面 【答案】D 【解析】 【分析】根据两平面平行的性质即可得出答案. 【详解】若α//β，则内的直线与内的直线没有交点， 所以当m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是平行或异面. 故选：D 2. 下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为 A. 三棱锥有四个面是三角形 B. 棱锥都有两个面是互相平行的多边形 C. 棱锥的侧面都是三角形 D. 棱锥的侧棱交于一点 【答案】B 【解析】 【详解】根据棱锥的定义可知B错误，棱锥的任何两个面都不平行. 考点：棱锥的结构特征. 3. 如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是 A. 平行 B. 垂直相交 C. 垂直但不相交 D. 相交但不垂直 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合线面垂直的判定定理和线面垂直的定义即可确定MA与BD的位置关系. 【详解】∵BD是菱形ABCD的一条对角线，菱形对角线互相垂直， ∴AC⊥BD. ∵MC⊥平面ABCD， ∴MC⊥BD， ∵MC和AC相交于点C， ∴BD⊥平面ACM， ∵MA⊂平面AMC， ∴MA⊥BD. 又∵MA与BD是异面直线， ∴MA与BD的位置关系是垂直但不相交. 故选C. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理及其应用，异面直线的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4. 如图，四棱锥，， 是 的中点，直线交平面 于点 ，则下列结论正确的是 A. 四点不共面 B. 四点共面 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】D 【解析】 【分析】根据公理一、二、三逐一排除即可． 【详解】直线与直线交于点，所以平面与平面交于点O，所以必相交于直线，直线在平面内，点故面，故四点共面，所以A错． 点若与共面，则直线在平面内，与题目矛盾，故B错． 为中点，所以，，故，故C错． 故选D． 【点睛】本题属于中档题，考查公理一、二、三的应用，学生不易掌握，属于易错题． 5. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图的形状先求出圆锥的母线，然后求出半径，再由圆锥的体积公式进行求解. 【详解】设母线长为，依题意得，，解得，于是圆锥的高为， 根据圆锥的体积公式，其体积为：. 故选：B 6. 在正方体中，E，F分别为，的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接，连接，可得或其补角为异面直线与所成的角，由为正三角形，即可求得直线与所成的角. 【详解】 如图，取的中点，连接，连接， 因为分别为，的中点， 所以， 又在正方体中，， 所以， 则或其补角为异面直线与所成的角， 因为为正方体， 则为正三角形，所以， 故直线与所成的角为. 故选：C. 7. 在边长为1的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正方体性质可得平面，可得为直线与平面所成角，即求. 【详解】如图，连接AC，交于O ，连接OC， ∵点，分别为，的中点， ∴MN∥AC， 由正方体的性质可知CD⊥平面， ∴又，， ∴平面， ∴为直线AC与平面所成角，也即为直线与平面所成角， 在直角三角形ACO中， ∴. 故选：A 8. 如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论： ①与是异面直线； ②相交于一点； ③过A，M，P的平面截正方体所得的图形为平行四边形； ④过A，M，N的平面截正方体所得的图形为五边形； 其中错误的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中直线与直线，直线与平面的位置关系依次判断即可. 【详解】对于①，连接，如图所示： 由分别是的中点，可得， 可得与共面，故①错误； 对于②，因为平面平面平面， 所以由异面直线的定义可得， 与是异面直线，则不相交于一点，故②错误； 对于③，由①知，过A，M，P的平面截正方体所得的图形为四边形， 而，故四边形不是平行四边行，故③错误； 对于④，取， 则过A，M，N的平面截正方体所得的图形为五边形，故④正确. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过平面外一点作这个平面的平行线是唯一的 B. 过平面外一点作这个平面的垂线是唯一的 C. 过直线外一点作这条直线的垂面是唯一的 D. 过直线外一点作这条直线的平行平面是唯一的 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面位置关系逐一判断各个选项即可. 【详解】对于A，过平面外一点作这个平面的平行线有无数条，故A错误 对于B，过平面外一点作这个平面的垂线是唯一的，故B正确； 对于C，过直线外一点作这条直线的垂面是唯一的，故C正确； 对于D，过直线外一点作这条直线的平行平面有无数个，故D错误. 故选：BC. 10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（    ） A. B. 平面ABCD C. D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线线、线面垂直、线面平行、锥体体积、异面直线概念等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，根据正方体的性质可知；又平面，平面， 故，由于，平面，所以平面， 由于平面，所以，所以A选项正确. B选项，根据正方体的性质可知， 由于平面，平面，所以平面，所以B选项正确. C选项，由于平面，平面，且，A在平面外， 故为异面直线，C错误； D选项，对于三棱锥，三角形的面积为，为定值， 到平面的距离即为到平面的距离，为定值， 所以三棱锥的体积为定值，所以D选项正确. 故选：ABD 11. 某学校课外社团活动课上，数学兴趣小组进行了一次有趣的数学实验操作，课题名称“不用尺规等工具，探究水面高度”.如图甲，是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不计），底面为平行四边形，设棱锥高为，体积为，现将容器以棱为轴向左侧倾斜，如图乙，这时水面恰好经过，其中分别为棱的中点，则（ ） A. 水的体积为 B. 水的体积为 C. 图甲中水面高度为 D. 图甲中的水面高度为 【答案】AC 【解析】 【分析】将四棱锥补成平行六面体，利用棱柱和棱锥的体积公式逐项分析即可. 【详解】如图将四棱锥补成平行六面体，设平行四面体的体积为， 根据分别为棱的中点， 则，而三棱柱与平行六面体的高相同， 则， 根据四棱锥与平行六面体底和高均相同，则，则 易知， 则，故A正确，B错误， 图甲中上方的小四棱锥高为,则，则， 故图甲中的水面高度为，故C正确,D错误； 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正方体中，异面直线与所成的角为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据几何体特征得出线面垂直进而得出线线垂直即可解题. 【详解】因为是正方体，所以平面，平面， 所以，所以异面直线与所成的角为. 故答案为：. 13. 正方体中，直线与平面所成的角的大小为________． 【答案】30° 【解析】 【分析】根据线面角的定义作出线面角后求解． 【详解】如图，在正方体中，连接交于，则， 又由平面，平面，得，而平面，且，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 正方体中，是正三角形，是中点， 所以， 故答案：． 14. 已知三棱锥的底面ABC是边长为2的正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是的垂心，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球半径等于______． 【答案】 【解析】 【分析】做辅助线，根据题意结合垂直关系可证，同理可得，可知点为的垂心，即可知点为的中心，根据体积可得，结合外接球的性质列式求解即可. 【详解】延长交于点，连接， 因为点H是的垂心，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得，， 且底面ABC是边长为2的正三角形，则点为的中点， 过点作平面，垂足为点， 且平面，可得， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 同理可得，可知点为的垂心， 因为为等边三角形，可知点为的中心， 则，且， 因为三棱锥的体积为，可得， 可知三棱锥的外接球的球心，设三棱锥的外接球的半径为， 则，解得， 所以外接球半径为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； 2.正方体的内切球的直径为正方体的棱长； 3.球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长； 4.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若． （i）求的值； （ii）求的面积． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理，即可求解； （2）（i）结合三角函数的同角公式，以及正弦两角和公式，即可求解； （ii）结合正弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 已知，由余弦定理， 则，又，则. 【小问2详解】 （i），由正弦定理有，得， 故， . （ii）由正弦定理可知，， 故的面积为. 16. 如图所示，已知是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）设平面平面，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过构造平行四边形的方法证得平面. （2）根据线面平行的性质定理证得. 【小问1详解】 取的中点，连接，如图所示， 由，且， ，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面平面， 所以. 17. 如图，四棱锥中，面是正方形，. （1）若平面，求证：平面； （2）若点为的中点，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由平面得出，再结合应用线面垂直判定定理证明； （2）由正方形得，根据勾股定理可证，即可证明平面，从而证明． 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； 【小问2详解】 ∵面是正方形， ， ， 又因为，且平面，平面，所以平面， 平面. 18. 如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求异面直线与所成角的大小. （3）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线线平行证明线面平行即得； （2）利用平移得到与所成角为，解三角形即得； （3）连接，过作于点，先证平面，再证平面，即得直线与平面所成角，结合即可求得. 【小问1详解】 如图，连接交于点， 因为，分别为，的中点，所以. 因为平面，且平面， 所以平面. 【小问2详解】 因，且，易得， 则有，由（1）得，故与所成角为（或其补角）. 因为，所以， 即与所成角大小为. 【小问3详解】 连接，过作于点. 因为平面，且平面， 所以，又且， 所以平面. 因为平面，所以， 又，且，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角为（或其补角）. 因为正方体的边长为1，所以，， 所以. 【点睛】思路点睛：解决异面直线的夹角问题，大多通过平移将两直线集中到一个三角形中，利用三角函数定义或正弦定理，余弦定理求解；对于线面所成角，一般需要作出并证明直线在平面上的射影，借助于直角三角形求解. 19. 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，⋯，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．”已知在直四棱柱中，底面为菱形，．（角的运算均采用弧度制） （1）若，求四棱柱在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若与平面的夹角的正弦值为，求四棱柱在顶点处的离散曲率； （3）截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为，与平面交于点，证明：． 【答案】（1）2 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件得到菱形为正方形，再根据在顶点处的离散曲率的定义计算即可； （2）结合立体几何知识，求得与平面的夹角为，求得，再根据在顶点处的离散曲率的定义计算即可； （3）根据四面体在点处的离散曲率为求得，再结合立体几何知识，证得平面，用等体积法求三棱锥的体积，求得，即可得证. 【小问1详解】 若，则菱形为正方形，即． 因为平面，平面，所以，， 所以直四棱柱，在顶点处的离散曲率为， 所以四棱柱在各个顶点处的离散曲率的和为2． 【小问2详解】 ∵为菱形，∴． 又直四棱柱， ∴平面，平面，∴． 又平面，，∴平面． 设，则即为与平面所成的角， 在中，，因为与平面的夹角的正弦值为， 所以，所以，则． 因为平面，平面，所以，， 所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为． 【小问3详解】 证明：在四面体中，，，， 所以，， 所以四面体在点处的离散曲率为， 所以， 所以为等边三角形，所以． 又在中，，所以， 所以直四棱柱为正方体． 因为平面，平面，所以． 又，，平面， 所以平面． 又平面，所以． ∵平面，平面，∴． 又平面，，∴平面． 又平面，所以． 又，平面，所以平面． ∴是三棱锥的高，设正方体的棱长为， ∴，， ∴，∴， ∴，∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 武汉市第四十九中学高一五月月考数学试卷 总分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线m，n，平面α，β，若α//β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关系是（ ） A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面 2. 下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为 A. 三棱锥有四个面是三角形 B. 棱锥都有两个面是互相平行的多边形 C. 棱锥的侧面都是三角形 D. 棱锥的侧棱交于一点 3. 如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是 A 平行 B. 垂直相交 C. 垂直但不相交 D. 相交但不垂直 4. 如图，四棱锥，， 是 的中点，直线交平面 于点 ，则下列结论正确的是 A. 四点不共面 B. 四点共面 C. 三点共线 D. 三点共线 5. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，E，F分别为，的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 在边长为1的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为（ ） A. B. C D. 8. 如图，在正方体中，分别是的中点，有四个结论： ①与是异面直线； ②相交于一点； ③过A，M，P的平面截正方体所得的图形为平行四边形； ④过A，M，N的平面截正方体所得的图形为五边形； 其中错误的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过平面外一点作这个平面的平行线是唯一的 B. 过平面外一点作这个平面的垂线是唯一的 C. 过直线外一点作这条直线的垂面是唯一的 D. 过直线外一点作这条直线的平行平面是唯一的 10. 如图，正方体棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（    ） A. B. 平面ABCD C. D. 三棱锥的体积为定值 11. 某学校课外社团活动课上，数学兴趣小组进行了一次有趣的数学实验操作，课题名称“不用尺规等工具，探究水面高度”.如图甲，是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不计），底面为平行四边形，设棱锥高为，体积为，现将容器以棱为轴向左侧倾斜，如图乙，这时水面恰好经过，其中分别为棱的中点，则（ ） A. 水的体积为 B. 水的体积为 C. 图甲中的水面高度为 D. 图甲中的水面高度为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正方体中，异面直线与所成的角为_____. 13. 正方体中，直线与平面所成的角的大小为________． 14. 已知三棱锥的底面ABC是边长为2的正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是的垂心，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球半径等于______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若． （i）求的值； （ii）求面积． 16. 如图所示，已知是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）设平面平面，求证：. 17. 如图，四棱锥中，面是正方形，. （1）若平面，求证：平面； （2）若点为的中点，求证：. 18. 如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求异面直线与所成角的大小. （3）求直线与平面所成角的正切值. 19. 阅读数学材料：“设为多面体一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，⋯，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．”已知在直四棱柱中，底面为菱形，．（角的运算均采用弧度制） （1）若，求四棱柱在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若与平面的夹角的正弦值为，求四棱柱在顶点处的离散曲率； （3）截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为，与平面交于点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$