精品解析：湖南省常德市澧县2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题

2025年上学期期中考试试题卷 七年级数学 考试时间：90分钟，满分100分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 若，则m、n的值分别为（ ） A. B. C D. 3. 如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长 为3，则另一边长是（ ） A. m+3 B. m+6 C. 2m+3 D. 2m+6 4. 若 ，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x不等式是一元一次不等式，则m的值是（ ） A. 1 B. C. D. 不能确定 7. 研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不超过年龄，最低值不低于年龄．所以20岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（ ） A. B. C. D. 8. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 关于x的不等式组只有两个整数解，且，要使的值是整数，则符合条件的a个数是（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 计算： _________． 12. x与y的平方和不大于用不等式可表示为__________． 13. 若是关于x的完全平方式，则______． 14. 若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则________． 15. 已知实数，满足关系式，求的立方根______． 16. 若关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集为_____________． 17. 爆破员要爆破一座旧桥，根据爆破情况，安全距离是70米（人员要撤到70米以外），下面是已知的一些数据，人员速度是7米/秒，导火索的燃烧速度是10.3厘米/秒，为确保安全，这次爆破的导火索至少为_______米． 18. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是______ 三、解答题（共6小题，满分46分） 19. 已知，求与值． 20. 解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． 21. 求下列各式中的： （1）； （2）． 22. 如图，某市有一块长为米，宽为米，规划部门计划在中间留一块边长为米正方形空地修建雕像（阴影部分）． （1）求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示） （2）若a、b满足时，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 23. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 24. 请阅读以下材料，解决问题，我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即．但是，当数域扩充到复数体系中，如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a、b为实数）的数就叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：；，若两个复数，他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如的共轭复数为．根据材料回答： （1）填空： ①_________；②_________； （2）若是的共轭复数，则_________（请简述过程） （3）已知，则_________．（请简述过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上学期期中考试试题卷 七年级数学 考试时间：90分钟，满分100分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数是无理数，进行判断即可． 【详解】解：2，，，中，是无理数的是； 故选D． 2. 若，则m、n的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，先根据多项式乘以多项式的法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出、的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，． 故选：B． 3. 如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长 为3，则另一边长是（ ） A. m+3 B. m+6 C. 2m+3 D. 2m+6 【答案】C 【解析】 【分析】由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长． 【详解】设拼成的矩形一边长为x， 则依题意得：（m+3）2－m2=3x， 解得，x=（6m+9）÷3=2m+3， 故选：C． 4. 若 ，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；由此即可求解． 【详解】解：若， ，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项正确，符合题意； ，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 5. 如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的概念，用不等号将两个整式连结起来所成的式子，在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式，即用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式，根据题意可知汽车的速度v不超过，即汽车的速度v小于等于，然后用符号表示即可． 【详解】解：根据题意v与30应满足的不等关系为， 故选：A． 6. 已知关于x不等式是一元一次不等式，则m的值是（ ） A. 1 B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，解题关键是掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，得出，且，求解即可． 【详解】解：由题意，得，且， ∴， 故选：C． 7. 研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不超过年龄，最低值不低于年龄．所以20岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的应用，将年龄值代入最佳燃脂心率最高值、最低值公式，计算出最值，即可得出最佳燃脂心率的范围． 【详解】解：年龄为20岁时，最佳燃脂心率最高值为：， 最低值：， 因此20岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为， 故选A． 8. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查同底数幂乘法、幂的乘方和同类项，根据同底数幂的乘法、幂的乘方可判断A项和D项，根据合并同类项的法则可以判断B项和C项． 【详解】解：，故A正确； 不能合并为，故B错误； ，故C错误； ，故D错误；． 故选A． 9. 实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，运用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由数轴得，再结合，进行作答即可． 【详解】解：依题意，由数轴得，， ∴， ∵， ∴， 故选：B 10. 关于x的不等式组只有两个整数解，且，要使的值是整数，则符合条件的a个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式组只有两个整数解可确定t的取值范围，再由可确定a的取值范围，根据的值是整数即可确定符合条件a的个数． 【详解】解： 解①得：； 解②得：， 由题意知不等式组的解集为：， 由于不等式组只有两个整数解，则； 由得：， ∴， 解得：； ∵的值是整数， ∴或3， ∴或， 所以a的取值共有4个． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、根据不等式组的解集情况确定参数的取值范围，算术平方根等知识，由不等式组解集的情况确定t的范围，再确定a的范围是解题的关键． 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 计算： _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，单项式乘法，先计算积的乘方运算，再进行单项式乘法运算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为： 12. x与y的平方和不大于用不等式可表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，根据题目中的语句可知x的平方与y的平方之和不大于10，然后写出不等式即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 故答案为：． 13. 若是关于x的完全平方式，则______． 【答案】或7 【解析】 【分析】本题考查求完全平方式中的参数，解题的关键是掌握完全平方公式． 根据完全平方公式，即可解答． 【详解】解：∵是关于x的完全平方式， ∴， 解得：或7， 故答案为：或7． 14. 若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的概念．根据一个正数的两个平方根互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知实数，满足关系式，求的立方根______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查非负性，求一个数的立方根，根据非负性求出的值，再根据立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为：3． 16. 若关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查用数轴表示不等式的解集，直接根据数轴上表示的不等式的解集求解即可． 【详解】解：由数轴知，该不等式的解集为， 故答案：． 17. 爆破员要爆破一座旧桥，根据爆破情况，安全距离是70米（人员要撤到70米以外），下面是已知的一些数据，人员速度是7米/秒，导火索的燃烧速度是10.3厘米/秒，为确保安全，这次爆破的导火索至少为_______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，关键是理解导火索燃尽时人撤离的距离要大于等于70米．设这次爆破的导火索需要x米才能确保安全，安全距离是70米（人员要撤到70米以外），根据人员速度是7米/秒，导火索的燃烧速度是10.3厘米/秒，列不等式求解即可． 【详解】设这次爆破的导火索为x米才能确保安全．根据安全距离是70米（人员要撤到70米及以外的地方），可列不等式： 解得： 故答案为： 18. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是______ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根以及算术平方根的估算，首先计算三角形的面积为，在估算的范围，可得，从而可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ，介于整数和之间， ， 故答案为：3． 三、解答题（共6小题，满分46分） 19. 已知，求与的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式的变形进而求解即可 【详解】， , ， , ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键． 20. 解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示解集，去括号，移项，合并，系数法化1，求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：去括号得，， 移项合并得，， 在数轴上表示该不等式的解集为 21. 求下列各式中的： （1）； （2）． 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】（）根据平方根的概念解方程即可； （）根据立方根的概念解方程即可； 本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解平方根和立方根的概念是解题的关键． 【小问1详解】 解： 或 ∴或； 【小问2详解】 解： ∴． 22. 如图，某市有一块长为米，宽为米，规划部门计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建雕像（阴影部分）． （1）求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示） （2）若a、b满足时，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 【答案】（1）平方米 （2）10750元 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式以及代数式求值，掌握多项式乘多项式的计算方法，完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据图形中面积之间的关系进行计算即可； （2）求出a、b的值，代入求出草坪的面积，再根据单价×数量=总价进行计算即可． 【小问1详解】 解： 平方米； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴草坪的面积为（平方米）， ∴购买草坪所需要的总费用为（元）． 23. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】（1）每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元 （2）共有4种购买方案，最低费用是5780元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据买套甲型号和10套乙型号共用900元列一元一次方程求解即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 根据总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的倍列一元一次不等式组求解得，再设总费用为元，列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得，． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元； 【小问2详解】 解：设需购进甲种型号“文房四宝”套，则需购进乙种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又为正整数， 可以取26，27，28，29； 共有4种购买方案， 设总费用为元，则， ， 随着的增大而增大， 当时，最小，最小值， 答：共有4种购买方案，最低费用是5780元． 24. 请阅读以下材料，解决问题，我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即．但是，当数域扩充到复数体系中，如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a、b为实数）的数就叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：；，若两个复数，他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如的共轭复数为．根据材料回答： （1）填空： ①_________；②_________； （2）若是的共轭复数，则_________（请简述过程） （3）已知，则_________．（请简述过程） 【答案】（1）①；② （2），过程见解析 （3），过程见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，完全平方公式，整式的混合运算等知识． （1）①根据题干所给新运算可直接进行求解； ②根据完全平方公式以及所给新运算可进行求解，再根据题中所给共轭复数的定义求出a，b的值，最后代入代数式求解即可． （2）再根据题中所给共轭复数可进行求解； （3）先根据题干所给新运算计算，进而得出a、b的值，再计算，最后根据幂的混合运算得出，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：①； ② ； 故答案为：①；②； 【小问2详解】 解：， ∵是的共轭复数， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ……，， ∴， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$