精品解析：福建省龙岩市上杭县第一中学2025届高三下学期5月质检考试数学试题

上杭一中2025届高三5月校质检考试 数学试卷 （考试时间：150分钟；满分：150分） 一、选择题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 44 B. 33 C. 66 D. 77 4. 已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥（O是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为.P、Q为底面圆周上任意两点，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域内存在，，使得成立，则称该函数为“完备函数”.已知是上的“完备函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若对任意，有，则正整数的最小值为（参考值：）（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 8. 下列计算正确的有（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，则 9. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线与圆相交 B. 若直线与圆相切，则 C. 圆上一点到直线的最大距离为 D. 若圆上恰好有三个点到直线的距离为2，则 10. 在平面直角坐标系中，设，，定义：．若，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若关于x轴对称，则 B. 若关于直线对称，则 C. 若，则 D. 若，，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 11. 已知向量，若，则_______． 12. 一组数据按照从小到大的顺序排列为，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为__________. 13. 已知数集，，现随机从和中各抽取3个不同的数分别构成最大的三位数和，则事件“”的概率为______． 四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 14. 已知数列满足． （1）求证：是等差数列； （2）若，求数列的前n项和． 15. 已知为锐角三角形，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，． （1）求角B； （2）求的内切圆半径r的最大值． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱，的中点，点G在线段上． （1）证明：平面； （2）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值． 17. 已知函数随机变量，随机变量，的期望为. （1）当时，求； （2）当时，求的表达式. 18. 对于椭圆：上的任意两点P，Q定义“”运算满足：过点作直线直线（规定当P和Q相同时，直线就是在点P处的切线），若l与有异于S的交点T，则；否则.已知“”满足交换律和结合律，记. （1）若，，求，以及； （2）对于上的四点，，，，求证：的充要条件是； （3）是否存在异于S的点P，使得？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上杭一中2025届高三5月校质检考试 数学试卷 （考试时间：150分钟；满分：150分） 一、选择题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合，再求，最后求交集即可. 【详解】， 则或，则. 故选：B 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算. 【详解】解：由题意知，， ， ∴， 故选：D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法. 3. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 44 B. 33 C. 66 D. 77 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列项的性质结合等差数列求和公式计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，因为， 所以， 则. 故选：D.    4. 已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率为，由求解. 【详解】由题意双曲线，所以，， 由计算得：，又因为双曲线的离心率为， 所以，解得， 所以双曲线的方程为， 其渐近线方程为． 故选：B. 5. 已知圆锥（O是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为.P、Q为底面圆周上任意两点，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题求出圆锥的底面半径，求得的面积，要使三棱锥体积最大， 只需使上的高最大，易得平面时体积最大，计算即得. 【详解】 如图，由题意，圆锥的底面半径为， 则， 要使三棱锥体积最大，须使底面上的高最大， 故须使平面，因平面底面圆，且交线为, 故只须使即可，此时 . 故选:A. 6. 若函数的定义域内存在，，使得成立，则称该函数为“完备函数”.已知是上的“完备函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式和辅助角公式化简函数，由“完备函数”的定义得到关系式，结合三角函数的有界性，得到，从而得到在上至少存在两个最大值点，即可得中至少存在两个整数，然后求得的取值范围. 【详解】由 ， 即是上的“完备函数”，所以存在，，使得成立； 即存在，，使得成立； 又因为，因此，即在上至少存在两个最大值点， 令，则，即， 则至少存在两个整数， ∴， 当，即一定满足题意. 又∵，即， ∴，即 ∴当取1，2时，，则， ∴， 综上可知的取值范围为. 故选：D 【点睛】思路点睛，本题定义了“完备函数”，所以先化简函数，然后得到其性质，然后结合三角函数的有界性得到函数在区间内最大值点的个数，然后再转化为整数解的个数问题. 7. 已知函数，若对任意，有，则正整数的最小值为（参考值：）（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意分析得，进而得，根据导数得出函数的单调性后，分，讨论即可求解. 【详解】由，知都不为零， 所以在和上都没有零点． 由于，故在上有零点， 二者结合，可知，而在和上分别取固定的符号，且符号相反． 所以，得，故， 则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 当时，对任意，恒成立； 当时，需满足，即，解得， 所以正整数的最小值为2． 故选：B． 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 8. 下列计算正确的有（ ） A. B. C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对数运算判断A，应用指数对数运算化简求值判断B，应用换底公式及对数运算判断C，应用指数运算计算判断D. 【详解】，A选项错误； ，B选项正确； 若，，则，C选项正确； 若，则，所以，D选项正确. 故选：BCD. 9. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线与圆相交 B. 若直线与圆相切，则 C. 圆上一点到直线的最大距离为 D. 若圆上恰好有三个点到直线的距离为2，则 【答案】AC 【解析】 【分析】易知圆心，半径，由选项，结合直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和两点之间的距离公式依次计算即可求解. 【详解】A：当时，直线，圆的方程可化为， 所以圆心，半径，则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，故A正确； B：因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，故B错误； C：因为直线恒过定点，所以圆心到直线的最大距离， 则圆上一点到直线的最大距离为，故C正确； D：因为圆上恰好有三个点到直线的距离为2， 所以圆心到直线的距离，解得或，故D错误. 故选：AC. 10. 在平面直角坐标系中，设，，定义：．若，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若关于x轴对称，则 B. 若关于直线对称，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用给定定义结合函数对称性的是求解A，B，举反例判断C，利用子集的性质结合给定条件判断D即可. 【详解】对于A，因为关于x轴对称，且，， 所以，而， 得到， 同理， 即此时满足，故A正确， 对于B，因为关于直线对称，且，， 所以，则， ， 构造，由指数函数性质得在上单调递增， ，因为，且，所以，得到， 则，得到，即， 则，故B正确， 对于C，由题意得，， 因为，所以， 得到， 令，符合题意， 此时， 而，则， 由已知得，则，故C错误， 对于D，设，，则， 则，从而， ，，则， ，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（每小题5分，共15分） 11. 已知向量，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量数量积的坐标运算公式和向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【详解】由，可得且， 因为，可得，解得. 故答案为：. 12. 一组数据按照从小到大的顺序排列为，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为__________. 【答案】60 【解析】 【分析】根据百分位数定义可得，再由通项可求得第5项为常数项，计算可得结果. 【详解】易知，所以的上四分位数为第5个数，即； 所以二项式为， 设展开式中的第项为常数项，即为常数项， 令，解得， 即常数项为. 故答案为：60 13. 已知数集，，现随机从和中各抽取3个不同的数分别构成最大的三位数和，则事件“”的概率为______． 【答案】##0.7 【解析】 【分析】由古典概型的概率公式结合相互独立事件概率的乘法公式求解可得答案. 【详解】可分为两类： 中有7时和中无7时， 由题意可得：（中有7），（中无7）． 若中含7，则； 若中无7的情况下：， 此时； 所以． 故答案为：. 四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 14. 已知数列满足． （1）求证：是等差数列； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） 因为，， 所以， 所以数列为首项为，公差为的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知，表示出，然后代入计算可得，所以证明出数列是等差数列； （2）由（1）求出首项，利用等差数列通项公式计算，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 数列为首项为，公差为的等差数列， 所以，解得. 因为，所以， 则， ， 于是， 两式相减得， 所以. 15. 已知为锐角三角形，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，． （1）求角B； （2）求的内切圆半径r的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）整理题干中的等式，根据余弦定理，可得答案； （2）由题意明确内角的取值范围，利用正弦定理以及三角函数的恒等式，可得三角形的周长范围，根据三角形的面积计算，整理内切圆半径的函数解析式，可得答案. 【小问1详解】 因为，则， 可得，由余弦定理可得， 因为为锐角，故， 【小问2详解】 因为为锐角三角形，则，解得， 因为 ， 因为，则，故， 故， 又，则，由， 得， 则当，即时，， 所以的内切圆半径的最大值． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱，的中点，点G在线段上． （1）证明：平面； （2）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点O，先证明，再利用面面垂直的性质定理得出平面，最后利用线面垂直的判断定理即可； （2）先利用线面角的定义找出角，，，得出，再设，得出关于的函数表达式，求其最值即可. 【小问1详解】 连接，取的中点O，连接， 因为底面为菱形，且，所以、为等边三角形， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，，，平面， 所以平面； 【小问2详解】 连接，，则且， 又平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角，即， 所， 取的中点，连接，则且， 又为中点，所以，又，所以， 由平面，，平面，所以，， 又，平面，所以平面，则平面， 连接，，则为直线与平面所成的角，即， 所以， 又，，平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角，即， 所以， 所以， 又，设， 所以， 所以， 令，则， 所以 因为，所以， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 所以． 17. 已知函数随机变量，随机变量，的期望为. （1）当时，求； （2）当时，求的表达式. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据二项分布的概率公式求解概率，根据分段函数的性质代入求解，即可由期望公式求解， （2）根据期望公式可得面，结合二项分布的期望公式，即可化简求解. 【小问1详解】 当时，的可能取值为. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 故. 【小问2详解】 当时，的可能取值为. 当时，； 当时，；当时，. 因为， 所以. 又因为， 所以， 所以. 18. 对于椭圆：上的任意两点P，Q定义“”运算满足：过点作直线直线（规定当P和Q相同时，直线就是在点P处的切线），若l与有异于S的交点T，则；否则.已知“”满足交换律和结合律，记. （1）若，，求，以及； （2）对于上的四点，，，，求证：的充要条件是； （3）是否存在异于S的点P，使得？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），，； （2）证明：由， ， ， 所以， 同理， 故，当且仅当 ， 所以，即，得证； （3）存在，为或或. 【解析】 【分析】（1）依次写出过的相关直线，联立椭圆求交点，根据题设定义求，以及即可； （2）应用向量的坐标表示及三角恒等变换得，同理得，根据向量平行的坐标表示、辅助角公式化简，即可证； （3）设，，根据平行关系及（2）的结论即可判断存在性并确定点坐标. 【小问1详解】 由题设，直线的斜率为，则过且平行于直线的直线方程， 联立，可得，解得（舍）或，则， 所以， 过且平行于椭圆在点处切线的直线方程为， 联立，可得（舍）或，故， 过且平行于的直线方程为， 联立，可得（舍）或，故， 所以， 过且平行于的直线方程为， 联立，可得（舍）或，故， 过且平行于的直线方程为， 联立，可得，故， 又对于椭圆上任意一点，都有，故，， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，， 由，点处的切线平行于， 由（2）知，则， 由，所以，则， 由，所以，则， 若，则，即， 所以存在异于S的点P，使得，坐标为或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $