精品解析：河南省平顶山市汝州市2024-2025学年7年级下学期4月期中数学试卷　

2024~2025学年下学期期中质量检测 七年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列算式中，结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法、合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据同底数幂除法、合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A． ，该选项不符合题意； B． ，该选项不符合题意； C． ，该选项不符合题意； D． ，该选项不符合题意． 故选D． 2. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选B． 3. 将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（   ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了余角的定义，三角板中角度的计算，度数之和为90度的两个角互余，据此结合三角板中角度的特点求解即可． 【详解】解：A、由余角性质可得，该选项不合题意； B、由图可得，与互补，该选项不合题意； C、由图可得，该选项不合题意； D、由图可得，与互余，该选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率，求出相应部分所占整体的几分之几是解决问题的关键． 求出黄色区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率． 【详解】解：黄色区域圆心角：， ∴转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是：， 故选：C． 5. 如图，点P处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段，测得，，则点P到直线的距离可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的定义． 根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离作答． 【详解】解：∵点到直线的距离是垂线段长度，，， ∴点P到直线的距离小于， ∴点P到直线的距离可能为， 故选：D． 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. “打开电视，正在播放电视剧”是必然事件 B. “若a，b互为相反数，则”，这一事件是随机事件 C. “明天降雨的可能性是”，意思是明天有的时间在降雨 D. “任意掷两枚质地均匀的骰子，掷出的点数之和为1”，这一事件是不可能事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，正确理解各类事件的概念是解题的关键． 根据必然事件、随机事件和不可能事件的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、“打开电视，正在播放电视剧”是随机事件，所以选项A错误，不符合题意； B、“若a，b互为相反数，则”，这一事件是必然事件，所以选项B错误，不符合题意； C、“明天降雨的概率是”，并不意味着明天有的时间在降雨，所以选项C错误，不符合题意． D、“任意掷两枚质地均匀的骰子，掷出的点数之和为1”，这一事件是不可能事件，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D. 直线a，b，c在同一平面内，若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定、垂直的判定、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． 根据平行线的判定、垂直的判定、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项错误，不符合题意； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即B选项正确，符合题意； C．两条平行线直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故该选项错误，不符合题意； D、在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 8. 做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是 A. ②③ B. ①③ C. ①② D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，但是并不是频率值就一定等于概率值，据此求解即可． 【详解】解：由于频率不等于概率，故当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，“正面向上”的概率不一定是，故①错误； 大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，故随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，故②正确； 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．故③正确； 故选：A． 9. 2024年央视春晚上伴随着全民齐诵《将进酒》，西安将万千观众再次带入盛世长安．长安灯璀璨，古都夜未央，小明为大唐不夜城的景观灯带设计了一个“中”字图案．他以长方形的四条边为边向外作四个正方形，如图示，若四个正方形的周长之和为32，面积之和为18，则长方形的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设，，由四个正方形的周长之和为32，面积之和为18列方程求解即可．本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提． 【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为32，面积之和为18可得， ，， 即①，②， 由①得，③， 得， 所以， 即长方形的面积为， 故选：A． 10. 小明、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知， 小明说：“如果还知道，则能得到．” 小刚说：“一定大于．” 小颖说：“如果连接，则一定平行于．” 他们三人中，有（ ）个人的说法是正确的． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质与判定以及分类讨论思想是解题的关键． 由可得，然后根据平行线的判定与性质逐个判断即可． 【详解】解：对于小明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即小明的说法正确； 对于小刚：∵，， ∴， 如下图， ①当时，则，即一定大于； ②当与不平行时，     如图，设， 当点在点G的上方时， ∵， 由①知，一定大于； 当点在点G的下方时， 见上图，则不一定大于， 综上，不一定大于，即小刚的说法错误； 对于小颖，如果连接，则不一定平行于，故小颖的说法错误； 综上知：他们三人中，有1个人的说法是正确的． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图指针落在惊蛰区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率计算，熟练掌握概率公式，是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：因为把黄道分为24份，所以指针落在惊蛰区域的概率是． 故答案为：． 12. 如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④和是对顶角．其中判断正确的有______个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，对顶角，同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角；据此分别进行分析可得答案． 【详解】解：①与是同位角，原说法正确； ②与是同旁内角，原说法正确； ③与是内错角，原说法正确； ④和是对顶角，原说法正确； ∴说法正确的有4个， 故答案为：4． 13. 已知实数a、b满足，则的值为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值． 首先因式分解得到； 然后将已知整体代入化简后的待求式，就能求出结果． 【详解】解： 将代入得： 原式 14. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图1，某品牌共享单车放在水平地面上，图2是其示意图，其中都与地面平行，，，当为_____时，与平行． 【答案】63 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．根据平行线的性质，得到，根据同旁内角互补，两直线平行，得到时，与平行，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 当时，与平行， ∴， ∴； 故答案为：63． 15. 规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如：因为，所以．根据上述规定，填空：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，零指数幂，负整数指数幂，根据可得，据此计算求解即可． 【详解】解；∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题8个小题，共75分） 16. 计算 （1） （2）（利用整式乘法公式计算） 【答案】（1）； （2）4． 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，平方差公式，熟练掌握相关法则是解题的关键； （1）根据多项式除以单项式法则进行计算即可； （2）将改写为，然后结合平方差公式按运算顺序进行运算即可． 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；6 【解析】 【分析】先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则展开中括号内的式子，再合并同类项，然后进行多项式除以单项式运算化简，最后将、的值代入化简后的式子求值．本题主要考查了整式的混合运算 - 化简求值，熟练掌握完全平方公式、平方差公式以及整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 当时，原式． 18. 如图，已知，于点H，． （1）请判断与的位置关系，并说明理由； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，补角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理． （1）先根据平行线的判定证明，根据平行线的性质得出，根据补角的性质得出，最后根据平行线的判定得出结论即可； （2）根据平行线的性质得出，求出，得出，根据平行线的性质求出即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以． 所以； 【小问2详解】 解：因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 19. 一个不透明的盒子中装有 3 个白球，2 个黄球，1 个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样． （1）在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红球，小颖同学从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则 ． （2）在（1）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸出一个球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 【答案】（1）4 （2）解：公平，理由： （小颖获胜），（小英获胜） ， 公平． 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求解，游戏的公平性的判断，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）利用概率公式直接计算即可； （2）根据概率判断即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解， 所以； 故答案为：4； 【小问2详解】 略 20. 在数学活动课上，老师为了让学生理解数学转化思想，设计了下面的问题：如图，有人想要测量两堵围墙在地面上所形成的的度数，但人又不能进入围墙，只能站在围墙外．请问如何利用所学知识设计测量方案？ 方案1：学生甲说：如图1，延长到D，延长到C，可以将测量的度数转化为测量与相等的的度数． 方案2：学生乙说：如图2，延长到D，可以将测量转化为测量的度数． 方案3：学生丙说：如图3，延长到C，在射线上取一个合适的点P，过点P做，可以将需要测量的转化为与有着确定数量关系的其他角，例如内错角、同位角、同旁内角． （1）请你结合图1，说明与相等的理由． （2）请你结合图2，说明与的数量关系． （3）请你在图3中补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），这样就可以将需要测量的转化为测量_______的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）作图见解析； 【解析】 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质，对顶角性质，根据邻补角求角度，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）根据对顶角相等即可得出答案； （2）根据邻补角求出结果即可； （3）以点P为角的顶点，为角的一条边，在上方作即可，根据两直线平行，同位角相等，得出答案即可． 【小问1详解】 解：∵与是对顶角， ∴； 【小问2详解】 解：∵与是邻补角， ∴； 【小问3详解】 解：如图，即为所求作的平行线； ∵， ∴， ∴测量即可． 21. 如图1，有一长方形菜地，长比宽多米．求菜地的面积． 老师在黑板上的板书：． （1）请根据老师的板书说出的实际意义：______； （2）如图，经测量菜地的长为米．张老爹为了扩大菜地面积，向周围开垦荒地，已知四周新开垦的菜地宽度均为米，通过计算说明菜地开垦后的面积（结果用含的多项式表示）． 【答案】（1）菜地的宽度； （2）平方米． 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、多项式乘以多项式，解决本题的关键是根据题意列出代数式，再根据多项式乘以多项式的法则进行计算． （1）根据长方形的面积公式是长乘以宽，可知表示菜地的宽度； （2）根据题意可知开垦后菜地的长为米，菜地的宽为米，根据长方形的面积公式可知菜地的面积是，计算可得菜地开垦后的面积是． 【小问1详解】 解：菜地的面积是，长比宽多米． 表示菜地的宽度， 故答案是：菜地的宽度； 【小问2详解】 解：菜地的长为米， 菜地的宽为米， 四周开垦的菜地宽度均为米， 开垦后菜地的长为米，菜地的宽为米， 开垦后菜地的面积为： 平方米． 22. 如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： （1）小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． （2）如图②，根据小明的思路求和的度数； （3）小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】（1）平行于同一条直线的两直线平行 （2）， （3）对，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的三条性质，根据平行线的三条性质得到角度相等是求解本题的关键． （1）根据平行公理的推论，即“平行于同一条直线的两直线平行”即可求解； （2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由求解；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解； （3）根据平行线的性质可得，再根据即可求解． 【小问1详解】 解：平行于同一条直线的两直线平行； （或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； 【小问2详解】 解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， , ， ； ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：对，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， , ， ． 23. 如图所示，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形如图甲，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形如图乙． （1）图甲中阴影部分的面积为_______；图乙中阴影部分的面积为_______（用含a、b的代数式表示） （2）利用（1）的结果，说明的等量关系； （3）应用所得的公式计算： ______； （4）如图丙，现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对图丙分割（在图丙中用虚线表示分割线），再对分割的各部分移动，组成新的图形，请在图丁的方框中画出新的图形，利用新的图形说明三者的等量关系． 【答案】（1）； （2）的等量关系为： （3） （4）图形见解析，三者的等量关系：． 【解析】 【分析】（1）根据长方形的面积计算公式及正方形的面积计算公式进行计算，即可得出结论． （2）利用图甲与图乙的面积相等，即可得到． （3）根据（2）得到的平方差公式将每一个因式分解并约分可得到结论． （4）将图丙分成四个长为a，宽为b的小长方形，再拼成大正方形，即可得到、、ab三者的等量有关系． 【小问1详解】 解：由题意可得：；； 【小问2详解】 解：∵图甲与图乙的面积相等， ∴、、的等量关系为：； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：如图①所示，将图丙分成四个长为a，宽为b的小长方形，再拼成如图②所示的正方形． 图②中大正方形的面积为：， 图②中四个小长方形的面积与中间小正方形的面积和为：， ∴ 【点睛】此题考查了平方差公式的几何背景，运用几何图形直观理解平方差公式，解决完全平方公式的推导过程，熟练掌握相关的公式并灵活运用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年下学期期中质量检测 七年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列算式中，结果等于的是（ ） A. B. C. D. 2. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（   ）． A. B. C. D. 4. 如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点P处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段，测得，，则点P到直线的距离可能为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. “打开电视，正在播放电视剧”是必然事件 B. “若a，b互为相反数，则”，这一事件是随机事件 C. “明天降雨的可能性是”，意思是明天有的时间在降雨 D. “任意掷两枚质地均匀的骰子，掷出的点数之和为1”，这一事件是不可能事件 7. 下列说法正确的是（ ） A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D. 直线a，b，c在同一平面内，若，则 8. 做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是 A. ②③ B. ①③ C. ①② D. ①②③ 9. 2024年央视春晚上伴随着全民齐诵《将进酒》，西安将万千观众再次带入盛世长安．长安灯璀璨，古都夜未央，小明为大唐不夜城的景观灯带设计了一个“中”字图案．他以长方形的四条边为边向外作四个正方形，如图示，若四个正方形的周长之和为32，面积之和为18，则长方形的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 5 10. 小明、小刚、小颖一起研究一道数学题．如图，已知， 小明说：“如果还知道，则能得到．” 小刚说：“一定大于．” 小颖说：“如果连接，则一定平行于．” 他们三人中，有（ ）个人的说法是正确的． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图指针落在惊蛰区域的概率是______． 12. 如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④和是对顶角．其中判断正确的有______个． 13. 已知实数a、b满足，则的值为_______． 14. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图1，某品牌共享单车放在水平地面上，图2是其示意图，其中都与地面平行，，，当为_____时，与平行． 15. 规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如：因为，所以．根据上述规定，填空：_____． 三、解答题（本题8个小题，共75分） 16. 计算 （1） （2）（利用整式乘法公式计算） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知，于点H，． （1）请判断与的位置关系，并说明理由； （2）连接，若，求的度数． 19. 一个不透明的盒子中装有 3 个白球，2 个黄球，1 个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样． （1）在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红球，小颖同学从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则 ． （2）在（1）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸出一个球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 20. 在数学活动课上，老师为了让学生理解数学转化思想，设计了下面的问题：如图，有人想要测量两堵围墙在地面上所形成的的度数，但人又不能进入围墙，只能站在围墙外．请问如何利用所学知识设计测量方案？ 方案1：学生甲说：如图1，延长到D，延长到C，可以将测量的度数转化为测量与相等的的度数． 方案2：学生乙说：如图2，延长到D，可以将测量转化为测量的度数． 方案3：学生丙说：如图3，延长到C，在射线上取一个合适的点P，过点P做，可以将需要测量的转化为与有着确定数量关系的其他角，例如内错角、同位角、同旁内角． （1）请你结合图1，说明与相等的理由． （2）请你结合图2，说明与的数量关系． （3）请你在图3中补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），这样就可以将需要测量的转化为测量_______的度数． 21. 如图1，有一长方形菜地，长比宽多米．求菜地的面积． 老师在黑板上的板书：． （1）请根据老师的板书说出的实际意义：______； （2）如图，经测量菜地的长为米．张老爹为了扩大菜地面积，向周围开垦荒地，已知四周新开垦的菜地宽度均为米，通过计算说明菜地开垦后的面积（结果用含的多项式表示）． 22. 如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： （1）小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． （2）如图②，根据小明的思路求和的度数； （3）小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 23. 如图所示，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形如图甲，把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形如图乙． （1）图甲中阴影部分的面积为_______；图乙中阴影部分的面积为_______（用含a、b的代数式表示） （2）利用（1）的结果，说明的等量关系； （3）应用所得的公式计算： ______； （4）如图丙，现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对图丙分割（在图丙中用虚线表示分割线），再对分割的各部分移动，组成新的图形，请在图丁的方框中画出新的图形，利用新的图形说明三者的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $