精品解析：浙江省北斗星盟2024-2025学年高三下学期5月三模数学试题

6学科网 组卷网 高三年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效： 4.考试结束后，只需上交答题纸 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的： 1.已知集合M={=张-2，k∈Z,N={4<x<4,则MnN=() A.{-2,-1,0,1} B.{-2,-1} C0,1} D.{-2,} 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集的定义求解即可 【详解】M中的元素都是形如3k-2的整数，其中k是整数 N 包含所有大于4且小于4的实数 求交集M∩N: 需要找到满足-4<3k-2<4的整数k. 解不等式： 第1页/共33页 6学科网 命组卷网 左边：-4<3k-2解得> 右边：3k-2<4解得k<2 因此，整数k的取值范围是k=0和 确定对应的X值： 当k=0时，x=30-2=-2 当k=1时，x=31-2=1. 结果：MnN中的元素是{2， 故选：D 2.已知ā=(3，m）,6=(L-),且a-6=2,则la+=（) A.4 B.2 a v5 D.1 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算列方程，求得m,进而求得后+ 【详解1因为-6=3-m=2,解得m=1 则a=(3,1) 则0+6=(4,0) 则a+=4. 故选：A 3.“aeR且复数(a+il-ai)∈R是a=1的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 第2页/共33页 6学科网命组卷网 【答案】B 【解析】 【分析】复数属于实数，则虚部为0，根据条件求出参数，判断正确选项 【详解1(a+i-a）=a+1-ai-am=2a+1-ai,虚部l-a2=0,解得a=±1， 所以“a=士1”是“a=1”必要不充分条件， 故选：B 4.下列说法错误的是() A若随机变量X~N(4,o）, 则当O较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布较集中 R2 B.在做回归分析时，用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C.若样本数据，，X的平均数为3，则3 3x+1,3x2+1,,3xn+1 的平均数为10 D.一组数据6,7,7,8,10,12,14,17,19,21的第80百分位数为17 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据正态分布的性质、决定系数的意义、平均数的性质以及百分位数的计算方法来判断每个 选项的正误 【详解】对于A选项，对于正态分布X~N(山，o),O为标准差，O越小，数据越集中在均值4附近，对 应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布较集中，所以A选项正确， 对干B选项，在回归分析中，决定系数R用于刻回模型的回归效果， 、越接近，表示模型对数据的拟 合效果越好，即R越大，说明模型拟合的效果越好，所以B选项正确 对于C选项，已知样本数据，，； =3 的平均数为 根据平均数的性质：若=+b=1,2,…,几)，则=成+b 对于3x+1,3x,+l,,3x,+1,这里a=3,b=1,所以其平均数为3×3+1=10，所以C选项正确 第3页/共33页 学科网命组卷网 对于D选项，对于数据6,7,7,8,10,12,14,17,19,21，则10×80%=8，所以第80百分位数是 17+19=18 第8项与第9项数据的平均值，即2 ,而不是17，所以D选项错误 故选：D S 5.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a4恰为a3和a的等差中项，则S,() 86 D 9 【答案】D 【解析】 【分析】由等差中项求得公比，代入求和公式即可求解 【详解】设等比数列a,的公比为9， a;+as=g=2 由题意可得：4+a5=2(a2+a4)，a2+a4 a,(1-2） S=1-2=1+2=9 所以S,a1-2)】 1-2 故选：D 6.已知sin2a=2sin2p,cos2a=4sin'B,则cos(2a+B)=（) √2 √5 A.0 B.2 C.1 D.2 【答案】A 【解析】 sin B 0 【分析】对 '是否为进行讨论，再结合二倍角的正弦公式和两角和的余弦公式求解即可： 第4页/共33页 命学科网组卷网 【详解】依思意sin2a=2sin2B.cos2a=4sin2B 者sinB= ,则cos2a=0,而sin2a=2sin2B=4 sin BeosB=0 ,而 与sin22a+c0s22a=1 inB≠0cos2au≠0 矛盾，得到 sin2a 2sin28 4sinB cos B cos B 所以cos2a4sin2B4sin2 B sin B, 则cos2 acosB--sin2 asinB=0,即cos(2a+BP)=0,故A正确 故选：A 7在棱长为4的正方体1BCD-4B,CD中，M、N分别为AB、CC的中点，过直线MN的平面a 截该正方体所得截面「，则当平面与平面ABCD的所成角为最小时，截面「的面积为() 14W11 A.8V5 B.3V30 C.125 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】以点A为坐标原点，AB、AD、AA所在直线分别为、)、2轴建立空间直角坐标系，设平 面“交直线AA于点P(0,0a), 利用空间向量法可求出平面Q与平面ABCD的所成角为最小时a的值， 求出此时二面角余弦值的最大值，然后利用射影面积法可求出截面「的面积. 【详解】以点A为坐标原点，AB、AD、A 4所在直线分别为、'、2轴建立如下图所示的空间直角 坐标系， 第5页/共33页 6学科网命组卷网 B 则M(20,0)、N(4,4,2),设平面a交直线14于点P(0,0a) 则Mm=(2,4,2),Mm=(-20,a). m·MN=2x+4y+2z=0 设平面，的一个法向量为m=(x,y,z小则m.MP=-2r+a=0， 取x=2a,可得i=(2a,-a-2,4)】 易知平面4BCD的一个法向量为i=(00,1), 设平面a与平面ABCD的所成角为O, i列 4 4 cos=cos(m,= m同 V4a2+(-a-2)}+16V5a2+4a+20, √30 当且仅当a= 5时，cos0取最大值6，此时平面a与平面ABCD所成角最小， 设平面a交棱BB于点F(06,0),MF=(-2,b,0)】 因为MFca,则 f.m=88, ,解得b=1,即点F(0,1,0). 结合图形可知，平面分别交 BB、DD于点E、G, 第6页/共33页 6学科网列组卷网 先证明射影面积法：设点C在平面α内的射影点为C',如下图所示： 过点C在平面ABC内作CD⊥AB,连接C'D, 因为CC⊥平面ABC'，,ABC平面ABC,所以CC'⊥AB, 因为cDLB,ccncD=C,CC、CDc平面CCD,放ABL平面9 因为CDC平面CCD,所以C'D⊥AB, 故∠CDC'为锐二面角C-AB-C'的平面角， 在 中，cos∠CDC=CD2CD.1B CD 1 CD·AB S△ABC Rt△CC' 推广到其他多边形的面积也成立， ×2×1=15 本题中， S学aCw=S,0-Saw=42-X 2 设截面下的面积为S,由射影面积法可得S c0s03 6, 故S=S多边BCDFM形· 0=360 -15xV3 30 故选：B. ln(2-x),x≤1， 8已知函数/(x)= -x2+1,x>1,设g(x)=f(x)-ar+a,若函数g(x)仅有一个零点，则实数a 的取值范围是() 第7页/共33页 6学科网6组卷网 A.[-l+o) B.[0,+o∞) c.（-∞，-小U[0,2] D.（-1,0]U(2,+o) 【答案】C 【解析】 【分析】转化为y=/(x小的图象与函数y=ar-Q的图象只有一个交点，同一坐标系内作出两函数图象， 求出函数切线得到极端情况，数形结合得到答案 【详解】因为函数8(x)=/(x小-ar+a仅有一个零点， 所以函数y=/(x小的图象与函数y=ax-a的图象只有一个交点 医数y=m-每过定点亿0，/=h2-.rsL 1x2-1,x≥1， 同一坐标系内作出两函数图象，如图所示， 两个函数图象已经有一个交点(，0) y=ax-a y=lf(x) x>1时，y=/(=t-1,其导函数y=2x, 当直线y=ax-a与函数y=f(=r-1在（，0)处相切时，只有-个交点(，0)， a=2×1=2 此时a>0 ’解得a=2,则当a>2时，有两个交点 1时，/a=a2-.共导活致广=2 2-x, 第8页/共33页 学科网命组卷网 当直线y=心-a与函数y=f(=h(2-)在(，0)处相切时，只有一个交点(，0)， 1 a=- =-1 2-1 此时 ，解得 则当 时，有两个交点 a<0 a=-1 -1<a<0 综上，要使函数8()仅有一个零点，则实数a的取值范围是(-0，-U[0,2] 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 WX- 9.已知函数 f(x)=Asin (其中A>0,0>0)的最大值为2，其图象的相邻两条对称轴之间 元 的距离为2，则下列说法正确的是() A0=2 元 B.函数∫()的图象向左平移6单位后关于原点对称 C.函数f(x)的图象关于点3对称 0. D.函数f(x)在区间3 上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件求出函数(~)的解析式，再结合正弦型函数的基本性质、三角函数图象变换逐项判断 即可 第9页/共33页 6学科网6组卷网 【详解】对于A选项，因为函数∫(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为2， T=2x=元0 2m_2π=2 所以该函数最小正周期为 2“,故0Tπ A正确： 对于B选项，由函数/（四的最大值为2可知A=2,故f(✉=2si 2r 质数了付的图象有东千帮名空后，可有到质黄=2n2+君引-骨引2如2“约圆象.达s数方 奇函数，B正确： 对于C选项， 3 =2n雪=、50，故品数了的图象不关于点信0对系，C错大 3 对于D选项， 0≤x ，-元≤2x-刀<元 3时，3 33, 0. 故函数∫(x)在区间3上单调递增，D正确 故选：ABD. 10.已知a>0,b>0,则下列说法正确的是() A.若ab=a+b+3,则ab29 B.a2 4 a2+3的最小值为1 36+0 C.若a+b=9,则ab的最小值为8 D若Na+V56≤kWa+b恒成立，则k的最小值为5 【答案】AC 第10页共33页 命学科网命组卷网 【解析】 【分析】利用基本不等式求解A,利用基本不等式的取等条件判断B,利用基本不等式结合“1”的代换判 √a+V5b 断C,先分离参数，再对√a+b 平方后利用换元法和判别式法求解最值，得到k的最小值判断D即可. 【详解】对于A,ab=a+h+322Wab+3,当且仅当a=b=3时取等号， 即(Nab-3(Vab+120,得到ab-3≥0，解得ab≥9.故A正确 对8，+3+3列3322+93=4 4 2+3= 当且仅当 a2+3,即a2+3=2时取等号，显然a的值不存在，故B错误； 4(a+b)+a=4+ Ab a 对于C,因为a+b=9,所以ab ab, 由基本不等式得4+。+6之4+2 4b0=8 V a"b Ab a 当且仅当ab时取等，此时解得a=6,b=3, 36,a 则ab的最小值为8，故C正确， 对于D,因为Va+V5历≤ka+b恒成立，且a>0,b>0, 所以≥6+56 a+5b:_a+Sb+2V5ab √a+b恒成立，而√a+b a+b 第11页/共33页 6学科网列组卷网 4×b+2,5×6 a+b+4b+25ab =1+a V a a+b b 1+ a 4×b+2 b 1+t35x6 a 可化为1+4+2V5, a 1+t2 令m=4+2V5 1+t2,则m(1+t2)=4t2+2√5t, 化简得m-4r2-2N5+m=0 而该一元二次方程一定有实数根，得到(-2V5-4m(m-4)≥0 解得m∈1,5]，当m=5时，t=V5>0, b b 4×+2,5× +a 故 故 a≤6即a+5b≤6， m+1≤6 a Ja+b 得到k≥V6,则k的最小值为V6,枚D错误 故选：AC I1如图，ABCD是边长为2的正方形，1M,BB,CG,DD都垂直于底面ABCD,且 DD-4A-CC-=388=6点E在线段CC，上平面D农我于点E,点G在灵 DD上，则(） 第12页供33页 6学科网命组卷网 D A存在G,使得AG/面DCB 面 B若G是DD的中点，则 BG⊥AD C过四点4，C,B,D四点的外接球体积为8、6厅 D.截面四边形 BED F 的周长的最小值为4W3 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A,利用空间向量结合位置关系确定是否存在G可判断正误，对于B,利用空间向量垂直的 坐标表示可判断其正误，对于B,利用补体法可求外接球半径，计算体积后可判断其正误，对于D,利用 侧面展开图可求周长的最小值后可判断其正误， 【详解】对于A,因为ABCD是边长为2的正方形 A4,BB,CC,DD都垂直于底面ABCD 故可建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(2,20),C(0,24),4(2,0,4) i设G(0,0,h)0≤h≤6)，则DC=(0,24),DB=(2,2,0 i.DC=0 设平面D8C的法向量为方=(x,y,z小则元-DB=0, 2y+4z=0 故2x+2y=0,取i=(2,-2,1),而AG=（-2,0,h-4), 第13页/供33页 命学科网命组卷网 若4G面DCB,则-4G=0,故4+h-4=0即h=8,与0≤h≤6牙盾 面 故不存在G,使得4G面DCB,故A错误： 对于B,若G是DD的中点，则G(0,0,3),而B(2,2,2),故BG=(-2,-2,) 而4D=(-2,0-4),故BGAD=4-4=0即BG14D, 故B正确， 24 ⊙ B 对于C,过四点4，C,B,D构造长方体1BCD-4B,CD, A B B 所以四面体4-CBD 的外接球直径为长方体 ABCD-A B,C D2 2的体对角线， 所以2R=V4+4+16=2W6,则R=6 4 所以此四点的外接球的体积为？π×V6=4x6×πxV6=86m故C正确； 对于D, 第14页/供33页 6学科网命组卷网 B 电题点，平面DD4/平面BCBG,平面4DDA平面BED,=DF, 平面 CBCO平面BED=B距 DFIBE BFID E 所以 ,同理可得 所以四边形BED,F为平行四边形，则周长=2(BE+ED) BBCC 将直角梯形 、直角梯形 DCC 展平在同一个平面上，如图所示： C B CD 当B,E,D三点共线时， BE+BD最小日此时最小值为V6+36=25 所以周长的最小值为 4W13 ,故D正确 故选：BCD 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 第15页/共33页 6学科网列组卷网 12.已知 1+a1+x 的展开式中含x项的系数为16，则a= 【答案】2 【解析】 【分析】利用二项式定理及通项公式即可求解. 【详解】由题意可知，(1+x展开式的通项公式为71=C1x=Cx,k=0,1,23,4, 所以由题意可得4+6a=16,解得a=2. 故答案为：2 13.过原点的直线l与圆C:(-3+y广=2交于A、B两点，若三角形ABC的面积为1，则直线'的方程 为 【答案】t② 【解析】 【分析】分析可知AC⊥BC，求出圆心到直线I的距离，对直线I的斜率是否存在进行分类讨论，利用点 到直线的距离公式求出参数值，即可得出直线的方程 【详解】圆C的半径为r=V2,圆心为C(3,0) 则5ac-2AC-Csin∠ACB=×2sin∠ACB=sin∠4CB=1 ACC,风心C值线的宽为24C=xV2 2 若直线1与y轴重合，则圆心C到直线1的距离为3，不合乎题意， 第16页/共33页 6学科网6组卷网 y=kxkx-y=0 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即 3k=1 由恩意可得产1，解得k= 4,放直线，的方程为y=士2 故答案为：y=± 4 14已知”为正整数，有穷数列4，=3(1≤k≤川中所有可能的乘积aa,（1≤1≤j≤川的和记为刀.例 3” 如，当n=3时，I=a2+aa,+aa,+a+a,4,+aG,则数列Tn了的前n项和为一 8(11 【答案】923- 【解析】 最后利用裂项相消求数列{c}的前n项和 即可. 详 解 】 根 据 题 意 有 T=aa+(aaz +aaz)+(aa;+aa;+aas)+...+aa,+aa,+aa,+...+a,an) =32+(3+3）+(34+35+3）+…+(31+3*2+3*3+…+320） 0-3,-3》,3-）++33） 1-3 1-31-3 1-3 =)[（(3-32）+(3-3）+3-3)++(321-3)】 7[(3+35+3+32）-(32+32+3+…+31] 第17页/供33页 命学科网组卷网 13(1-32）32(1-3") 21-32 1-3 3-3+36- 2 8 2 32(3”-1）3*1-1) 16 ,号5g可六动 3 3” 16 令cnTn 16 则c,}的前n项和为S,则有： Sn=C+C2+…+Cn= 引+沿》 81111 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知a,么，c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，且acosC+.V5 sasinC-b-c=0. (1)求A: (2)若边BC上的高为5，且△ABC的周长为6，求“ Asπ 【答案】(1) 3 (2)2 【解析】 【分析】(1)由正弦定理，三角恒等变换得到sm A 6 2,从而求出A= 3: 第18页/供33页 命学科网命组卷网 (2)由三角形面积得到方程，得到bC=2a,根据三角形周长以及余弦定理得到方程，可得答案. 【小问1详解】 :acosC+-V3 asinC-b-c=0,由正弦定理得 sin AcosC+3 sin AsinC-sin B-sin C=0 sin B=sin(4+C)=sin AcosC+cos Asin C .sin AcosC+3 sin AsinC-sin AcosC-cos Asin C-sinC=0 3sin AsinC-cos A4sin C-sin C=0 ..ce(0,)...sinc>0, 又4e@,4-(g) A-=亚A= .66, 3: 【小问2详解】 S=bcsind 1 ,∴bc=2a, Aπ 由(1)知，3， 由余弦定理得c0sA=6+c2-42 b2+c2-a21 2bc,即2bc 2, 即a=b+c2-bc 又a+b+c=6, 第19页/共33页 命学科网命组卷网 ∴.a2=(b+c)-3bc=(6-a)2-6a ∴.a=2 16如图，已知正方形ABCD和等腰梯形MEFC所在的平面互相垂直，BF1C,AB=22 EF=2. (I)求证：AEI/平面BFD: (2)若AF⊥CF,求二面角B-EF-D的正弦值， 【答案】(1)设AC与BD交于点O,连接FO 在正方形ABCD中，AB=2V2,所以AC=4,所以EF=5AC=AO 2 而EF∥AO,所以四边形AEFO为平行四边形，所以AE∥FO, 又因为AEC平面BFD,FOC平面BFD,所以AE∥平面BFD. 45 (2)7 【解析】 【分析】(1)作相关辅助线，证明AE/F0,利用线面平行的判定定理证结论： (2)建立空间直角坐标系，求相关点的坐标，根据垂直条件，利用向量数量积的坐标运算求点F的坐标， 求平面BEF与平面DEF的法向量后可求二面角B-EF-D的余弦值，从而得到它的正弦值 【小问1详解】 第20页/供33页 6学科网 命组卷网 略 【小问2详解】 设EF的中点为M,连接OM,由题知四边形AEFC为等腰梯形， 又O为AC的中点，所以OM⊥AC, 又平面ABCD⊥平面AEFC,平面ABCD∩平面AEFC=AC, OMC平面4EFC.所以O OM⊥ABCD 平面 则以0为坐标原点，0B,0C,0N的方向分别为，2轴的正方向。 建立如图所示的空间直角坐标系，则(0，-2,0)，B(2,00）,C(0,2,0)D(-2,00) 设F(0,1h),h>0,则4F=(0,3h),CF=(0,-l) 由4F1CF,得F-C示=-3+=0，解符h=5h=5含去)· 所以E0,-l,5F(0,1,),BF=(-2,1v).DF=(（2,1,5).EF=(0,2,0), 设平面BEF的法向量为m=(,,马) BF.m=0,∫-2x+y+V3z=0 EFm=0,得2%=0 则 取=2，可得5=V5,y=0」 第21页/供33页 6学科网6组卷网 所以m=(N50,2)为平面5EF的一个法向量， DF.=0 设平面 DEF 的法向最为万=（任，，2》则F元=0 2x2+2+V3z2=0 2y2=0 ，取5，=5，可得为=0,2=2 则i=(（N5,0-2) c0sm,i=m万=3-4.1 因 同阿V7x行7，故inm,万=5 1 45 故二面角B-EF-D的正弦值为7· 1n已通s)=r+-a+y,aeR (1)若曲线f(~)在点(2，f(2》处的切线斜率为4，求a的值， (2)当a>0时，讨论函数()的单调性， )已/（钊的画数在ee上布在琴点，求：当e,9所.f)少-空 2 【答案】(1)a=-2 ②在0号.L+四L平别.在号 上单调递减： 1<<e (3)由2)知：若f'()在区间c)上存在零点，则<3<e,解得3<a<3e. 上单调递减， 第22页/供33页 6学科网列组卷网 则(23月 al a2 36a 令8(a)=aln aa 36-a,ae(B,3e),则8'a)=h号8 33 令0)ga.则o)=}3a<0 a 3 3a <0在a∈(3,3e)时恒成立， 故p(a)在3,3e)上单调递减，则p(a)<p(3)=-1<0,即8(a)<0在a∈(3,3e)时恒成立， 则8(a在（民，3e)止单调道减，则8(o)>g(Be)=-3e 2,故f(x)小>-3e 2 【解析】 【分标】（山）利用导数，可得了(2)-+6-(a+3) 4,求解即可； >1a=10<a<1 a (2)求导，分3,3 3，讨论可得单调性： ae(3,3e), 利用导数可得求得8(a)>8(3e), 进而可得结论， 【小问1详解】 )-ar+r-(a+3g,则r@-+3-a+3) 由题可得了2)-2+6-(a+3)=4 解得a=-2: 【小问2详解】 第23页/共33页 命学科网命组卷网 f)-+3x-(a+3)-6-ox-(x>0) a 当a>0时，令()=0，解得=3>0或x=1, D当号1，a3时.令了>0，粉>号度0<：0，解 071 a 1<x< 3； 故f在0.（后+上单商范.在） 上单调递减： ®号-1，g=3时.则ra)-3- 之0恒成立，故f(x)在(0，+∞)上单调递增： ®0号1,0a9时.令0，有1文0号， 令f'(x)<0,解得3 <x<1 【小问3详解】 略 .x2,y2 18已知鞘圆C:京+厅-1(a>b>0)的离心率为3，且ab=25 (1)求椭圆C的方程： 第24页/共33页 6学科网6组卷网 (2)已知B,A是椭圆C的左、右顶点，不与x轴平行或重合的直线交椭圆C于M,N两点，记直线 BM的斜率为，直线4W的斜率为，且，=2水，证明：直线过定点： (3)如图，点P为椭圆C上不同于A,B的任一点，在抛物线C,:少=2x(p>0)上存在两点R,Q, POAR 使得四边形 为平行四边形，求的最小值： x2 y2 +=1 【答案】(1)43 (2)证明：设直线l的方程为x=y+m(n≠2），M(3,),N(,) x+少=1 任n,两B+F46n+36-4-0 由 △=(6m}-4(32+4)×3(n2-4)>0,即3x2-n2+4>0, 6nt 3(n2-4) 则y+%=3+4:4= 3t2+4· 而201.8(20，线M车5点2. ,点片2 x2-2,由M(x,)在椭圆C上， 1听-4-) 因此所u=,当三片 3（4-)3 x+2x-2x2-4x2-4 第25页/供33页 命学科网命组卷网 由题意 k2=2k= ,4= 3 由M(x,),N(西，乃)在直线1上，得5=+n,名=，+n, yiy2 yy2 x-2x-2(y2+n-2)(y+n-2）tyy2+(n-2)(y+y2)+(n-2)》 3(n2-4) 3t2+4 3(n+2) 3(n2-4)r6n(n-2）t2 4(n-2): 3t2+4 32+4+(n-22 而4a-之.解得0子t时3r-+43护+20 3(n+2)3 则直线1的方程为术=少+ (20 3,即直线1过定点3 (3)4. 【解析】 【分析】()利用椭圆离心率的性质结合b=2√5，求出椭圆中的基本量，进而得到椭圆方程即可 6nt 3(n2-4) (2)设出直线)的方程并联立方程组，利用韦达定理得到少+必= 32+4,5 32+4，再表示 2 n= 出kwM,k,k,先确定k·kMM是定值，再结合题意确定飞·kM是定值，进而建立方程得到3，最后代 回直线的方程得到定点即可. (3)法一先确定·o0为定值，再判断出0·k0为定值，结合斜率的定义可得 第26页/供33页 命学科网丽组卷网 4y6+3x(x-2)=0 再依据点差法得到直线QR的方程，依据题意得到<2p心，最后求解P的取 2(km-p) x1+X2= k2 值范围，法二先设出 的方程，结合韦达定理得到 m ,再结合题意求出 OR X1X2= k2 2 k2 =1,最后结合题意得到 8p2 -2p+30+cos 十P>0,进而求解)的取值范围即可 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为2，且ab=2V3】 e=c_1 所以1ab=2V3 a=2 解得 a2=b2+c2 b=5 c=1 =1 故椭圆的方程为 C: 43 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由4)知(2,0)，设(，)，R(G,)P(s,y) 连接R,交PA于D(x,)】 第27页/供33页 6学科网列组卷网 ·四边形 AOPR 为平行四边形，D为P1,OR的 OR 人的中点且与'轴既不垂直也不平行， D 3 法一：kpk0=当，五=为。为三发 -4)3 4 266-2名+2写-4若-4=4 kpk加=kapkop=-4,“-2=4,即4+3xG-2=02 ∫=2px g-2m听-好=225-5》e=202 x-x2y+y2 yo' .直线QR的方程为 y-%=卫(x-) y-⅓=巴(x-x) 由 yo 得 y2 =2px y2-2yy+2y-2px0=0 由△=46-4(2%-2p)>0得6<2p匹记为@， 0<片-子2-)2m 由①② 2p>2-x）划作的e02a成a. 3 3 2，即P之4.∴P的最小值为4 ∴.2p≥ 第28页/供33页 命学科网命组卷网 法二：设DR:y=+m(k≠0)，将OR与C联立消y得r+2(km-pr+m=0. 2(kam-p） x1+x2= 由韦达定理可得 m2 ,且 x22 △=4(m-p)2-4k2m2>0 -2km+p>0 即 记为①， :X=青-mP人=+m=2 2 k2 k, =5+2 2,%=当 2, :得5=2。-22(k1-P）-2=2yw3 2p k2 k, 2-2) .P2 「2(km-p-2 点 k2 4 3 2p =sin 3k 令 km-p+1=cos ,其中 k2 0≠kπk∈Z 2p=sine 我们把√3k kam-卫+1=cos0 记为②式，把k2 记为③式， 第29页/供33页 命学科网命组卷网 2p 4p2 由②得=5sin0,代入®得m=P-3l+c0s9, 代入①得-2km+p=-2p 8p2 30+cos0+p>0, 解得卫> 3(1+cos0) ,'sin0≠0，.cos0<1, 3(1+cos0)3 3 3 8 4, 4,p的最小值为4 19.空气中的尘埃，天上的云朵飘忽随机不定、这些动态随机现象的研究有着重要的意义·在平面直角坐标 系中，粒子从原点出发，等可能向四个方向移动，即粒子每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，如 在1秒末，粒子会等可能地出现在L,0）,（,0),(0,),(0,-)四点处 （)求粒子在第2秒末移动到点-)的概率， (2)记第”秒末粒子回到原点的概率为P。 (i)已知 左C}=C5求p,P以及P: (i令b,=Pm,记S,为数列伍，}的前n项和若对任意实数M>0,存在n∈N*,使得S,>M,则 6 称粒子是常返的已知√2πn 2n\ n ,证明：该粒子是常返的 【答案】4)p=8 1[(2n)] (2)(i) B3=0’24=9,P2"16（ny 第30页/共33页 命学科网命组卷网 利用2<n<(2 可知： √4πn 2n (2n)！ (nl)2 6n 64 π 令f)=x-h(1+x,x>0.f()=1-1=E>0 1+x1+x 故f()在(0，+o)上单调递增， 则f()>f(o)=0,于是x>血(1+x(x>0) 8-22a2+e+圳 1-1 即[冈为不超过x的最大整数，则对任意常数M>0, 当m2[c]>ew-1,于是5>2a+M 6 综上所述，当”≥[e“]时，S,>M成立，因该粒子是常返的 【解析】 【分析】(1)由古典概率模型概率计算公式即可求解； (2)(①粒子奇数秒不可能回到原点，故乃=0，粒了在第4秒回到原点，分两种情况考虑，再由古典 概率公式求解即可；第2秒末粒子要回到原点，则必定向左移动k步，向右移动k步，向上移动n-k步， 第31页/供33页 命学科网命组卷网 向下移动”一k步，表示出P2:,由组合数公式化简即可得出答案： 利用题目条件可证明A。=4(C》'> >6n,再令f()=x-血(1+x,x>0可证得 S-22>nm+l,进一步可得5，>。n(a+>M,即可得出答案 k=l 6 【小问1详解】 粒子在第2秒末，每一步分别是四个不同方向，共有16种方法， 粒子在第2秒可能运动到点亿-)有2种方法 分别为先向右移动一个单位，再向下移动一个单位，或先向下移动一个单位，再向右移动一个单位， 21 故P=168, 【小问2详解】 (①粒子奇数秒不可能回到原点，故P=0, 粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑： (@)每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右，共有A种情形： ()每一步分别是两个相反方向的排列，例如去左右右、上上下下，共有2C种情形： 于是P, +2C-9 4464, 第2秒末粒子要回到原点，则必定向左移动k步，向右移动k步，向上移动n-k步， 向下移动，步，故A,一CCC益】员 (2n)月 42m n-k k=0 4(k9[(n-k)] 。1(2n)1g(n)} 2(a-本c2cc k=0 第32页/共33页 6学科网6组卷网 =女c2(c=女c -ee洁哥 (i)略 第33页/供33页 高三年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 3. “且复数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布较集中 B. 在做回归分析时，用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C. 若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D. 一组数据6，7，7，8，10，12，14，17，19，21的第80百分位数为17 5. 设等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 7. 在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，过直线的平面截该正方体所得截面，则当平面与平面的所成角为最小时，截面的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（其中，）的最大值为，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象向左平移单位后关于原点对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在区间上单调递增 10. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最小值为8 D. 若恒成立，则的最小值为 11. 如图，是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，点在线段上，则（ ） A. 存在，使得面 B. 若是的中点，则 C. 过四点，，B，D四点的外接球体积为 D. 截面四边形的周长的最小值为 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中含项的系数为16，则_____. 13. 过原点的直线与圆交于、两点，若三角形的面积为，则直线的方程为_____. 14. 已知为正整数，有穷数列中所有可能的乘积的和记为．例如，当时，，则数列的前项和为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且. （1）求； （2）若边上的高为，且的周长为6，求. 16. 如图，已知正方形和等腰梯形所在的平面互相垂直，，，. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的正弦值. 17. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线斜率为4，求的值； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）已知的导函数在上存在零点，求证：当时，. 18. 已知椭圆的离心率为，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知B，A是椭圆的左、右顶点，不与轴平行或重合的直线交椭圆于M，N两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且，证明：直线过定点； （3）如图，点为椭圆上不同于A，B的任一点，在抛物线上存在两点R，Q，使得四边形为平行四边形，求的最小值. 19. 空气中的尘埃，天上的云朵飘忽随机不定、这些动态随机现象的研究有着重要的意义.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，等可能向四个方向移动，即粒子每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处. （1）求粒子在第2秒末移动到点的概率； （2）记第秒末粒子回到原点的概率为. （i）已知 求 以及； （ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $