精品解析：江苏省锡山高级中学2024-2025学年高二下学期5月阶段检测数学试题

省锡中高二数学5月阶段检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知U＝R，A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x||x－3|＞1}，则A∪＝（ ） A. {x|1≤x≤4} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x＜2} D. {x|2＜x≤3} 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合A，B，再利用集合的补集和并集运算求解. 【详解】解：因为，或， 所以，， 故选：A． 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得，根据与的关系判断p、q的关系. 【详解】因为，所以，能推出，但不能推出，所以是的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知曲线的一条切线为y＝x＋b，则b＝（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求导后，令导数为1从而可求得切点，再把切点坐标代入直线方程即可求解. 【详解】曲线，. 令，解得，则. 所以直线y＝x＋b与曲线相切于点， 所以点在直线y＝x＋b上，则，解得. 故选：C. 4. 为研究变量的相关关系，收集得到下列五个样本点： 若由最小二乘法求得关于的回归直线方程为，则据此计算残差为的样本点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由表格数据计算可得样本中心点，由此可计算求得，从而得到回归直线方程；将选项中的点代入回归直线，满足回归直线方程的即为残差为的样本点. 【详解】由样本数据可得：，， ，则回归直线方程为：； 对于A，，则残差不为，A错误； 对于B，，残差为，B正确； 对于C，，则残差不为，C错误； 对于D，，则残差不为，D错误. 故选：B. 5. 若函数在上单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解. 【详解】令， 则或或或 解得或， 即实数m得取值范围为. 故选：C． 6. 《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 36种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】将香菌、新笋、豆腐干看作一个元素，利用捆绑法结合倍缩法求解. 【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素， 此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅， 定序问题用倍缩法，共有种不同的排列方式. 故选：B. 7. 已知函数同时满足下列条件：①定义域为；②；③为偶函数；④，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得函数为周期函数，周期为，再结合，求得，，再根据周期性计算即可. 【详解】解：解法一：由①知，的定义域为， 由③为偶函数，则，即 由④知函数满足， 所以，，即 所以，即函数为周期函数，周期为， 因为， 所以，令得，令得，即， 所以. 故选：A 解法二：由③知，图象关于对称，由④知，关于对称， 故选取三角函数，由于①定义域为；②， 故令，满足①②③④， 所以， 故选：A 8. 若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 以上均不正确 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得对任意恒成立，令，利用导数说明函数的单调性，即可得到对任意恒成立，从而得到对任意恒成立，两边取对数再参变分离即可得到，再利用导数说明函数的单调性与最值，即可得解； 【详解】解：因为对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 依题意对任意恒成立， 即对任意恒成立， 两边取对数可得，所以， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以，所以，即； 故选：C 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强 B. 若，若函数为偶函数，则 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验（），可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05 D. 回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好； 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据相关系数的意义即可判断；对于B，根据正态分布曲线的对称性特征即可判断；对于C，根据独立性检验的基本思想方法即可判断；对于D，利用决定系数的意义即可说明. 【详解】对于A，对于线性回归方程中的线性相关系数的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强，直接根据的大小无法比较线性相关性的强弱，故A错误； 对于B，由函数为偶函数，可得， 则和关于对称，故得，故B正确； 对于C，因，故可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05，即C正确； 对于D，因决定系数，当残差平方和越小，则越大，模型的拟合效果越好，故D正确. 故选：BCD. 10. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A、B、D，消元、结合二次函数的性质判断C. 【详解】因为，且， 对于A：，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：， 当且仅当，即、时取等号，故B正确； 对于C：，当且仅当、时取等号，故C不正确； 对于D：， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C. 若有两个零点，则 D. 若，且，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项中，令，利用导数可求得单调性，根据复合函数单调性的基本原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得在上单调递增，由此可将恒成立的不等式化为，令，利用导数可求得，由可知B正确；C选项中，利用导数可求得的单调性，由此确定，若，可等价转化为，令，利用导数可求得单调性，从而得到，知，可得C错误；D选项中，采用同构法将已知等式化为，从而可确定，结合单调性得到，由此化简得到，令，利用导数可求得最大值，知D正确. 【详解】对于A，当时，，令，则，， ，当时，恒成立，在上单调递增； 在上单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确； 对于B，当时，，又为正实数，， ，当时，恒成立，在上单调递增， 则由得：，即， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，则正实数的最小值为，B正确； 对于C，，当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增；，则； 不妨设，则必有， 若，则，等价于， 又，则等价于； 令，则， ，，，，即， 在上单调递增，，即， ，可知不成立，C错误； 对于D，由，得：，即， 由C知：在上单调递减，在上单调递增； ，，则，， ，即，； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， 即的最大值为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏移问题；处理极值点偏移中的类似于（）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 端午节思原煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽．思原随机取出两个，事件A“取到的两个为同一种馅”，事件B“取到的两个都是艾香粽”，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出，利用条件概率的公式求解. 【详解】思原煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽，思原随机取出两个，共有种取法， 又事件“取到的两个为同一种馅”，事件“取到的两个都是艾香粽”， ， 所以. 故答案为：. 13. 定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数是奇函数求出的对称中心为，求出该点关于y轴对称的点即为图象的对称中心. 【详解】因为函数是奇函数，所以， 即，所以的对称中心为， 因为函数和的图象关于轴对称， 所以函数图象的对称中心为. 故答案为： 14. 已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先判断为偶函数，转化为求在上的最大值，可判断在上的最大值为或，得，根据绝对值不等式的性质，即可求出结果. 【详解】根据题意，，是偶函数， 当时，， 由二次函数的性质，在上的最大值为或， 由偶函数对称性，在上的最大值为或， ，则， 即. ，即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数的定义域为，集合 （1）求集合； （2）若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由定义域的定义即可求解; （2）由是的必要不充分条件可判断集合是集合的真子集,分类讨论的情况即可求解. 【小问1详解】 要使得函数有意义，只需要 解得，所以集合 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以， 当时，，解得： 当时，解得：， 综上可知，实数的取值范围是 16. 已知函数是上的偶函数 （1）求实数的值，判断函数在,上的单调性； （2）求函数在,上的最大值和最小值． 【答案】（1），单调递减 （2）最小值，最大值 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义，对照等式可求得，再根据函数单调性的定义可判断函数在,上的单调性. （2）根据函数的奇偶性和单调性，判断在,上的单调性，利用单调性可求得函数最值. 【小问1详解】 若函数是上的偶函数，则， 即，解得， 所以， 函数在上单调递减． 【小问2详解】 由（1）知函数在上单调递减， 又函数是上的偶函数， 所以函数在,上为增函数， 所以函数在,上为增函数，在,上为减函数． 又 所以 17. 已知二项式   的展开式中 ， .给出下列条件： ①第二项与第三项的二项式系数之比是1：4；②各项系数之和为512；③第7项为常数项. 在上面三个条件中选择两个合适的条件分别补充在上面的横线上，并完成下列问题. （1）求实数和的值； （2）求的展开式中的常数项. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先看条件①②③分别可以得到什么结果，然后分别选取求解即可; （2）根据第一小问得出的未知数的值，得到第二问的二项式，然后将前面括号打开，分别求常数项计算即可. 【小问1详解】 由①可知，解得；由②得令得； 由③得，要使该项为常数，则； 所以条件①与③得到的是同一结果，所以只有选择条件①与②和条件②与③； 该两种组合都会得到， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以有 所以常数项为 令，解得； 所以常数项为. 18. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时取得最大利润，最大利润为480元. 【解析】 【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式； （2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 由已知 ； 【小问2详解】 由（1）得， 即由二次函数的单调性可知，当时，， 由基本不等式可知，当时， ， 当且仅当，即时取得最大值， 综上，当时取得最大利润，最大利润为480元. 19. 设函数，． （1）当时，比较和的大小关系； （2）证明：的图象与的图象关于直线对称； （3）在平面直角坐标系中，若以为圆心的圆交的图象于A，B两点，证明：． 【答案】（1） （2）证明：设的图象上一点， 则其关于对称的点坐标为， 而，故在的图象上， 故与的图象关于直线对称． （3）证明：不妨设，，其中， 作A关于x轴的对称点，再作关于的对称点， 由对称性，A，，都在圆M上． 设与圆M的交点为P，设x轴与圆M在M右侧的交点为Q，， 则，则，， 由对称，，且， 又，故， 又在图象上，B在图象上，故B在上方，因此． 【解析】 【分析】（1）作差法比较大小，设函数，结合导数判断函数单调性，从而比较大小． （2）在函数取点，结合关于直线对称找到对称点，代入函数成立，则得证对称． （3）根据题意设，，其中，通过对称得到对称点，，且在圆上，根据在圆中角的关系推得． 【小问1详解】 设函数，则， ，的符号为符号， ，， 故在上单调递增，， 故，在上单调递增，时，， 故时． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 省锡中高二数学5月阶段检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知U＝R，A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x||x－3|＞1}，则A∪＝（ ） A. {x|1≤x≤4} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x＜2} D. {x|2＜x≤3} 2. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知曲线的一条切线为y＝x＋b，则b＝（ ） A. B. C. 0 D. 1 4. 为研究变量的相关关系，收集得到下列五个样本点： 若由最小二乘法求得关于的回归直线方程为，则据此计算残差为的样本点是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 36种 D. 72种 7. 已知函数同时满足下列条件：①定义域为；②；③为偶函数；④，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 以上均不正确 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强 B. 若，若函数为偶函数，则 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验（），可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05 D. 回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好； 10. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C. 若有两个零点，则 D. 若，且，则的最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 端午节思原煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽．思原随机取出两个，事件A“取到的两个为同一种馅”，事件B“取到的两个都是艾香粽”，则____________． 13. 定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为_______． 14. 已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数的定义域为，集合 （1）求集合； （2）若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数是上的偶函数 （1）求实数的值，判断函数在,上的单调性； （2）求函数在,上的最大值和最小值． 17. 已知二项式   的展开式中 ， .给出下列条件： ①第二项与第三项的二项式系数之比是1：4；②各项系数之和为512；③第7项为常数项. 在上面三个条件中选择两个合适的条件分别补充在上面的横线上，并完成下列问题. （1）求实数和的值； （2）求的展开式中的常数项. 18. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 19. 设函数，． （1）当时，比较和的大小关系； （2）证明：的图象与的图象关于直线对称； （3）在平面直角坐标系中，若以为圆心的圆交的图象于A，B两点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $