2025年中考数学复习专题训练 等腰三角形存在性问题探究

等腰三角形存在性问题探究 一、解答题：本题共13小题，共100分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 1.本小题6分 如图，直线与x轴，y轴分别交于B，A两点，动点P在线段AB上移动，以点P为顶点作交x轴于点     求点A和点B的坐标． 比较与的大小，说明理由． 是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2.本小题6分 如图，在中，，点M在AC上，，，过点与BC在AC同侧作射线，若动点P从点A出发，沿射线AN匀速运动，运动速度为秒，设点P的运动时间为t秒. 当______秒时，≌； 在的条件下，求证：； 连接BP，是否存在某个t的值，使得是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 3.本小题8分 如图，在矩形ABCD中，，，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为过点P作，交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上.设点P运动的时间为 如下图，连接DQ，当DQ平分时，t的值为          ； 如下图，连接CM，若是以CQ为底的等腰三角形，求t的值. 4.本小题8分 如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为，点C在x轴正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点 求直线AC的函数解析式及MH的长； 连接BM，动点P从点A出发，沿折线方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； 在的情况下，当点P在线段AB上运动时，是否存在以BM为腰的等腰三角形？如存在，直接写出t的值；如不存在，说明理由． 5.本小题8分 如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度，得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、 求的度数； 当时，求点P的坐标； 在的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由． 6.本小题8分 如图，已知、是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点. 求此反比例函数和一次函数的解析式； 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围； 求的面积； 在x轴上是否存在一点P，使是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 7.本小题8分 如图，已知抛物线是常数的顶点为P，直线 求证：点P在直线l上； 若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值. 8.本小题8分 如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，和，连接BC，点为抛物线上一动点，过点P作轴交直线BC于点M，交x轴于点 直接写出抛物线和直线BC的解析式； 如图2，连接OM，当为等腰三角形时，求m的值； 9.本小题8分 如图，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为若点P是该抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，过点P作轴于点E，交线段BC于点当为等腰三角形时，求t的值. 10.本小题8分 如图，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于另一点D，连接 求点A，B，C的坐标． 过点A作AE与抛物线交于点E，且AB平分，在x轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 11.本小题8分 如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点 求抛物线的函数解析式； 连接AC，点D是线段AC上一动点不与A、C两点重合，过点D作轴交抛物线于点 ①当线段DE的长度最大时，求此时D点的坐标； ②在①的条件下，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点F，使得以点D、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由． 12.本小题8分 如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点 求B，C两点的坐标. 求该二次函数的解析式. 若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由. 13.本小题8分 如图，已知抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C，对称轴为直线 求抛物线的解析式． 如图①，若点P是线段BC上的一个动点不与点B，C重合，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． 如图②，在的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 1.【答案】【小题1】 解：直线与x轴，y轴分别交于B，A两点， 令，则， 令，则，解得 【小题2】 理由如下： 如图，过点P作交OA于点E， ，， ， ， 【小题3】 可以是等腰三角形．理由如下： ①若，则， 点P与点A重合． 点P坐标为 ②若，则， 可设，代入，得，点P坐标为 ③若，， 而， 又， ≌ 由勾股定理求得 ， 点P坐标为 点P坐标为或或时，是等腰三角形．   【解析】 略  略  略 2.【答案】8  【解析】解：，， 当时，≌； 即； 故答案为8； 证明：≌， ， 而， ， ， ； 解：存在． 在中，，，， ， 作于N，则四边形AHBC为矩形， ，， 当时，是等腰三角形，所以； 当时，是等腰三角形，则，所以，所以； 当时，是等腰三角形，则，所以， 在中，， ，解得， 综上所述，当t为10s或12s或时，使得是等腰三角形． 由于，，根据“SAS”，当时可判断≌；易得； 根据全等的性质得，由于，所以，则根据三角形内角和得，于是根据垂直的定义即可得到结论； 在中，利用勾股定理计算出，作于N，则四边形AHBC为矩形，则，，然后分类讨论：当时，是等腰三角形，易得；当时，是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得，则，即可得到；当时，是等腰三角形，则，所以，在中利用勾股定理得到，解得 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰三角形． 3.【答案】【小题1】 1 【小题2】 如下图，作于，，由可知，，，，，是以CQ为底的等腰三角形.   【解析】  四边形ABCD是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， 平分，，， ， ，    略 4.【答案】解：点A的坐标为， ，即C点的坐标为， 设直线AC的解析式为，则， 解得， 直线AC的解析式为：， 令得：， 即 ， ； 设点M到BC的距离为h， 由， 即， ， ①当P在直线AB上运动时的面积为S与P的运动时间为t秒关系为： ，即； ②当P运动到直线BC上时的面积为S与P的运动时间为t秒关系为： ，即； 或  【解析】【分析】 本题主要考查坐标与图形性质，菱形的性质，等腰三角形的性质和三角形的面积公式及待定系数法求解析式，利用分类讨论的思想，数形结合是解答此题的关键. 由A点的坐标，利用勾股定理和菱形的性质易得点C的坐标，由A，C的坐标可得直线AC的解析式；令，解得y，得OM的长，易得MH； 设点M到BC的距离为h，由的面积易得h，利用分类讨论的思想，三角形的面积公式①当P在直线AB上运动；②当P运动到直线BC上时分别得的面积； 分类讨论：①当时，，解得t；②当时，利用勾股定理可得BM的长，易得 【解答】 解：见答案； 存在①当时， 点A的坐标为，，，， ，即， ； ②当时，即， 解得： 综上所述，当或时，为以BM为腰的等腰三角形． 5.【答案】解：在和中，， ， 同理，可证， ， ， ， ，，， 又， ， 在中，，，， ， 在中，， ， 点P的坐标为 存在两个M点，如图所示． ①延长GE交y轴于点，，， 在和中，， ≌， ， 为等腰三角形． ， 点的坐标为； ②延长GP与AB的延长线交于点，作于点 ， 为等边三角形， 垂直平分线 ，， ， 点的坐标为 综上所述：点M的坐标为或  【解析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、、解含30度角的直角三角形、等腰三角形的判定以及等边三角形判定与性质． 利用全等三角形的判定定理HL可证出、，根据全等三角形的性质可得出、，由，可求出； 由可得出，结合等角的余角相等可得出，由，可得出、，再通过解含30度角的直角三角形即可求出点P的坐标； 延长GE交y轴于点及延长GP与AB的延长线交于点，通过全等三角形的性质及等边三角形的性质可得出点及点为所求的点，再结合点A、点G的坐标即可求出点M的坐标． 6.【答案】解：将代入反比例函数得，， 则反比例函数解析式为； 将代入反比例函数解析式得，， 点坐标为 将A、B坐标分别代入解析式得， ， 解得， 一次函数解析式为； 由图可知，在A点左侧时，或在B点左侧y轴右侧时，一次函数的值大于反比例函数的值， 此时或， 一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为或， 设一次函数的图象与y轴交于D点， 把代入得， 点坐标为， ， ； 存在点P，理由如下， ，，且是等腰三角形， ， 当时，则P点坐标为或， 当时，则P点坐标为， 当时，则P点坐标为， 点坐标为，，或  【解析】【分析】 本题考查待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，以及分类讨论思想. 将代入反比例函数，求出m的值，从而得到反比例函数解析式，将代入反比例函数解析式，求出n的值，然后将A、B两点坐标代入即可求出一次函数解析式． 由图象可直接观察出一次函数的值大于反比比例函数的值时x的取值范围． 设一次函数的图象与y轴交于D点，由直线的解析式求得D的坐标，然后根据即可求得； 分类讨论求出不同情况使是等腰三角形时点P的坐标即可． 7.【答案】【小题1】 【解答】，点P的坐标为当时，，点P在直线l上.  【小题2】 解方程组得则，  当时，，解得  当时，，解得  当时，，解得  综上所述，m的值为0，，   【解析】 略  略 8.【答案】【小题1】 解：抛物线过点，，抛物线的表达式为， 将点代入上式，得， 抛物线的表达式为，即设直线BC的表达式为， 将点，代入上式，得，解得直线BC的表达式为 【小题2】 解：点M在直线BC上，且，点M的坐标为 ，，当为等腰三角形时， ①若，则，即，解得 ②若，则，即，解得或舍去 ③若，则，即，解得舍去或综上，或或   【解析】 略  略 9.【答案】【解答】分三种情况讨论，轴于点E，  ①当时，，的纵坐标为舍去，  ②当时，，点P与点D重合，不合题意.  ③当时，作于点H，设，，，舍去，，综上所述，，  【解析】略 10.【答案】【小题1】 对于，令，得，解得，令，得，， 【小题2】 存在．如图，分别过点D，E作轴，轴，垂足分别为H，轴，易得点C，D关于抛物线的对称轴直线对称．易得点D的坐标为，，平分，易得设，则易得，，解得，不合题意，舍去，易得①当时，，点M的坐标为或②当时，易得F为AM的中点．点M的坐标为③当时，易知点M与点F重合，点M的坐标为综上所述，点M的坐标为或或或   【解析】 见答案  见答案 11.【答案】解：将、代入，得，解得， 抛物线的函数解析式为 ①令，则，， 设直线AC的解析式为， 将代入，得，解得， 线段AC的解析式为， 设、， 则 ， 当时，DE最大，此时 ． ②存在． ， 抛物线的对称轴为直线 ，， 设点 ． 当时，，此时点F的坐标为 ． 当，即时， ，整理得， 解得，此时点F的坐标为或 ． 当，即时， ，整理得， 解得，此时点F的坐标为或； 综上，点F的坐标为或或或或   【解析】本题考查了二次函数的综合问题，考查了二次函数的图象与性质、等腰三角形的性质、用待定系数法求函数解析式，解最后一小题时要注意分类讨论，求出所有符合条件的点P的坐标． 利用待定系数法求解即可； ①先求得线段AC的解析式，设、，求得，利用二次函数的性质求解即可； ②求得抛物线的对称轴，，以及DE的长，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质列一元二次方程求解即可． 12.【答案】解：对直线，当时，，时，， ， 设二次函数为， 二次函数图象经过，， ， 把点代入得： ， 解得：， 二次函数图象经过，， 对称轴为， ， ， ， ①如图1，当时， ， ，， ②如图2，当时，过点C作于点H， ，， ， ， ， ， ， ， 综上所述：存在，，，使是以CD为腰的等腰三角形．  【解析】令直线的，，求出对应的y和x的值，得到点C、B的坐标； 用待定系数法设二次函数解析式，代入点A、B、C的坐标求出解析式； 利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点P的坐标． 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，本题求二次函数的解析式可以用一般式或者交点式结合待定系数法求解，求点P的坐标的时候要学会用“两圆一中垂”找到P点，注意这里只要用“两圆”即可． 13.【答案】【小题1】 抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C，对称轴为直线，，设抛物线，把代入，得，解得，抛物线的解析式为 【小题2】 四边形OCPQ是平行四边形．理由如下：，，直线BC的解析式为设，则，，当时，线段PQ长度最大为4，此时又，四边形OCPQ是平行四边形． 【小题3】 如图，过点Q作轴于点M，过点Q作轴，过点E作轴，交QN于点N，由得是OC的中点，轴．又，，，直线AQ与直线QE关于直线QN对称，易得直线QE的解析式为，由解得或舍去，设，则，，①当时，，解得②当时，，解得或③当时，，无解．综上所述，点F的坐标为或或   【解析】 见答案  见答案  见答案 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$