精品解析： 甘肃省平凉市第一中学2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题

平凉一中2027届高一第二学期期中考试 数学 一、单选题（每个5分，共40分） 1. 下列命题正确的是（ ） A. 平面内所有的单位向量都相等 B. 模为0的向量与任意非零向量共线 C. 平行向量不一定是共线向量 D. 若满足，且同向，则 2. =（ ） A. B. C. D. 3. 中，，且，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知两个平面，两条直线，则下列命题正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若是异面直线，，，，，则 5. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最大值为2 B. 函数的单调递增区间是 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 直线与函数的图象所有公共点的横坐标之和为 6. 如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为8cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍（模具不发生变化），若用直径为14cm的圆柱形容量器取液态原料（不考虑损耗），则圆柱中需要注入液态原料的高度为（ ）（单位：cm） A. B. C. 16 D. 32 7. 在中，（分别为角的对边），则的形状为（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 8. 在四面体中，，，平面，四面体的体积为.若四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（ ）. A. B. C. D. 二、多选题（每个6分，共18分） 9. 在中，为边的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 若关于方程有两个不等复数根和，其中（i是虚数单位），则下面四个选项正确的有（ ） A B. C. D. 11. 已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题中正确的是（ ） A. 若,则是等边三角形 B. 若,则是等腰三角形 C. 若,则是等腰直角三角形 D. 若,则是锐角三角形 三、填空题（每个5分，共15分） 12. 向量在向量上投影向量__________. 13. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为、、，则它的外接球的表面积为_________. 14. 如图，已知是半径为的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为_____________. 四、解答题 15. 已知． （1）求； （2）当为何值时，与垂直? 16. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． （1）求该蒙古包的侧面积． （2）求该蒙古包的体积． 17 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值. 18. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC中点． (1)求证：AE⊥平面PCD； (2)求PB和平面PAD所成的角的大小； (3)求二面角A－PD－C的正弦值． 19. 在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点． （1）若，求； （2）若平分，求AD的取值范围； （3）若，令，试求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平凉一中2027届高一第二学期期中考试 数学 一、单选题（每个5分，共40分） 1. 下列命题正确的是（ ） A. 平面内所有的单位向量都相等 B. 模为0的向量与任意非零向量共线 C. 平行向量不一定是共线向量 D. 若满足，且同向，则 【答案】B 【解析】 【分析】结合单位向量、零向量、平行向量的意义逐项判断. 【详解】对于A，单位向量的模为1，方向不一定相同，A错误； 对于B，模为0的向量与任意非零向量共线，B正确； 对于C，平行向量一定是共线向量，C错误； 对于D，向量的模能比较大小，而向量不能比较大小，D错误. 故选：B 2. =（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则计算即可. 【详解】 . 故选：B 3. 中，，且，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦定理求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】因为，由余弦定理得，所以， 又因为，且，可得，解得， 所以的面积为. 故选：A. 4. 已知两个平面，两条直线，则下列命题正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若是异面直线，，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，与相交、平行或；对于B，与相交或平行；对于C，与相交或平行；对于D，由面面平行判定定理得． 【详解】两个平面，两条直线， 对于A，若，，则与相交、平行或，故A错误； 对于B，若，，，则与相交或平行，故B错误； 对于C，若，，，，则与相交或平行，故C错误； 对于D，过作平面与平面交于，如图， ∵，∴，又，，∴， ∵是异面直线，，∴与相交， 又∵，，∴，故D正确． 故选：D． 5. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最大值为2 B. 函数的单调递增区间是 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 直线与函数的图象所有公共点的横坐标之和为 【答案】D 【解析】 【分析】应用三角恒等变换化简，结合正弦型三角函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】， 由，则， 当，即时，取最大值3，A错； 由正弦函数的单调性，知和， 即和时，单调递增，B错； ，但不关于对称，C错； 令，则，又， 所以或或，即或或， 故所有公共点的横坐标之和为，D对. 故选：D 6. 如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为8cm，下底部直径为12cm，上面开口圆的直径为20cm，现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的2倍（模具不发生变化），若用直径为14cm的圆柱形容量器取液态原料（不考虑损耗），则圆柱中需要注入液态原料的高度为（ ）（单位：cm） A. B. C. 16 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式可得蛋糕体积，然后由圆柱体积公式可得. 【详解】圆台状蛋糕膨胀成型后的体积为， 圆柱的体积为， 故圆柱制作液态蛋糕原料高度约为. 故选：A. 7. 在中，（分别为角的对边），则的形状为（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角转边即可得出结果. 【详解】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以， 故选：B. 8. 在四面体中，，，平面，四面体的体积为.若四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由题中条件，求出，，设的外接圆半径为，记外接圆圆心为，连接，由正弦定理，求出，设外接球的半径为，连接，得到，延长到，使得，连接，连接，， 根据三角形全等，得到，进而可求出结果. 【详解】因为，， 所以，则， 则， 因为平面，四面体的体积为， 所以，则； 设的外接圆半径为，记外接圆圆心为，连接， 由正弦定理可得， ，则 设外接球的半径为，连接， 根据球的性质可得，平面， 又平面，所以， 延长到，使得，连接， 则四边形为矩形；所以 连接，，则， 所以，所以， 因此， 因此球的表面积是. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求几何体外接球的表面积，熟记几何体结构特征，以及球的表面积公式即可，属于常考题型. 二、多选题（每个6分，共18分） 9. 在中，为边的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：BCD. 10. 若关于的方程有两个不等复数根和，其中（i是虚数单位），则下面四个选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据韦达定理可得，，即可结合选项逐一求解. 【详解】由题可知，，所以，，故A正确；，均为虚数，不能比较大小，故B错误；，故C正确；，故D正确. 故选：ACD 11. 已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列命题中正确的是（ ） A. 若,则是等边三角形 B. 若,则是等腰三角形 C. 若,则是等腰直角三角形 D. 若,则是锐角三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦定理,余弦定理逐个进行边角互化即可. 【详解】对于A,由正弦定理得,所以,即,所以是等边三角形,故A正确； 对于B由正弦定理得,又, 所以,所以或者,则或者, 则是等腰三角形或者直角三角形,故B错误； 对于C,由正弦定理得,当且仅当，即时等号成立, 所以,又,所以,即, 此时,是等腰直角三角形,故C正确； 对于D,因为, 所以或者,即A或者B为钝角,所以是钝角三角形,故D错误． 故选:AC． 三、填空题（每个5分，共15分） 12. 向量在向量上的投影向量__________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用投影向量的定义进行求解. 【详解】因为，， 所以向量在向量上的投影向量的模长为， 所以投影向量或. 故答案为：或. 13. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为、、，则它的外接球的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积． 【详解】因为一个长方体相邻的三个面的面积分别是、、， 设长方体的一个顶点上的三条棱长分别是， 则，解得， 所以长方体的一个顶点上的三条棱长分别是1、、，且它的8个顶点都在同一个球面上， 所以长方体的对角线就是其外接球的直径， 因为长方体的体对角线的长是：=3 所以外接球的半径是， 所以外接球的表面积， 故答案为： 14. 如图，已知是半径为的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】设线段长，写出矩形的面积，由三角函数得到，然后写出的面积，从而表示出该风景区面积的表达式，由换元法将表达式化简为二次函数，由二次函数的对称轴求出最大值. 【详解】设，则，， 则， 则， 设该风景区面积为，则， 令，则， 即 函数对称轴， 即当时，面积取最大值，此时. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知． （1）求； （2）当为何值时，与垂直? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再由及数量积的运算律计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以，则， 所以； 【小问2详解】 当与垂直时， 则有， 解得． 16. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． （1）求该蒙古包的侧面积． （2）求该蒙古包的体积． 【答案】（1）平方米 （2）立方米 【解析】 【分析】（1）先求出圆锥和圆柱的侧面积，再求和即可； （2）先求出圆锥和圆柱的体积，再求和即可. 【小问1详解】 依题意得米，米，米， 所以米， 所以圆锥的侧面积为平方米， 圆柱的侧面积为平方米， 所以该蒙古包的侧面积为平方米. 【小问2详解】 圆锥的体积为立方米， 圆柱的体积为立方米， 所以该蒙古包的体积为立方米. 17. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值. 【答案】（1） （2）时，最大值为4；时，的最小值为 【解析】 【分析】（1）由已知可得，则，从而可求出x的值； （2）根据题意可得，然后利用正弦函数的性质可求得结果. 【小问1详解】 因为，，， 所以． 若，则，与矛盾， 故，于是．又， 所以． 【小问2详解】 ． 因为，所以，从而． 所以， 于是，当，即时，取到最大值； 当，即时，取到最小值． 18. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． (1)求证：AE⊥平面PCD； (2)求PB和平面PAD所成的角的大小； (3)求二面角A－PD－C的正弦值． 【答案】（1）见证明；（2）45°（3） 【解析】 【分析】(1)由线面垂直的性质可得，结合，可得平面，由等腰三角形的性质可得，从而可得结果；(2) 先证明平面，可得为和平面所成的角，判断是等腰直角三角形，从而可得结果；（3）过点作，垂足为，连接，由(1)知，平面，则在平面内的射影是，则可证得，则是二面角的平面角，设，可求得，由直角三角形的性质可得结果. 【详解】(1)因为PA⊥底面ABCD CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA. 因为CD⊥AC，PA∩AC＝A， 所以CD⊥平面PAC. 又AE⊂平面PAC，所以AE⊥CD. 由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA 因为E是PC的中点，所以AE⊥PC. 又PC∩CD＝C， 所以AE⊥平面PCD. (2)因为PA⊥底面ABCD， AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB. 又AB⊥AD，PA∩AD＝A， 所以AB⊥平面PAD， 故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角． 在Rt△PAB中，AB＝PA， 故∠APB＝45°. 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°. (3)过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示． 由(1)知，AE⊥平面PCD，则AM在平面PCD内的射影是EM，则可证得AM⊥PD. 因此∠AME是二面角A－PD－C的平面角．由已知可得∠CAD＝30°. 设AC＝a， 可得PA＝a，AD＝a，PD＝a，AE＝a. 在Rt△ADP中， 因为AM⊥PD， 所以AM·PD＝PA·AD， 则AM＝＝a. 在Rt△AEM中， sin∠AME＝＝. 所以二面角A－PD－C的正弦值为. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理以及线面角、二面角的求法，属于难题.求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角. 19. 在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点． （1）若，求； （2）若平分，求AD的取值范围； （3）若，令，试求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理将角化边，即可得到，结合得到、，最后由余弦定理计算可得； （2）由等面积法得到，再由余弦定理得到，再由基本不等式求出bc的范围，最后利用换元法及函数的性质计算可得； （3）利用余弦定理和正弦定理得，再将其平方转化为关于的函数，再配凑即可求出最值． 【小问1详解】 因为， 由余弦定理可得，整理得， 又，所以，则， 所以，所以， 由余弦定理， 又，所以； 【小问2详解】 因为，即， 所以， 由余弦定理， 所以， 所以， 因为，且，所以，当且仅当时取等号，则 所以，令，则， 所以， 因为在上单调递增， 当时，当时， 所以，即AD的取值范围为． 【小问3详解】 由余弦定理，， 所以， 所以 ， ， 所以．当且仅当， 即时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$