2025年四川省达州市渠县东安雄才学校中考数学三模试卷

2025年四川省达州市渠县东安雄才学校中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示的是一个正方体的展开图，将该展开图折叠成正方体，则与汉字“青”相对的是(    ) A. 来 B. 奋 C. 斗 D. 用 2.2025年第一季度，比亚迪的滚装船已成功运载超25000辆新能源汽车，跨越重洋，将绿色出行的理念传递至世界各地.数据25000用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.某校足球社团共有30名成员，他们的年龄在12岁至16岁之间，在统计全体社团成员的年龄时，14岁和15岁的人数尚未统计完全，并制作了如下的表格，根据表格，关于全体社团成员年龄的统计量能确定的是(    ) 年龄单位：岁 12 13 14 15 16 人数单位：名 7 11 2 A. 平均数和中位数 B. 平均数和方差 C. 众数和中位数 D. 众数和方差 5.不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，将矩形纸片ABCD沿AC剪开，再把沿着AD方向平移，得到，，若重叠部分为菱形，则菱形的边长是(    ) A. B. C. D. 7.《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品价值y元，则根据题意可列方程组为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在中，，于点C，点A在反比例函数的图象上，若，，则k的值为(    ) A. 12 B. 8 C. 6 D. 3 9.《庄子天下》云：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”.若设捶长为1，天数为n，则(    ) A. B. C. D. 10.如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与y轴的交点B在和之间不含端点则下列结论：①当时，；②有两个实数根；③当的面积为时，；④当为直角三角形时，在内存在唯一一点P，使得的值最小，最小值的平方为，其中正确的结论是(    ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.因式分解______. 12.若关于x的分式方程无解，则a的值为______. 13.如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，设的半径为r，若，，则的度数是______. 14.如图，在平面直角坐标系中，点，P是y轴正半轴上的一个动点，是等腰直角三角形，，C是点P正上方一点，连接BC，若，则PC的长为______. 15.如图，在正方形ABCD中，，对角线AC、BD交于点O，点E是OA的中点，点F是BD上的动点，连接AF，将AF绕点A顺时针旋转得到AG，连接EG，则的最小值为______. 三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题9分 计算： 化简： 17.本小题9分 在泗县工委组织的“五好小公民”主题教育活动中，我县某学校组织全校学生参加了“红旗飘飘，引我成长”知识竞赛，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按从高分到低分将成绩分成A，B，C，D，E五类，绘制成下面两个不完整的统计图： 根据上面提供的信息解答下列问题： 补全条形统计图； 类所对应的圆心角是______度，样本中成绩的中位数落在______类中. 若A类含有2名男生和2名女生，随机选择2名学生担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人，请用列表法或画树状图求恰好抽到1名男生和1名女生的概率. 18. 本小题9分 如图，在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点的位置如图所示，点的坐标是现将平移，使点A与点重合，点B、C的对应点分别是点， 请画出平移后的，并写出点的坐标______； 若点P是内的一点，当平移到后，其对应点的坐标为，则点P的坐标为______； 求的面积. 19.本小题9分 如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD，CD，AD，AD与BC交于点E， 求证：≌； 若，，求BC的长. 20.本小题9分 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示. 素材2 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为长方形纸板. 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒. 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒. 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒. 目标1 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a为______. 目标2 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究. 初步应用 按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积. 储物收纳 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒. 21.本小题9分 【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为4b，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形. 图2中的阴影部分正方形的边长是______用含a，b的代数式表示； 观察图1，图2，请写出，，ab之间的等量关系是：______； 【解决问题】 若，，且，则______； 【实际应用】 学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示.已知于点O，，计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，米，求主舞台和观众区的面积和. 22.本小题9分 如图，正方形ABCD中，点P是AB的中点，点M是AB边上任意一点与点A，点B不重合，点E在BC边上，连接ME，交射线CD于点已知，，设，， 请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； 在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； 结合函数图象，直接写出时x的取值范围近似值保留小数点后一位，误差不超过 23.本小题9分 如图，是的外接圆，，，点D是上一点，连接AD，BD，延长BD至点F，连接AF，使得 试判断AF与的位置关系，并说明理由； 若，，求AC的长. 24.本小题9分 如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线OB交于点，过点A作直线OB的平行线，交抛物线于点 求抛物线的表达式； 点D为直线AC下方抛物线上一点，过点D作轴交直线OB于点E，交直线AC于点Q，过点Q作于点F，连接DF，求面积的最大值及此时点D的坐标； 如图2，将原抛物线向右平移，使得新抛物线经过中的面积取得最大值时对应的点D，新抛物线与x轴交于点M，点M在点N的左侧，请直接写出点M，N的坐标. 25.本小题9分 在正方形ABCD中： 如图1，如果点E、F、G分别在BC、CD、DA上，且，垂足为M，那么GE ______填“=”、“>”、“<”； 如图2，如果点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上，且，垂足为M，那么GE ______填“=”、“>”或“<”； 如图3，在的条件下，当点M在正方形ABCD的对角线BD上时，连接GF，将沿着GF翻折，点M落在点N处.那么四边形GMFN是正方形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由. 1.【答案】A  【解析】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “青”与“来”是相对的， 故选： 根据正方体表面展开图的特征，即相间、Z端是对面进行判断即可． 本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”是正确解答的关键． 2.【答案】D  【解析】解： 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3.【答案】D  【解析】解：， 选项的运算不正确，不符合题意； ， 选项的运算不正确，不符合题意； ， 选项的运算不正确，不符合题意； ， 选项的运算正确，符合题意． 故选： 利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，完全平方公式和幂的乘方与积的乘方的运算性质对每个选项逐一判断即可． 本题主要考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，完全平方公式和幂的乘方与积的乘方的运算性质，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：由表可知，年龄为13岁与14岁的频数和为：，13岁人数有11人， 该组数据的众数为13，中位数为：， 所以众数和中位数不受两个数据的影响． 故选： 根据总人数可知年龄14岁和15岁的两组的频数和为10，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15，16个数据的平均数，可得答案． 本题主要考查平均数、中位数、众数及方差，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：， 由得； 由得； 原不等式组的解集为， 解集如图所示： 故选： 根据一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可得到答案． 本题考查一元一次不等式组解集的求法及在数轴上的表示，熟练掌握不等式组解集的求解原则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：，， ， 设重叠部分的菱形的边长为x， 则由题意：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 故选： 设菱形的边长为x，列出方程即可解决． 本题考查了矩形的性质，平移的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是设未知数列方程，学会转化的思想，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型． 7.【答案】A  【解析】解：每人出8元，多3元， ； 每人出7元，少4元， 根据题意可列方程组为 故选： 根据“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：，， ， ， ， 把代入，可得， 故选： 利用等腰三角形的性质求出点A的坐标即可解决问题． 本题考查反比例函数图象上的点的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9.【答案】A  【解析】解：由题意可知，根据一尺之捶，日取其半，万世不竭的理论，可知： 设捶长为1，天数为n，按照天数排列为：…， 而它们的加和是永远都不会超过原来的捶长， 即为：…， 故选： 由题意可知，设捶长为1，天数为n，按照天数排列为：…，而…，即可得出答案． 本题考查的是列代数式，正确理解题意并列出代数式是解题的关键． 10.【答案】A  【解析】解：①抛物线经过点，顶点为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 抛物线的开口向上， 当时，， 故①正确； ②方程可变形为方程， 因此有两个实数根相当于函数的图象与函数的图象有两个交点， 画出函数图象如下： 故②正确； ③将，代入， 得， 解得：， ， 抛物线的顶点为， 设抛物线对称轴交x轴于H，如图， 则， ，，， ， ， ， ， ， 故③正确； ④如图，过点A、M分别作y轴、x轴的平行线交于点C，连接AM、AB、BM， 则四边形ACDO是矩形， ， ，，， ，，，，，， 为直角三角形，有三种情况：或或， 显然， 只能或， 若，则， ，， 四边形ACDO是平行四边形， ， 四边形ACDO是矩形， ， ， ∽， ，即， ， ， ； 若，则， ， ， ， ∽， ，即， ， ， ； 点B在与之间不含端点， ， 解得， ， ，， 如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点作轴于点T，作轴于点Q， ，，， 和是等边三角形， ，， ， 当点O、P、、共线时，值最小，最小值为， 此时， 设， 则，，，， 在中， 由勾股定理，得， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， ， 故④错误； 综上，正确的有①②③． 故选： ①先求出抛物线于x轴的另一个点的坐标，根据图象即可判断①是否正确；②根据二次函数与一元二次方程关系，利用数形结合思想即可判断②是否正确；③利用割补法用a表示出面积，再求出a的值，即可判断③是否正确；④过点A、M分别作y轴、x轴的平行线交于点C，连接AM、AB、BM，运用分类讨论思想，求出a的值，再将绕点B逆时针旋转得到，连接，过点作轴于点T，作轴于点Q，推出当点O，点P，点，点共线时，值最小，最小值为，此时，设，在和中，利用勾股定理列出方程组，求出m，n的值，进而求出，并与比较，即可判断④是否正确． 本题考查二次函数图象与性质，待定系数法，二次函数于一元二次方程关系，图形的旋转变换，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二元二次方程组，能灵活运用上述知识是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 直接提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式即可． 此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键． 12.【答案】0或  【解析】解：， 方程两边同时乘，得， 整理，得， 当时，整式方程无解； 当时，分式方程无解， ， 解得：， 的值为0或 故答案为：0或 先解分式方程得出，然后分当时；时，进行分析即可得出答案． 本题考查了分式方程的解，掌握分式方程无解的定义是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：连接BD，BC， 是的直径， ， 的半径为r， ， ，， ，， ， 故答案为： 连接BD，BC，由圆周角定理得到，由锐角的余弦和正弦定义求出，，而，由三角形的外角性质即可求出的度数． 本题考查圆周角定理，解直角三角形，关键是由锐角的余弦和正弦定义求出和的度数，由圆周角定理得到， 14.【答案】6  【解析】解：如图，过点B作于点M，轴于点N， 由条件可知，， ， ， ， ≌， ，， ， ， ， ， 四边形ONBM是矩形， ， ， ， ， ， 故答案为： 过点B作于点M，轴于点N，证明≌得，证明四边形ONBM是矩形得，然后根据即可求解． 本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 15.【答案】  【解析】解：如图，连接BG，过A作，交BG延长线于点M，则， 由旋转性质可知：，， 四边形ABCD是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 四边形AOBM是矩形， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 点M在BG上运动，四边形AOBM是正方形， 在正方形ABCD中，， ， 作E作BM的对称点N，连接GN、NE， ，， ， 当A、G、N三点共线时，， ， 四边形AMHE是矩形， ， 点E是OA的中点， ， 由勾股定理得：， 的最小值为， 故答案为： 连接BG，过A作，交BG延长线于点M，则，证明≌，则，，从而证明四边形AOBM是矩形，再证明≌，则，故有点M在BG上运动，四边形AOBM是正方形，通过正方形的性质和勾股定理得出，作E作BM的对称点N，连接GN、NE，又，所以当A、G、E三点共线时，，然后由勾股定理即可求解． 本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 16.【答案】7；    【解析】解： ； 先根据数的开方法则，零指数幂及负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值分别计算出各数，再算加减即可； 先算除法，再算减法即可． 本题考查的是分式的混合运算，实数的运算，熟记运算法则是解题的关键． 17.【答案】补图见解析；   72，C；     【解析】解：被调查的学生总人数为人， 则B类人数为人， 类人数为人， 补全条形统计图如下： 类所对应的圆心角是，中位数是第50、51个数据的平均数，而第50、51个数据均落在C类， 中位数落在C类中， 故答案为：72，C； 列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 -- 男2男1 女1男1 女2男1 男2 男1男2 -- 女1男2 女2男2 女1 男1女1 男2女1 -- 女2女1 女2 男1女2 男2女2 女1女2 -- 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 求出被调查的学生总人数，即可解决问题； 用乘以样本中D类人数所占比例可得其圆心角度数，再根据中位数定义求得答案； 列表得出共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可． 此题考查了列表法与树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18.【答案】画图见解答；      【解析】解：由题意知，向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度得到， 如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为 故答案为： 向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度得到，对应点的坐标为， 点P的坐标为 故答案为： 的面积为 根据平移的性质作图，即可得出答案． 根据平移的性质可得答案． 利用割补法求三角形的面积即可． 本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 19.【答案】见解析；     【解析】证明：由作图可知， 在和中， ， ≌； 解：≌， ，， ，， ， 利用SSS证明三角形全等即可； 证明，，，求出BE即可． 本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质， 20.【答案】解：目标1：储物区域的长为40cm，由于收纳盒可以完全放入储物区域， 则图1中的四角裁去小正方形的边长为， 则收纳盒的宽小正方形的边长， 故答案为：40cm； 目标2：设边长为x cm， ， 解得：，舍去， 体积为， 答：储物盒的容积为6552立方厘米； 设小长方形的宽为x cm，长为y cm， 根据题意得：， 解得：， 小长方形的宽为11cm， 当EH，HG之间两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高， 玩具机械狗不能完全放入该储物， 答：玩具机械狗不能完全放入该储物．  【解析】解：目标1：储物区域的长为40cm，由于收纳盒可以完全放入储物区域， 则图1中的四角裁去小正方形的边长为， 则收纳盒的宽小正方形的边长， 故答案为：40cm； 见答案. 21.【答案】；   ；   4；     【解析】解：由图2知，阴影部分正方形的边长为， 故答案为：； 大正方形的面积为， 小正方形的面积为， 长方形的面积为ab， 由图2可知，大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积， ， 故答案为：； 由可得，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：4； 设，， ， ， ， 即， ， ， 无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米， ， ， ， 主舞台和观众区的面积和为 根据图形即可求解； 根据大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积，列出等量关系即可； 利用所得的等量关系解得即可； 设，，可得，，再利用完全平方公式计算即可求解． 本题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的变形运算，熟练掌握完全平方公式的运用是解题的关键． 22.【答案】，；   图见解析，当时，的最小值为0；在区间内，随x的增大而减小；   时x的取值范围为  【解析】解：，， ， 四边形ABCD是正方形， ， 点P是AB的中点， ， 当时，， 当时，， 在正方形ABCD中， ，， ， ， ∽， ， ， ， 即， 综上，，； 列表： x 0 1 2 3 4 6 3 0 3 8 4 2 描点，连线，图象如下： ； 当时，的最小值为0；在区间内，随x的增大而减小； 联立方程组， 解得或舍去， 观察图象，时x的取值范围为 分和两种情况求得，证明∽，利用相似三角形的性质求得； 根据函数关系式列表，描点，连线，作图即可，再根据图象写出性质即可； 由图象可知交点坐标，再结合求时x的取值范围，即求的图象在的图象下方时x的取值范围求解即可． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，反比例函数的应用等知识． 23.【答案】AF 与相切，理由见解析；    【解析】解：与相切， 理由如下： 是的外接圆，，， 是直径， ， ， ， ， 即， 与相切； 在中，， ， ， ， ， 连接CD，OC，作于点H，则， ， ∽， ， ， 解得， ， ， ， ， ， ， 垂直平分BC， ， 在BC的垂直平分线上， 、H、O三点共线， ， ，即AC的长为 证明AB是直径，得到，证明，则，即可得到结论； 求出，连接CD，OC，作于点H，则，证明∽，得到，证明D、H、O三点共线，得到，由勾股定理即可求出AC的长． 此题考查了直线与圆的关系、圆周角定理、三角形的外接圆与外心，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24.【答案】；   面积的最大值为3，点D的坐标为；   ，  【解析】解：抛物线与直线OB交于点， ，解得， 抛物线的解析式为； 设直线OB的解析式为， 过点， ，解得， 直线OB的解析式为， ，设直线AC的解析式为， 当时，， 解得或3， ， ， 解得， 直线AC的解析式为， 设，则， 如图1，过点F作交DE于点W，由平移可知， ，轴交直线OB于点E， ，即， ， ， ，即为等腰直角三角形， ， 则， 当时，面积的最大值为3， 此时点D的坐标为； 设抛物线向右平移了m个单位，则新抛物线的表达式为：， 将点D的坐标代入上式得：，解得：舍去或1， 则新抛物线的表达式为：， 令，则或4， 即， 抛物线与直线OB交于点，则，即可求解； 由，即可求解； 设抛物线向右平移了m个单位，则新抛物线的表达式为：，将点D的坐标代入上式得：，解得：舍去或1，进而求解． 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 25.【答案】证明见解析；   证明见解析；   四边形GMFN是正方形，证明见解析．  【解析】 证明：如图②，过点A作， ， 四边形ANEG是平行四边形， ， ， ， ， ， ，， ≌， ， ； 故答案为：=； 证明：如图③，分别过点A、B作，， ，， 四边形APEG、四边形BQFH为平行四边形， ，， ， ， 由可得≌， ， ； 故答案为：=； 四边形GMFN是正方形， 证明：如图3，过M作于T，于R， ， ， ， 四边形TMRD是矩形， ， ， ， ， ≌， ， 将沿着GF翻折，点M落在点N处， ，， ， 四边形GMFN是菱形， ， 四边形GMFN是正方形． 过点A作，可证四边形ANEG是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，由的结论可知，所以； 分别过点A、B作，，可证四边形APEG、四边形BQFH为平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，，由的结论可知，所以； 如图3，过M作于T，于R，根据垂直的定义得到，根据矩形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据折叠的性质得到，，由正方形的判定定理即可得到结论． 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$