第一章 阶段提能(二) 常用逻辑用语、基本不等式及一元二次不等式-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word（基础版）

阶段提能(二)　常用逻辑用语、基本不等式及一元二次不等式 1．(人教A版必修第一册P43习题2.1T8)下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b>0，则 ac2>bc2 B．若a>b>0，则a2>b2 C．若a<b<0，则a2<ab<b2 D．若a<b<0，则< B　[对于A，若a>b>0，则当c＝0时，显然ac2>bc2不成立，故A错误； 对于B，若a>b>0，则a2>b2成立，故B正确； 对于C，若a<b<0，则a2>b2，故C错误； 对于D，若a<b<0，则＝>0， 所以>，故D错误．故选B．] 2．(北师大版必修第一册P23习题1－2B组T1)填空： (1)“一元二次方程x2＋ax＋1＝0有实数根”的充要条件是________； (2)“一元二次方程(x－a)(x－a－1)＝0有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是________； (3)“一元二次方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的正实数根”的充要条件是________． (1)a∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)　(2)(答案不唯一)　(3){a|a<－2}　[(1)一元二次方程x2＋ax＋1＝0有实数根，应满足Δ＝a2－4≥0， 解得a≤－2或a≥2， 所以原命题的充要条件是a∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2)一元二次方程(x－a)(x－a－1)＝0的两个根为a，a＋1， ∵有一个正实数根和一个负实数根， ∴∴－1<a<0． ∵(－1，0)， ∴一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的一个充分条件但不是必要条件的是．(答案不唯一) (3)设一元二次方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的正实数根x1，x2， 则解得 即a<－2． 故原命题的充要条件是{a|a<－2}．] 3．(湘教版必修第一册P61复习题二T3)证明下列不等式： (1)若a，b，c，d都是正数，则(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd； (2)若a，b，c是非负实数，则a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)≥6abc； (3)若a，b是非负实数，则a＋b＋2≥2()； (4)若a，b∈R，则． [证明]　(1)由a，b，c，d都是正数， 可得ab＋cd≥2， ac＋bd≥2， 当且仅当ab＝cd，且ac＝bd， 即a＝b＝c＝d时取得等号． 即有(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd． (2)∵a，b，c为非负实数， ∴a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab＝6abc，当且仅当a＝b＝c时取等号． (3)a＋b＋2＝(a＋1)＋(b＋1)≥2＋2＝2()，当且仅当a＝b＝1时取等号． (4)∵a，b∈R且a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取等号)， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab， ∴， 即． 4．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T7)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好． (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220 m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？ [解]　(1)设窗户面积为a m2，则地板面积为(220－a)m2． 由题意知≥10%，解得a≥20， 又由题知a<220－a，即a<110，所以20≤a<110，所以窗户面积至少为20 m2． (2)设窗户面积为a m2，地板面积为b m2，增加的面积为m m2． 因为a，b，m>0，且a<b，所以＝>0，即<，所以公寓的采光效果变好了． 5．(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件． 故选C．] 6．(2023·北京卷)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＝－2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y， 所以＝＝－1－1＝－2， 所以充分性成立； 必要性：因为xy≠0，且＝－2， 所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0， 即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0． 所以必要性成立． 所以“x＋y＝0”是“＝－2”的充要条件．] 7．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y＝x2＋2x＋4　　 B．y＝|sin x|＋ C．y＝2x＋22-x D．y＝ln x＋ C　[选项A：因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3， 所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以选项A不符合题意． 选项B：因为y＝|sin x|＋ ≥2＝4，所以y≥4，当且仅当|sin x|＝，即|sin x|＝2时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|＝2不可能成立， 因此可知y＞4，所以选项B不符合题意． 选项C：因为y＝2x＋22-x≥2＝4，当且仅当2x＝22-x，即x＝2－x，即x＝1时不等式取等号， 所以ymin＝4，所以选项C符合题意． 选项D：当0<x<1时，ln x<0，y＝ln x＋<0，所以选项D不符合题意．故选C．] 8．(2022·上海卷)若实数a，b满足a>b>0，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．a＋b>2　　 B．a＋b<2 C．＋2b>2 D．＋2b<2 A　[因为a>b>0， 所以a＋b>2，故A正确，B错误； 因为＋2b≥2＝2，当且仅当＝2b，即a ＝4b时取等号，故C，D错误．故选A．] 9．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1　　 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 BC　[由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤， 即1＝(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－＝， ∴(x＋y)2≤4，∴－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确； 由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤， ∴x2＋y2≤2，故C正确，D错误． 故选BC．] 10．(2024·上海卷)不等式x2－2x－3<0的解集为________． {x|－1<x<3}　[方程x2－2x－3＝0的解为x＝－1或x＝3， 故不等式x2－2x－3<0的解集为{x|－1<x<3}．] 11．(2021·天津卷)若a>0，b>0，则＋b的最小值为________． 2　[∵a>0，b>0， ∴＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2， 当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立， 所以＋b的最小值为2．] 12．(2020·江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________． 　[∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠0且x2＝， ∴x2＋y2＝＋y2＝≥2＝，当且仅当＝，即x2＝，y2＝时取等号． ∴x2＋y2的最小值是．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$