第二章 思维进阶2 指数、对数、幂值的大小比较-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word（基础版）

　指数、对数、幂值的大小比较 　指数、对数、幂值的大小比较是高考的热点之一．主要考查指数、对数的运算性质，以及幂函数、指数函数、对数函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现． 题型一　利用函数性质 [典例1]　(1)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b　　 B．a>b>c C．c>b>a D．b>c>a (2)(2024·苏州实验学校月考)已知函数f (x)＝－x，若a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.5-0.5，则(　　) A．f (b)<f (a)<f (c)　　 B．f (c)<f (b)<f (a) C．f (b)<f (c)<f (a) D．f (a)<f (b)<f (c) (1)C　(2)C　[(1)因为函数y＝为增函数，所以<， 即a<b， 又因为函数y＝为增函数， 所以<， 即b<c，故c>b>a． 故选C． (2)由a＝log52<log55＝1，且a＝log52>log51＝0，故0<a<1； b＝log0.50.2>log0.50.25＝2，c＝0.5-0.5＝＝，故b>c>a， 又因为函数f (x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f (b)<f (c)<f (a)． 故选C．] 反思领悟　本例(1)中与底数相同，指数不同，利用指数函数y＝的单调性比较；与指数相同、底数不同，利用幂函数y＝xα的单调性比较大小．本例(2)利用函数f (x)在(0，＋∞)上的单调性比较大小． 题型二　临界值法(插值法)比较大小 [典例2]　(1)已知a＝log53，b＝，c＝7-0.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c　　 B．a>c>b C．b>a>c D．c>b>a (2)已知a＝log52，b＝，c＝0.70.3，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<c<b　　 B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b (1)C　(2)A　[(1)因为1＝log55>log53>log5＝log5＝，即<a<1，b＝>20＝1，c＝7-0.5＝<＝，即0<c<，所以b>a>c． (2)因为log51<log52<log5， 所以0<a<， 因为b＝＝log0.70.1>log0.70.7＝1， 所以b>1，因为0.71<0.70.3<0.70， 所以0.7<c<1， 所以a<c<b．] 反思领悟　本例比较大小的关键是寻找合适的中间值或其他能判断大小关系的中间量．常考虑a，b，c与数字“0”“1”“”的大小关系． 题型三　含变量问题的大小比较 [典例3]　已知x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　) A．2x<3y<5z　　 B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z D　[法一(特值法)：取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225<log232＝5z，3y＝log3125<log3243＝5z，所以5z最大．取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29>3y． 综上可得，3y<2x<5z． 法二(作差法)： 令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1， 则x＝，y＝，z＝， 因为k>1，所以lg k>0， 所以2x－3y＝ ＝ ＝>0， 故2x>3y，2x－5z＝ ＝ ＝<0， 故2x<5z． 所以3y<2x<5z． 法三(作商法)： 令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k>1． 则x＝，y＝，z＝． 所以＝·＝>1，即2x>3y， ＝·＝>1，即5z>2x． 所以5z>2x>3y．] 反思领悟　本例这类涉及三个指数式连等(或三个对数式连等)的含参变量比较大小问题，可利用特值法求解，也可在设元变形的基础上，通过作差或作商求解． 【教用·备选题】 1．(2024·重庆北碚区月考)设a＝ln 1，b＝log23，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c　　　　　 B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c A　[a＝ln 1＝0，因为log22＜log23＜log24，所以1＜log23＜2，即1＜b＜2， 又因为c＝>21＝2， 所以a＜b＜c． 故选A．] 2．(2025·上饶信州区模拟)设＝2，b＝，则有(　　) A．a<b<c　　　　　 B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c B　[由题意可知，a＝2<1＝0，b＝＝log23>log22＝， 0<c＝＝，综上所述，a<c<b．故选B．] 进阶训练(二)　指数、对数、幂值的大小比较 1．(2025·石嘴山市平罗县模拟)若a＝2π-2，b＝6-1，c＝，则(　　) A．b＞a＞c　　 B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b D　[因为a＝2π-2＞21＝2，c＝<2，所以a＞c，因为b＝6-1＝<1，c＝>20＝1， 所以c＞b，所以a＞c＞b．故选D．] 2．(2024·曲靖麒麟区月考)已知实数a＝log0.20.3，b＝(0.3)-0.2，c＝30.2，则(　　) A．c＞b＞a　　 B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c C　[因为a＝log0.20.3＜log0.20.2＝1， 因为b＝(0.3 )-0.2＝，b＝>c＝30.2＞1， 所以b＞c＞a．故选C．] 3．(2024·福建学业考试)三个数log3的大小关系为(　　) A．log3<2-1 B．log3 C．<2-1<log3 D．<log3 A　[因为y＝2x在定义域R上单调递增，所以>0， 又log3<log31＝0，所以log3<2-1． 故选A．] 4．(2024·丹东新城区三模)已知函数f (x)＝ln |x|，设a＝f (－3)，b＝f ，c＝f (2)，则(　　) A．a＞c＞b　B．a＞b＞c　C．c＞a＞b　D．b＞a＞c A　[当x＞0时，f (x)＝ln x为增函数， ∵函数f (x)＝ln |x|是偶函数，∴f (－3)＝f (3)， 则f ＜f (2)＜f (3)， 即f ＜f (2)＜f (－3)，即a＞c＞b． 故选A．] 5．(2024·湖北武汉月考)已知a＝2-3，b＝log23，c＝log46，则(　　) A．a＜b＜c　　 B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b B　[因为c＝log46＝＝log26＝log2，且3>， 所以根据对数函数的单调性可知1＜c＜b，又因为a＝2-3＜1，所以a＜c＜b．故选B．] 6．(2024·北京卷)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则(　　) A．log2< B．log2> C．log2<x1＋x2 D．log2>x1＋x2 B　[因为(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，所以y1＝，y2＝，且x1≠x2，则，所以y1＋y2＝＝，所以>0， 所以＝． 故选B．] 7．(2024·漯河源汇区校级月考)a＝log2(log381)，b＝，c＝，则(　　) A．b＜a＜c　　 B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b A　[因为a＝log2(log381)＝log2(log334)＝log24＝2， b＝<40＝1，c＝＝＝2>2， 所以b＜a＜c． 故选A．] 8．(经典题)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　) A．ln (y－x＋1)＞0　　 B．ln (y－x＋1)＜0 C．ln |x－y|＞0 D．ln |x－y|＜0 A　[由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，即2x－<2y－．设f (x)＝2x－，则f (x)<f (y)．因为函数y＝2x在R上为增函数，y＝－在R上为增函数，所以f (x)＝2x－在R上为增函数，则由f (x)<f (y)，得x<y，所以y－x>0，所以y－x＋1>1，所以ln (y－x＋1)>0，故A正确，B错误； 由于不能得出|x－y|与1的大小关系，故不能确定C，D是否正确，故选A．] 9．(2024·河池月考)已知a＝0.33，2b＝3，c＝cos 3，则(　　) A．b＜c＜a　　 B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a C　[a＝0.33＝0.027，c＝cos 3＜0， 因为2b＝3，所以b＝log23∈(1，2)，所以b＞a＞c． 故选C．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$