第二章 思维进阶1 函数性质的综合应用-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word（基础版）

　函数性质的综合应用 　函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查． 题型一　函数的奇偶性与单调性 [典例1]　(1)设f (x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若x1>0且x1＋x2<0，则(　　) A．f (x1)>f (x2) B．f (x1)＝f (x2) C．f (x1)<f (x2) D．f (x1)与f (x2)的大小关系不确定 (2)(2024·曲靖麒麟区三模)若定义在R上的函数满足f (x－2)＝－f (2－x)，且在(－∞，0)单调递减，f (3)＝0，则满足(x－1)f (x)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－3，0]∪[1，3] B．(－∞，－3]∪{0}∪[1，3] C．[－3，0)∪[1，3] D．[1，＋∞) (1)A　(2)A　[(1)由x1>0，x1＋x2<0，得0<x1<－x2，又∵f (x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x1)>f (－x2)，f (x)是偶函数，f (－x2)＝f (x2)， ∴f (x1)>f (x2)． (2)因为定义在R上的函数满足f (x－2)＝－f (2－x)， 所以f (x)为奇函数， 因为f (x)在(－∞，0)单调递减，f (3)＝0， 所以f (x)在(0，＋∞)上单调递减，且f (－3)＝－f (3)＝0，f (0)＝0， 由(x－1)f (x)≥0可得或 即或或x＝0， 即1≤x≤3或－3≤x≤0．故选A．] 反思领悟　奇偶性与单调性综合的两种题型及解法 (1)比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． (2)抽象不等式问题，解题步骤是： ①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； ②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题． 题型二　函数的奇偶性与周期性 [典例2]　已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋2)＝－f (x)，当x∈[0，1]时，f (x)单调递增，则(　　) A．f (6)<f (－7)<f B．f (6)<f <f (－7) C．f (－7)<f <f (6) D．f <f (－7)<f (6) B　[∵f (x＋2)＝－f (x)， ∴f (x＋4)＝f ((x＋2)＋2)＝－f (x＋2)＝f (x)， ∴函数f (x)是周期为4的周期函数， ∴f (6)＝f (2)＝－f (0)＝f (0)， f (－7)＝f (1)， f ＝f ＝－f ＝f ， 又当x∈[0，1]时f (x)单调递增， ∴f (0)<f <f (1)， 即f (6)<f <f (－7)．故选B．] 反思领悟　本题解题关键是利用奇偶性和周期性将f (6)，f (－7)，f 中的6，－7，转化到单调区间[0，1]内再比较大小． 题型三　函数性质的综合应用 [典例3]　已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋6)＝f (x)，且y＝f (x＋3)为偶函数．若f (x)在(0，3)上单调递减，则下列结论正确的是(　　) A．f (10)<f ()<f (ln 2) B．f ()<f (ln 2)<f (10) C．f (ln 2)<f (10)<f () D．f (ln 2)<f )<f (10) A　[∵f (x＋6)＝f (x)，∴f (x)的周期为6． 又∵y＝f (x＋3)为偶函数，∴f (x＋3)＝f (－x＋3)，∴f (10)＝f (4＋6)＝f (4)＝f (1＋3)＝f (－1＋3)＝f (2)． ∵1<<2，0<ln 2<1， ∴0<ln 2<1<<2． 又∵f (x)在(0，3)上单调递减，∴f (2)<f ()<f (ln 2)，即f (10)<f ()<f (ln 2)． 故选A．] 反思领悟　对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 【教用·备选题】 1．(2024·辽宁六校联考)若定义在R上的奇函数f (x)满足f (2－x)＝f (x)，在区间(0，1)上，有(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，则下列说法正确的是(　　) A．函数f (x)的图象关于点(1，0)成中心对称 B．函数f (x)的图象关于直线x＝2成轴对称 C．在区间(2，3)上，f (x)单调递减 D．f >f C　[f (4－x)＝f (2－(x－2))＝f (x－2)＝－f (2－x)＝－f (x)， 即f (4－x)＋f (x)＝0，故f (x)的图象关于点(2，0)成中心对称，B错误； ∵f (2－x)＝f (x)，则f (x)的图象关于直线x＝1成轴对称，A错误； 根据题意可得，f (x)在(0，1)上单调递增， ∵f (x)的图象关于直线x＝1成轴对称，关于点(2，0)成中心对称，则f (x)在(2，3)上单调递减，C正确； 又∵f (x)＝f (2－x)＝－f (x－2)，则f (x＋2)＝－f (x)， ∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，可知f (x)的周期为4， 则f ＝f <f ，D错误． 故选C．] 2．(2022·全国乙卷)已知函数f (x)，g(x)的定义域均为R，且f (x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f (x－4)＝7．若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则＝(　　) A．－21　　 B．－22 C．－23 D．－24 D　[因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称， 所以g(2－x)＝g(x＋2)， 因为g(x)－f (x－4)＝7， 所以g(x＋2)－f (x－2)＝7， 即g(x＋2)＝7＋f (x－2)， 因为f (x)＋g(2－x)＝5， 所以f (x)＋g(x＋2)＝5， 代入得f (x)＋[7＋f (x－2)]＝5， 即f (x)＋f (x－2)＝－2， 所以f (3)＋f (5)＋…＋f (21)＝(－2)×5＝－10， f (4)＋f (6)＋…＋f (22)＝(－2)×5＝－10． 因为f (x)＋g(2－x)＝5，所以f (0)＋g(2)＝5， 即f (0)＝1，所以f (2)＝－2－f (0)＝－3． 因为g(x)－f (x－4)＝7，所以g(x＋4)－f (x)＝7，又因为f (x)＋g(2－x)＝5， 联立得，g(2－x)＋g(x＋4)＝12， 所以y＝g(x)的图象关于点(3，6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R， 所以g(3)＝6， 因为f (x)＋g(x＋2)＝5， 所以f (1)＝5－g(3)＝－1． 所以＝f (1)＋f (2)＋[f (3)＋f (5)＋…＋f (21)]＋[f (4)＋f (6)＋…＋f (22)]＝－1－3－10－10＝－24．故选D．] 3．(多选)(2024·浙江大学附属中学期中)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且y＝f (x＋1)为偶函数，当x∈(0，1]时，f (x)＝－x2，下列结论正确的有(　　) A．函数f (x)的周期是4 B．直线x＝2 023是函数f (x)图象的一条对称轴 C．f (x)在[2 022，2 023]上单调递减 D．f (2 022)＋f (2 023)＝1 ABD　[对于A，因为函数f (x＋1)为偶函数， 所以f (x＋1)＝f (－x＋1)， 即f (x)的图象关于直线x＝1对称， 因为f (x)为奇函数，所以f (－x)＝－f (x)， 则f (x＋2)＝f (－(x＋1)＋1)＝f (－x)＝－f (x)， 所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)， 所以f (x)是周期为4的函数，故A正确； 因为f (x)的图象关于直线x＝1对称，且为奇函数， 所以f (x)的图象关于直线x＝－1对称， 又f (x)是周期为4的函数， 所以f (x)的图象关于直线x＝3对称， 因为2 023＝505×4＋3， 所以直线x＝2 023是函数f (x)图象的一条对称轴，故B正确； 由f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0， 当x∈(0，1]时，f (x)＝－x2，可得当x∈[0，1]时，f (x)＝－x2， 令x∈[2，3]，则x－2∈[0，1]， 所以f (x)＝－f (x－2)＝(x－2)2，此时f (x)单调递增， 因为2 022＝505×4＋2， 所以f (x)在[2 022，2 023]上的单调性相当于f (x)在[2，3]上的单调性，故此时单调递增，故C错误； f (2 022)＝f (2)＝0，f (2 023)＝f (3)＝1， 所以f (2 022)＋f (2 023)＝1，故D正确．故选ABD．] 4．(2024·四川眉山仁寿县期中)定义在R上的函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，f (1)＝4． (1)求f (0)的值； (2)判断函数f (x)的奇偶性，并证明你的结论； (3)若函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，求不等式f (2x＋3)－f (x)＜8的解集． [解]　(1)令x＝y＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，解得f (0)＝0． (2)因为函数f (x)的定义域为R，令y＝－x， 则f (x－x)＝f (x)＋f (－x)， ∴f (x)＋f (－x)＝0，∴f (－x)＝－f (x)， ∴函数f (x)为奇函数． (3)∵f (1)＝4， 令x＝y＝1，得f (2)＝f (1)＋f (1)＝8， ∵f (2x＋3)－f (x)＜8， ∴f (2x＋3)－f (x)＜f (2)， ∵f (x＋y)＝f (x)＋f (y)， ∴f (2x＋3)－f (x)＝f (2x＋3)＋f (－x)＝f (x＋3)， ∴f (x＋3)＜f (2)． ∵函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，且函数f (x)为奇函数， ∴函数f (x)在R上单调递增， ∴x＋3＜2，解得x＜－1， 故不等式f (2x＋3)－f (x)＜8的解集为{x|x＜－1}． 进阶训练(一)　函数性质的综合应用 1．(2024·西安临潼区二模)下列函数中，既是奇函数又在(－∞，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝　　 B．y＝x3 C．y＝－x|x| D．y＝e－x C　[在A中，y＝是奇函数，减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，故A错误； 在B中，y＝x3是奇函数，没有减区间，增区间为(－∞，＋∞)，故B错误； 在C中，y＝－x|x|＝是奇函数，减区间为(－∞，＋∞)，故C正确； 在D中，y＝e－x是非奇非偶函数，减区间为(－∞，＋∞)，故D错误． 故选C．] 2．(2024·宜宾三模)已知函数f (x)在[2，＋∞)上单调递减且对任意x∈R满足f (1＋x)＝f (3－x)，则不等式f (2x－3)＞f (5)的解集是(　　) A．(－∞，1)∪(4，＋∞)　　 B．(－∞，4)　 C．(1，＋∞)　 D．(1，4) D　[因为函数f (x)在[2，＋∞)上单调递减且对任意x∈R满足f (1＋x)＝f (3－x)， 所以f (x)的图象关于x＝2对称， 故f (x)在(－∞，2)上单调递增， 则不等式f (2x－3)＞f (5)可转化|2x－3－2|＜3， 解得1＜x＜4．故选D．] 3．(多选)(2025·大理南涧县模拟)函数f (x)在其定义域上的图象是如图所示折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(1，2)，(－1，0)，(－3，2)，以下说法中正确的是(　　) A．f (f (－2))＝2 B．f (x＋1)为偶函数　 C．f (x)－1≥0的解集为[－3，－2]∪[0，1]　 D．若f (x)在[－3，m]上单调递减，则m的取值范围为(－3，－1] ACD　[由题图可得f (－2)＝1，所以f (f (－2))＝f (1)＝2，A正确； 由题图可得f (x)的图象关于x＝－1对称，所以f (x＋1)的图象关于x＝－2对称，B错误； 由题图可得f (x)－1≥0，即f (x)≥1的解集为[－3，－2]∪[0，1]，C正确； 由题图可得f (x)在[－3，－1]上单调递减，所以m的取值范围为(－3，－1]，D正确．故选ACD．] 4．(多选)(2025·哈尔滨市道里区模拟)已知函数f (x)＝－，则函数具有下列性质(　　) A．函数f (x)的图象关于点(－1，－1)对称 B．函数f (x)在(－1，＋∞)上单调递增 C．函数f (x)的图象过原点 D．函数f (x)的值域为{y|y≠－1} ACD　[函数f (x)＝－＝－1＋，f (－1＋x)＋f (－1－x)＝－1＋－1－＝－2， 可得f (x)的图象关于点(－1，－1)对称，故A正确； f (x)＝－1＋在(－1，＋∞)上单调递减，故B错误； 由f (0)＝0，可得f (x)的图象经过原点，故C正确； 由f (x)＝－1＋，可得f (x)的值域为{y|y≠－1}，故D正确．故选ACD．] 5．(2025·湖北武汉模拟)已知函数f (x－1)(x∈R)是偶函数，且函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[－1，1]时，f (x)＝ax－1，则f (2 024)＝(　　) A．－1　　　B．－2　　　C．0　　　D．2 A　[根据题意，函数f (x－1)(x∈R)是偶函数，则函数f (x)图象的对称轴为直线x＝－1， 则有f (x)＝f (－2－x)，又由函数f (x)的图象关于点(1，0)成中心对称， 则f (x)＝－f (2－x)，则有f (－2－x)＝－f (2－x)，则f (x＋4)＝－f (x)， 则有f (x＋8)＝－f (x＋4)＝f (x)，则函数f (x)是周期为8的周期函数，则f (2 024)＝f (0＋253×8)＝f (0)＝－1． 故选A．] 6．(2024·江苏苏州期末)已知定义在R上的函数f (x)的图象连续不间断，有下列四个命题： 甲：f (x)是奇函数； 乙：f (x)的图象关于点(2，0)对称； 丙：f (22)＝0； 丁：f (x＋6)＝f (x)． 如果有且仅有一个是假命题，则该命题是(　　) A．甲　　 B．乙 C．丙 D．丁 D　[若甲丁成立，则f (－x)＝－f (x)， f (x＋6)＝f (x)， ∴f (x＋6)＝－f (－x)， ∴f (x)的图象关于点(3，0)对称， f (22)＝f (4)≠0，乙丙不成立， ∴甲和丁中有一个为假命题， 若甲乙成立，则f (－x)＝－f (x)， f (4－x)＝－f (x)，∴f (4－x)＝f (－x)， 函数f (x)的周期为4． ∴f (22)＝f (2)＝0，∴丙成立，丁不成立， ∵只有一个假命题，即丁为假命题．故选D．] 7．(多选)(2025·山西大同模拟)奇函数f (x)与偶函数g(x)的定义域均为R，且满足f (x)－g(x)＝2x，则下列判断正确的是(　　) A．f (x)＋g(x)≥0 B．f (x)＝ C．f (x)在R上单调递增 D．g(x)的值域为(－∞，－1] BCD　[因为f (x)－g(x)＝2x，① 所以f (－x)－g(－x)＝2－x． 因为f (x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以f (－x)＝－f (x)，g(－x)＝g(x)， 所以－f (x)－g(x)＝2－x，② 由①②得，f (x)＝，g(x)＝－， 则f (x)＋g(x)＝－2－x<0，故A错误，B，C正确． 因为g(x)＝－≤－＝－1， 所以D正确．故选BCD．] 8．(2025·格尔木市模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且满足f (x＋2)＝－f (－x)，则f (1 000)＝________． 0　[因为函数f (x)是定义在R上的奇函数， 由奇函数性质可得，f (0)＝0， 又f (x＋2)＝－f (－x)＝f (x)， 可得函数f (x)的周期为2，有f (1 000)＝f (0)＝0．] 9．(2024·沧州期末)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且满足f (x＋1)＝f (x－3)，当x∈(0，2)时，f (x)＝x2－，则f (2 025)＝________． －1　[∵f (x＋1)＝f (x－3)，∴f (x＋4)＝f (x)， ∴4是f (x)的一个周期， ∴f (2 025)＝f (4×506＋1)＝f (1)＝1－2＝－1．] 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