第二章 阶段提能(四) 幂、指、对(型)函数及其图象、函数零点问题-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word（基础版）

阶段提能(四)　幂、指、对(型)函数及其图象、函数零点问题 1．(湘教版必修第一册P152复习题四T11)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，已知lg 3≈0.48．从数量级的角度考虑，下列各数中与最接近的是(　　) A．1033　　 B．1053 C．1073 D．1093 D　[由题意可得，M≈3361，N≈1080， 根据对数性质有3＝10lg 3≈100.48， ∴M≈3361≈(100.48)361≈10173， ∴≈＝1093，故选D．] 2．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9)已知函数y＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交． (1)求该函数的解析式，并画出图象； (2)判断该函数的奇偶性和单调性． [解]　(1)因为函数y＝a＋b的图象过原点， 所以0＝a＋b， 由函数的图象无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，得b＝2，又a＋b＝0，所以a＝－2， 则y＝－2·＋2，其图象如图． (2)由图知，y＝－2＋2是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减． 3．(人教A版必修第一册P140习题4.4T5)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v＝，其中O表示鱼的耗氧量的单位数． (1)当一条鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是多少？ (2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数． [解]　(1)当一条鱼的耗氧量O＝2 700个单位时，它的游速v＝log3＝log3＝(m/s)． (2)当v＝log3＝0时，＝1，解得O＝100． 所以鱼静止时耗氧量的单位数为100． 4．(人教A版必修第一册P156习题4.5T13)有一道题“若函数f (x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，求实数a的取值范围”，某同学给出了如下解答： 由f (－1)f (1)＝(24a－5)(24a＋3)<0，解得－<a<．所以，实数a的取值范围是． 上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答． [解]　不正确．理由如下： 当a＝0时，f (x)＝4x－1，此时零点为，符合题意． 当a≠0时，令24ax2＋4x－1＝0， ①当Δ＝0时，16＋96a＝0，解得a＝－，函数f (x)的图象与x轴交于点，f (x)的零点为，符合题意； ②当Δ>0时，16＋96a>0，解得a>－． a．若f (－1)≠0，且f (1)≠0，则f (－1)·f (1)＝(24a－5)·(24a＋3)<0，解得－<a<． b．若f (－1)＝0，则24a－5＝0，解得a＝，此时f (x)＝5x2＋4x－1，令f (x)＝0，解得x1＝－1，x2＝， ∴x＝是(－1，1)内唯一零点． c．若f (1)＝0，则24a＋3＝0，解得a＝－，此时f (x)＝－3x2＋4x－1，令f (x)＝0，解得x1＝1，x2＝， ∴x＝是(－1，1)内的唯一零点． 综上，a∈，所以给出的解答不正确． 5．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cos x在区间的图象大致为(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D A　[令f (x)＝(3x－3－x)cos x，x∈， 则f (－x)＝(3－x－3x)cos (－x) ＝－(3x－3－x)cos x＝－f (x)， 所以f (x)为奇函数，排除BD； 又当x∈时，3x－3－x＞0，cos x＞0， 所以f (x)＞0，排除C． 故选A．] 6．(2024·天津卷)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c　　 B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a B　[因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3， 所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3， 所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b． 因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1， 所以log4.20.2<log4.21＝0，即c<0， 所以b>a>c． 故选B．] 7．(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是(　　) A．当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态 B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态 C．当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态 D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态 D　[A选项：lg P＝lg 1 026>3，T＝220，由题图易知处于固态；B选项：lg P＝lg 128>2，T＝270，由题图易知处于液态；C选项：lg P＝lg 9 987≈3.999，T＝300，由题图易知处于固态；D选项：lg P＝lg 729>2，T＝360，由题图易知处于超临界状态．故选D．] 8．(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1　　 B．2N2＝3N1 C．＝ D．＝ D　[由题意，得＝2.1，＝3.15．若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2，所以＝．故选D．] 9．(经典题)(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A．1.5　　 B．1.2 C．0.8 D．0.6 C　[由题意知，4.9＝5＋lg V⇒lg V＝－0.1⇒V＝＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8．] 10．(经典题)(2020·北京卷)已知函数f (x)＝2x－x－1，则不等式f (x)>0的解集是(　　) A．(－1，1)　　 B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(0，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) D　[不等式f (x)>0等价于不等式2x>x＋1，作出函数y＝2x和函数y＝x＋1的图象，如图所示，易知两个函数图象的交点坐标为(0，1)和(1，2)，观察函数图象可知，当x<0或x>1时，函数y＝2x的图象在函数y＝x＋1的图象的上方，此时2x>x＋1，故不等式f (x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D． ] 11．(经典题)(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x)＝＋e－x+1)有唯一零点，则a＝(　　) A．－ B． C． D．1 C　[法一：f (x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)＝(x－1)2＋a[ex-1＋e－(x-1)]－1， 令t＝x－1，则g(t)＝f (t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1． ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)， ∴函数g(t)为偶函数． ∵f (x)有唯一零点， ∴g(t)也有唯一零点． 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， ∴2a－1＝0，解得a＝． 故选C． 法二：f (x)＝0⇔a(ex-1＋e－x+1)＝－x2＋2x． ex-1＋e－x+1≥2＝2， 当且仅当x＝1时取“＝”． －x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”． 若a＞0，则a(ex-1＋e－x+1)≥2a， 要使f (x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝． 若a≤0，则f (x)的零点不唯一． 故选C．] 12．(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2　　 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 ACD　[因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大，且∈[50，60]，所以，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg ，得p＝，因为＝40，所以p3＝＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则＞10，所以Lp2－Lp3＞20，不可能成立，故B不正确；因为＝＝≥1，所以p1≤100p2，故D正确．综上，故选ACD．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$