第二章 第10课时 函数的零点与方程的解-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word（基础版）

第10课时　函数的零点与方程的解 [考试要求]　1．理解函数的零点与方程的解的联系．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解用二分法求方程的近似解． 考点一　判定函数零点所在区间 1．函数的零点 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f (x)，我们把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． (2)三个等价关系 (3)函数零点存在定理 2．二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)f (b)＜0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 提醒：(1)若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f (x)＝0的实根． (2)由函数y＝f (x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f (a)·f (b)<0，如图所示，所以“f (a)·f (b)<0”是“y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点”的充分不必要条件． [典例1]　(1)(2025·湖北荆州模拟)若x0是方程的根，则x0属于区间(　　) A． B． C． D． (2)(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f (x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m＝(　　) A．－2　　 B．－1 C．0 D．1 (1)C　(2)A　[(1)构造函数f (x)＝， 易知函数f (x)在R上单调递减，且函数f (x)的图象是一条连续不断的曲线， 易知f (0)＝－0＝1>0，f＝－>0， f ＝－<0， 结合选项，因为f ·f <0， 故函数f (x)的零点所在的区间为， 即方程的根x0属于区间． (2)因为函数f (x)＝e－x－2x－5是连续的减函数，f (－2)＝e2－1>0，f (－1)＝e－3<0，所以f (－2)·f (－1)<0，函数f (x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(－2，－1)，即(m，m＋1)上，又m∈Z，所以m＝－2．] 反思领悟　本例(1)解决的关键是将方程根所在的区间转化为函数f (x)＝的零点所在区间，利用零点存在定理对所给选项一一验证即可．本例(2)根据“三个等价关系”解答：①f (x)＝e－x－2x－5的零点就是e－x－2x－5＝0的根，即y＝e－x与y＝2x＋5图象的交点；②画出函数y＝e－x＝和y＝2x＋5的图象，初步判断图象交点所在区间(定性)；③利用零点存在定理求m(定量)． 巩固迁移1　(1)(2025·湖南长沙模拟)设函数f (x)＝x－ln x，则函数y＝f (x)(　　) A．在区间，(1，e)内均有零点 B．在区间，(1，e)内均无零点 C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点 (2)用二分法求函数f (x)＝log3(2x＋4)－在区间(－1，0)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1．(　　) A．2　　 B．3 C．4 D．5 (1)D　(2)C　[(1)令f (x)＝0得x＝ln x． 作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图， 显然y＝f (x)在内无零点，在(1，e)内有零点． (2)∵开区间(－1，0)的长度等于1， 每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n次操作后，区间长度变为， 故有<0.1，解得n≥4， ∴至少经过4次二分后精确度达到0.1．] 考点二　确定函数零点个数 函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点； (2)用零点存在定理再结合函数的单调性确定零点个数； (3)利用函数图象的交点个数判断． [典例2]　(1)函数f (x)＝的零点个数为(　　) A．3　　 B．2 C．1 D．0 (2)函数f (x)＝ln x＋x2－3的零点个数为________． (1)B　(2)1　[(1)由f (x)＝0得， 或 解得x＝－2或x＝e． 因此函数f (x)共有2个零点． 故选B． (2)令f (x)＝0，可得方程ln x＋x2－3＝0，即ln x＝3－x2， 故原函数的零点个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2图象的交点个数． 在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象(如图)． 由图可知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点， 故函数f (x)＝ln x＋x2－3只有一个零点．] 反思领悟　 在本例(1)中，可根据零点的定义直接计算函数零点，进而得出零点个数；本例(2)中，求函数f (x)＝ln x＋x2－3的零点个数，转化为函数y＝3－x2与y＝ln x图象的交点个数，作出图象后观察其交点个数即可． 巩固迁移2　已知函数f (x)＝则函数g(x)＝f (x)－的零点个数为(　　) A．0　　 B．1 C．2 D．3 C　[当x≤0时，令g(x)＝－＝0，解得x＝1，舍去；当x>0时，令g(x)＝|log2x|－＝0，解得x＝或x＝，满足x>0，所以x＝或x＝． 综上，函数g(x)＝f (x)－的零点个数为2．] 考点三　函数零点的应用 　根据函数零点个数求参数 [典例3]　(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f (x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax．当x∈(－1，1)时，曲线y＝f (x)与y＝g(x)恰有一个交点．则a＝(　　) A．－1　　 B． C．1 D．2 D　[法一：令f (x)＝g(x)， 即a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，可得ax2＋a－1＝cos x， 令F (x)＝ax2＋a－1，G(x)＝cos x， 原题意等价于当x∈(－1，1)时，曲线y＝F (x)与y＝G(x)恰有一个交点， 注意到F (x)，G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得F (0)＝G(0)，即a－1＝1，解得a＝2． 若a＝2，令F (x)＝G(x)，可得2x2＋1－cos x＝0， 因为x∈(－1，1)，则2x2≥0，1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号同时成立， 可得2x2＋1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号成立， 则方程2x2＋1－cos x＝0有且仅有一个实根0，即曲线y＝F (x)与y＝G(x)恰有一个交点， 所以a＝2符合题意． 综上所述，a＝2． 法二：令h(x)＝f (x)－g(x)＝ax2＋a－1－cos x，x∈(－1，1)， 原题意等价于h(x)有且仅有一个零点， 因为h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos (－x)＝ax2＋a－1－cos x＝h(x)， 则h(x)为偶函数， 根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0， 即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2． 若a＝2，则h(x)＝2x2＋1－cos x，x∈(－1，1)， 又因为2x2≥0，1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号同时成立， 可得h(x)≥0，当且仅当x＝0时，等号成立， 即h(x)有且仅有一个零点0，所以a＝2符合题意． 故选D．] 反思领悟　本例中，解决的关键是根据偶函数图象的特征判定y＝f (x)与y＝g(x)何时恰有一个交点．若按原函数的关系来研究曲线的交点，问题会很复杂，可将y＝f (x)和y＝g(x)合并后再重新组合，借助偶函数来求解． 巩固迁移3　(2025·济南模拟)已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(1，2]　　 B．(1，2) C．(0，1) D．[1，＋∞) A　[因为函数g(x)＝f (x)－m有三个零点，所以函数y＝f (x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，作出函数f (x)的图象如图所示．由图可知，1<m≤2，即m的取值范围是(1，2]． ] 　根据函数零点的范围求参数 [典例4]　函数f (x)＝2x－－a的零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．0<a<3　　 B．1<a<3 C．1<a<2 D．a≥2 A　[因为函数y＝2x，y＝－在(0，＋∞)上均单调递增，所以函数f (x)＝2x－－a在(0，＋∞)上单调递增，由函数f (x)＝2x－－a的零点在区间(1，2)内，得解得0<a<3．] 反思领悟　本例解题的关键是先判断函数的单调性，再结合零点存在定理，解即得a的取值范围． 巩固迁移4　函数f (x)＝2alog2x＋a·4x＋3在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．a<－　　 B．a<－ C．－<a<－ D．a<－ D　[当a＝0时，f (x)＝3，不符合题意； 当a>0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在上均单调递增，此时函数f (x)在上单调递增； 当a<0时，由于函数y＝2alog2x，y＝a·4x＋3在上均单调递减，此时函数f (x)在上单调递减． 因为函数f (x)在区间上有零点，所以ff (1)<0， 即3(4a＋3)<0，解得a<－．] 形如y＝f (g(x))的复合函数(称此函数为嵌套函数)零点相关问题综合性较强，难度稍大，主要涉及判断函数零点的个数或范围．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解． [典例]　函数f (x)＝若函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________． [－1，＋∞)　[设t＝f (x)，令f (f (x))－a＝0，则a＝f (t)． 在同一坐标系内作y＝a，y＝f (t)的图象(如图)． 当a<－1时，y＝a与y＝f (t)的图象有一个交点，不符合题意； 当a≥－1时，y＝a与y＝f (t)的图象有两个交点． 设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1． 当t1<－1时，t1＝f (x)有一解； 当t2≥－1时，t2＝f (x)有两解． 综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f (f (x))－a有三个不同的零点．] 反思领悟　该类问题考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合思想是解决本类问题的关键．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合，如本例由y＝a与y＝f (t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由y＝f (x)与y＝t的图象确定零点的个数． 应用体验　(1)已知函数f (x)＝则方程f (f (x))＝1的实数根的个数为(　　) A．7　　 B．5 C．3 D．2 (2)已知f (x)＝|3x－1|＋2，若关于x的方程－(2＋a)f (x)＋2a＝0有三个实根，则实数a的取值范围是(　　) A．1<a<2　　 B．a>2 C．2<a<3 D．a>3 (1)B　(2)C　[(1)令f (x)＝t，则f (t)＝1． ①当t≤2时，2|t|－1＝1，∴2|t|＝2，∴|t|＝1，即t＝±1． ②当t>2时，＝1，∴t＝3． 画出函数f (x)的图象，如图所示，若t＝－1，即f (x)＝－1，无解； 若t＝1，直线y＝t＝1与y＝f (x)的图象有3个交点，即f (f (x))＝1有3个不同实根； 若t＝3，直线y＝t＝3与y＝f (x)的图象有2个交点，即f (f (x))＝1有2个不同实根． 综上所述，方程f (f (x))＝1的实数根的个数为5．故选B． (2)因为[f (x)]2－(2＋a)f (x)＋2a＝0，所以f (x)＝2或f (x)＝a，作出函数f (x)的图象如图所示，由图可得f (x)＝2有一个实根0，所以要使f (x)＝a有两个不同非零实根，只需2<a<3．故选C． ] 1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T4改编)函数y＝－ln x的零点所在区间是(　　) A．(3，4)　　 B．(2，3) C．(1，2) D．(0，1) B　[因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，所以函数y＝－ln x在(0，＋∞)上是减函数．又当x＝2时，y＝－ln 2>0；当x＝3时，y＝1－ln 3<0，两函数值异号，所以函数y＝－ln x的零点所在区间是(2，3)．] 2．(2025·重庆模拟)函数f (x)＝ex＋x－3在区间(0，1)上的零点个数是(　　) A．0　　 B．1 C．2 D．3 B　[由题知函数f (x)是增函数．根据函数零点存在定理及f (0)＝－2<0，f (1)＝e－2>0，f (0)·f (1)<0，可知函数f (x)在区间(0，1)上有且只有一个零点．故选B．] 3．已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0)　　 B． C．(1，＋∞) D．(0，1) D　[令g(x)＝f (x)－m＝0，得f (x)＝m，根据分段函数f (x)的解析式，作出函数f (x)的图象，如图所示．由题可知函数y＝f (x)的图象和直线y＝m有3个交点，根据图象可得实数m的取值范围是(0，1)．] 4．已知函数f (x)＝g(x)＝f (x)－x＋a，若g(x)存在3个零点，则实数a的取值范围为________． 　[函数g(x)＝f (x)－x＋a存在3个零点，等价于函数f (x)的图象与y＝x－a的图象有3个交点．画出函数f (x)和y＝x－a的图象如图所示．根据图象易知，要使函数f (x)和y＝x－a的图象有3个交点，则－<－a≤0，即0≤a<．] 【教用·备选题】 1．(2025·毕节市模拟)已知x1是函数f (x)＝ex＋x－2的零点，x2是函数g(x)＝e4-x－x＋2的零点，则x1＋x2的值为(　　) A．3　　 B．4 C．5 D．6 B　[因为x1是函数f (x)＝ex＋x－2的零点， 所以＋x1－2＝0，即＝2－x1． 因为x2是函数g(x)＝e4-x－x＋2的零点， 所以－x2＋2＝0，即＝x2－2．令t＝4－x2， 则x2＝4－t，所以et＝4－t－2＝2－t，所以＝et， 即x1＝t＝4－x2，所以x1＋x2＝4． 故选B．] 2．(2024·六安市金安区期末)若函数f (x)＝若关于x的方程f 2(x)＋(1－a)f (x)－a＝0恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围为(　　) A．(0，3)　　 B．[1，3) C．(1，3) D．[1，3] B　[由题意可得，[f (x)－a][f (x)＋1]＝0， ∴f (x)＝a 或f (x)＝－1， 画出函数f (x)的图象如图所示， 观察可得，f (x)＝－1没有实数根， 则原问题转化为方程f (x)＝a有两个不同的实数根， 注意到函数的最大值为f (2)＝3， 故1≤a＜3，即实数a的取值范围是[1，3)．故选B．] 3．(多选)(2025·福建三明模拟)已知a是方程ex＋x－4＝0的实根，则下列各数为正数的是(　　) A．a2－2a　　 B．ea－2 C．ln a D．a2－a3 BC　[令f (x)＝ex＋x－4，x∈R，因为y＝ex与y＝x－4在R上均单调递增， 所以f (x)在R上单调递增，又因为f (1)＝e－3＜0，f (2)＝e2－2＞0， 所以函数y＝f (x)只有一个零点，且位于区间(1，2)，所以a∈(1，2)． 对于A，由二次函数的性质可知当a∈(1，2)时，a2－2a＜0，不符合题意； 对于B，当a∈(1，2)时，ea∈(e，e2)， 所以ea－2＞e－2＞0，符合题意； 对于C，当a∈(1，2)时，由对数函数的性质可知ln a＞0，满足题意； 对于D，当a∈(1，2)时，a2－a3＝a2(1－a)＜0，不符题意． 故选BC．] 4．(多选)(2025·青海模拟)设函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－a恰有2个零点，则实数a的值可能为(　　) A． B． C． D．3 AC　[令g(x)＝f (x)－a＝0，得f (x)＝a， 即直线y＝a与y＝f (x)的图象有两个交点， 由题意可知，当x＜1时，f (x)＝2x＋1单调递增，且2x＋1＞1． 当x≥1时，f (x)＝单调递减， 作出f (x)的大致图象，如图所示． 由图可知，当a∈(1，3)时，g(x)＝f (x)－a恰有2个零点． 故选AC．] 课后习题(十五)　函数的零点与方程的解 1．(人教A版必修第一册P144练习T1改编)已知函数f (x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f (a)f (b)<0，则方程f (x)＝0在区间[a，b]上(　　) A．至少有一实数解 B．至多有一实数解 C．没有实数解 D．必有唯一的实数解 D　[∵f (x)为连续函数，且f (a)f (b)<0， ∴函数f (x)在区间[a，b]上至少有一个零点， ∵函数f (x)在区间[a，b]上单调，∴函数f (x)在区间[a，b]上至多有一个零点， 故函数f (x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f (x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数解．] 2．(北师大版必修第一册P131例1改编)函数f (x)＝x＋log2x的零点所在的区间为(　　) A． B． C． D． B　[f (x)＝x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增， f ＝＋log2＝－log23<－log22 ＝－<0，f ＝＋log2＝－<0， f ＝＋log2＝－log23＝＝(log232－log227)>0，则函数f (x)＝x＋log2x的零点所在的区间为．] 3．(人教A版必修第一册P143例1改编)函数f (x)＝2x|log2x|－1的零点个数为(　　) A．0　　 B．1 C．2 D．4 C　[令f (x)＝0，得|log2x|＝，在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝|log2x|与y＝的图象如图所示，由图可知，函数y＝|log2x|与y＝的图象有2个交点，即函数f (x)有2个零点．故选C．] 4．(多选)(人教A版必修第一册P160复习参考题4T4改编)已知函数f (x)＝对于方程f (x)＝k(k<0)，下列说法正确的是(　　) A．当k<－4时，f (x)＝k有1个解 B．若f (x)＝k有2个解，则k>－3 C．当－4<k≤－3时，f (x)＝k有3个解 D．f (x)＝k可能有4个解 AC　[作出f (x)的图象与直线y＝k，如图． 由图象可知， 当k<－4时，f (x)＝k有1个解，A正确； 当k＝－4或k>－3时，f (x)＝k有2个解，B错误； 当－4<k≤－3时，f (x)＝k有3个解，C正确； f (x)＝k不可能有4个解，D错误．] 5．(2024·北京学业考试)函数f (x)＝x(x2＋1)的零点为(　　) A．－1　　 B．0 C．1 D．2 B　[令f (x)＝x(x2＋1)＝0，则x＝0， 即函数f (x)＝x(x2＋1)的零点为0．故选B．] 6．(2024·广州越秀区期末)函数f (x)＝x＋ln x－5的零点所在的一个区间是(　　) A．(0，1)　　 B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) D　[由题意，x＞0，函数f (x)＝x＋ln x－5在定义域上单调递增， f (1)＝1＋ln 1－5＝－4＜0，f (2)＝2＋ln 2－5＜2＋ln e－5＝－2＜0， f (3)＝3＋ln 3－5＜3＋ln e2－5＝0，f (4)＝4＋ln 4－5＞4＋ln e－5＝0， ∴零点所在的一个区间是(3，4)．故选D．] 7．(2025·漯河模拟)函数f (x)＝ln x＋x2＋a，则“a＜－1”是“函数f (x)在(1，e)上存在零点”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 C　[因为f (x)＝ln x＋x2＋a，x＞0，y＝ln x和y＝x2在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x)＝ln x＋x2＋a在(0，＋∞)上单调递增， 当函数在(1，e)上存在零点时， 则有 解得－1－e2＜a＜－1， 又因为(－1－e2，－1)⊆(－∞，－1)， 所以“a＜－1”是“函数f (x)在(1，e)上存在零点”的必要不充分条件． 故选C．] 8．(2025·渭南模拟)函数f (x)＝3x|log2x|－1的零点个数为(　　) A．0　　 B．1 C．2 D．3 C　[函数f (x)＝3x|log2x|－1的零点， 即3x|log2x|－1＝0的解， 即|log2x|＝的解， 即y＝|log2x|与y＝图象的交点，如图所示， 从函数图象可知，y＝|log2x|与y＝的图象有2个交点，即函数f (x)的零点个数为2．] 9．(2024·北京通州区期末)已知函数f (x)＝若g(x)＝f (x)－a有3个零点，则a的取值范围为(　　) A．(－1，0)　　 B． C． D．∪{－1} B　[设h(x)＝(x＞0)，则h′(x)＝， 令h′(x)＞0，解得0＜x＜e，令h′(x)＜0，解得x＞e， 所以函数h(x)在(0，e)单调递增，在(e，＋∞)单调递减． 所以h(x)max＝．因为g(x)＝f (x)－a＝0， 所以f (x)＝a有三个根．作出函数y＝f (x)和y＝a的图象如图所示， 所以a的取值范围为．故选B．] 10．(2025·广东模拟)若函数f (x)＝|2x－3|－1－m只有1个零点，则m的取值范围是________． [2，＋∞)∪{－1}　[由f (x)＝|2x－3|－1－m＝0，得|2x－3|－1＝m． 设函数g(x)＝|2x－3|－1＝ 作出g(x)的大致图象，如图所示． 由图可知，m的取值范围是[2，＋∞)∪{－1}． ] 11．(2025·天津红桥区模拟)对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f (x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数y＝f (x)＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是________． ∪[2，＋∞)　[∵a⊗b＝ ∴函数f (x)＝(x2－2)⊗(x－x2)＝ 由图可知，当－c∈(－∞，－2]， 即c∈∪[2，＋∞)时， 函数f (x) 与y＝－c的图象有两个公共点， ∴实数c的取值范围是∪[2，＋∞)．] 12．(2025·海南模拟)已知函数f (x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f (x)＝x2－2x． (1)求出函数f (x)在R上的解析式； (2)画出函数f (x)的图象，并写出单调区间； (3)若y＝f (x)的图象与y＝m有3个交点，求实数m的取值范围． [解]　(1)①由于函数f (x)是定义域为R的奇函数，f (0)＝0； ②当x＜0时，－x＞0，因为f (x)是奇函数， 所以f (－x)＝－f (x)． 所以f (x)＝－f (－x)＝－[(－x)2＋2x]＝－x2－2x， 综上，函数f (x)在R上的解析式为 f (x)＝ (2)图象如图所示， 单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1)． (3)因为方程f (x)＝m有三个不同的解，由图象可知，满足题意的m的取值范围为(－1，1)． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$