第二章 第9课时 函数的图象及应用-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word（基础版）

第9课时　函数的图象及应用 [考试要求]　1．掌握基本初等函数的图象特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题．2．掌握图象的作法：描点法和图象变换．3．会运用函数的图象，理解和研究函数性质． 考点一　作函数图象 1．利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)； (4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 提醒：(1)左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换． (2)图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行． (2)对称变换 ①y＝f (x)的图象 y＝－f (x)的图象； ②y＝f (x)的图象 y＝f (－x)的图象； ③y＝f (x)的图象 y＝－f (－x)的图象； ④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y＝f (x)的图象 ＝f (ax)的图象； ②y＝f (x)的图象 y＝af (x)的图象． (4)翻折变换 ①y＝f (x)的图象y＝|f (x)|的图象； ②y＝f (x)的图象y＝f (|x|)的图象． [典例1]　分别作出下列函数的图象． (1)y＝|lg (x－1)|； (2)y＝2x+1－1； (3)y＝x2－|x|－2； (4)y＝． [解]　(1)首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg (x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg (x－1)|的图象，如图1所示(实线部分)． (2)将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x+1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x+1－1的图象，如图2所示． (3)y＝x2－|x|－2＝其图象如图3所示． (4)因为y＝＝2＋，所以该函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图4所示． 反思领悟　(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数，三角函数y＝sin x、y＝cos x等函数． (2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序和函数定义域． 巩固迁移1　作出下列函数的图象． (1)y＝10|lg x| ；(2)y＝|log2x－1|． [解]　(1)y＝10|lg x|＝其图象如图1所示． (2)先作出y＝log2x的图象，再将图象向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图2所示． 考点二　函数图象的识别 　由式识图 [典例2]　(2024·全国甲卷)函数f (x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为(　　) A　　　　 　　　　B C　　　　 　　　　D B　[f (－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f (x)， 又函数定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又f (1)＝－1＋sin 1>－1＋sin ＝－1－>>0， 故可排除D． 故选B．] 反思领悟　本例先根据奇偶性排除AC，再由特殊值f (1)>0，排除D． 巩固迁移2　函数f (x)＝的部分图象大致为(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D B　[因为x∈R，f (－x)＝＝－f (x)，所以f (x)为奇函数，f (x)的图象关于原点对称，当0<x<时，f (x)>0，排除选项A，D；当<x<π时，f (x)<0，排除C．故选B．] 　由图辨式 [典例3]　(2023·天津卷)函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可能为(　　) A．f (x)＝　　 B．f (x)＝ C．f (x)＝ D．f (x)＝ D　[由题图知，函数图象关于y轴对称，其为偶函数，故排除A，B； 当x>0时，>0恒成立，排除C选项． 故选D．] 反思领悟　本例由图知函数为偶函数，排除AB，由在(0，＋∞)上的函数符号排除C，即得答案． 【教用·反思领悟】 1．抓住函数的性质，定性分析： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． 2．抓住函数的特征，定量计算：寻找函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． 巩固迁移3　(人教A版必修第一册P139练习T4改编)若函数y＝f (x)的大致图象如图所示，则f (x)的解析式可能是(　　) A．f (x)＝ B．f (x)＝ C．f (x)＝ D．f (x)＝ C　[由题图可知，当x∈(0，1)时，f (x)<0，取x＝，则对于B，f ＝＝1>0，排除B．对于D，f ＝＝>0，排除D．当x>0时，对于A，f (x)＝＝1＋，此函数的图象是由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，所以当x>1时，f (x)>1恒成立，而题图中，当x>1时，f (x)可以小于1，排除A．综上，C正确．] 【教用·备选题】 如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是(　　) A　　　　　　B C　　　　　　D C　[当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．] 考点三　函数图象的应用 [典例4]　(1)(多选)已知函数f (x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．函数f (x)的图象关于点(1，2)成中心对称 B．函数f (x)在(－∞，1)上单调递减 C．函数f (x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴 D．函数f (x)的图象关于直线x＝1对称 (2)已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－a有三个零点，则a的取值范围是(　　) A．(0，1)　　 B．(0，2] C．(2，＋∞) D．(1，＋∞) (1)AB　(2)A　[(1)因为f (x)＝＝＝＋2，所以该函数图象可以由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，所以函数f (x)的图象关于点(1，2)成中心对称，在(－∞，1)上单调递减，A，B正确，D错误；易知函数f (x)的图象是由y＝的图象平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误． (2)要使函数g(x)＝f (x)－a有三个零点， 则f (x)＝a有三个不相等的实根，即y＝f (x)与y＝a的图象有三个交点， 当x≤－1时，f (x)＝1－3x+1在(－∞，－1]上单调递减，f (x)∈[0，1)； 当－1<x≤0时，f (x)＝3x+1－1在(－1，0]上单调递增，f (x)∈(0，2]； 当x>0时，f (x)＝ln x在(0，＋∞)上单调递增， f (x)∈R．作出函数f (x)的图象，如图所示． 由y＝f (x)与y＝a的图象有三个交点，结合函数图象可得a∈(0，1)．] 反思领悟　解决本例(1)需熟知常见图象的函数，再借助图象研究其性质；本例(2)解决的关键是转化为函数图象的交点问题，结合图象即可． 巩固迁移4　(1)已知函数f (x)＝若f (a－3)＝f (a＋2)，则f (a)＝(　　) A．2　　 B． C．1 D．0 (2)已知函数f (x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx．若方程f (x)＝g(x)有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________． (1)B　(2)　[(1)作出函数f (x)的图象如图所示．因为f (a－3)＝f (a＋2)，且a－3<a＋2，所以即－2<a≤3，此时f (a－3)＝a－3＋3＝a，f (a＋2)＝，所以a＝，即a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1(不满足a＝，舍去)，则f (a)＝． (2)先作出函数f (x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时，斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时，斜率为，故当f (x)＝g(x)有两个不相等的实数根时，实数k的取值范围为． ] 1．已知函数f (x)＝则y＝－f (x)的图象大致为(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D C　[结合题意可得，当x<0时，f (x)＝x-2＝为幂函数，其在(－∞，0)上单调递增； 当x≥0时，f (x)＝＝也为幂函数，其在[0，＋∞)上单调递增． 故函数f (x)＝的大致图象如图所示． 要得到y＝－f (x)的图象，只需将y＝f (x)的图象沿x轴对称即可．故选C．] 2．已知某函数的图象如图所示，则下列解析式与此图象最为符合的是(　　) A．f (x)＝　　 B．f (x)＝ C．f (x)＝ D．f (x)＝ B　[由题中函数的图象可知该函数是偶函数，定义域为(－∞，－1)∪(－1，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)． 对于A，因为所以x≠±1且x≠0，所以定义域符合． 因为f (－x)＝＝－f (x)，所以函数不是偶函数，故A不符合． 对于B，因为所以x≠±1且x≠0， 所以定义域符合．因为f (－x)＝＝f (x)， 所以函数是偶函数，符合所给图象特征． 对于C，由x2－1≠0得x≠±1，所以函数的定义域不符合． 对于D，由x2－1≠0得x≠±1，所以函数的定义域不符合．] 3．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则组合形成的图形的面积或体积保持不变．利用这个原理，解决下面问题：已知函数f (x)满足f (8－x)＝f (x)，且当x∈[0，4]时，f (x)的解析式为f (x)＝则函数y＝f (x)在x∈[0，8]上的图象与直线y＝2所围成封闭图形的面积为(　　) A．4　　 B．8 C．16 D．32 C　[由题意知f (x)的图象关于直线x＝4对称，而当x∈[0，4]时，f (x)＝且f (0)＝f (8)＝2，f (4)＝－2，所以在x∈[0，8]上，作出f (x)的图象及直线y＝2，如图所示．由图知，将所围成的图形在x轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x轴上半部分阴影区域，可得到如图所示的图形，由x轴、y轴、y＝2、x＝8所围成的矩形的面积即为所求，所以函数y＝f (x)在x∈[0，8]上的图象与直线y＝2所围成封闭图形的面积为16． ] 4．已知奇函数f (x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf (x)<0的解集为________． (－2，－1)∪(1，2)　[∵xf (x)<0，∴x和f (x)异号，由于f (x)为奇函数，补全函数的图象如图． 当x∈(－2，－1)∪(0，1)∪(2，＋∞)时，f (x)>0， 当x∈(－∞，－2)∪(－1，0)∪(1，2)时，f (x)<0， ∴不等式xf (x)<0的解集为(－2，－1)∪(1，2)．] 【教用·备选题】 1．(2024·长春绿园区期末)若函数f (x)＝sin x＋3|sin x|在x∈[0，2π]的图象与直线y＝2a有两个交点，则a的取值范围为(　　) A．(2，4)　　 B．(1，3) C．(1，2) D．(2，3) C　[函数f (x)＝sin x＋3|sin x|，当x∈[0，π]时，f (x)＝4sin x． 当x∈[π，2π]时，f (x)＝－2sin x．可得f (x)的图象如图， 若f (x)的图象与直线y＝2a有两个交点，则2a＞2，且2a＜4， 所以a的取值范围为(1，2)． 故选C．] 2．(2025·新乡模拟)函数f (x)＝(－π≤x≤π)的图象大致为(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D A　[根据题意，函数f (x)＝(－π≤x≤π)， 有f (－x)＝＝＝f (x)，所以f (x)是偶函数，排除C，D； 若f (x)＝0，即x sin x＝0，解得x＝0或x＝±π， 即f (x)在[－π，π]上的零点为0，±π，排除B．故选A．] 3．(2025·天津模拟)如图是函数f (x)的部分图象，则f (x)的解析式可能为(　　) A．f (x)＝　　　　 B．f (x)＝ C．f (x)＝ D．f (x)＝ D　[由题图可知，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，排除选项B； 由图象关于y轴对称，即函数为偶函数， 而y＝cos 5x为偶函数，y＝2－x－2x为奇函数， 则f (x)＝为奇函数，排除选项C； 又当x→0＋时，f (x)＜0，而此时sin 5x＞0，2x－2－x＞0，2－x－2x＜0， 则f (x)＝>0，f (x)＝<0， 选项A不合题意，选项D符合题意．故选D．] 课后习题(十四)　函数的图象及应用 1．(人教A版必修第一册P140习题4.4T6改编)某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变．则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D A　[∵前3年年产量的增长速度越来越快，∴当0≤t≤3时，随着t的增大，c的增长速度越来越快，c关于t的函数图象下凹．又后3年年产量保持不变，∴当3<t≤6时，c随着t的增大保持固定的增长速度．故选A．] 2．(人教B版必修第二册P40例2改编)函数f (x)＝的大致图象是(　　) A　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　D B　[易知函数f (x)的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，因为f (－x)＝＝－，所以函数f (x)为非奇非偶函数，排除A，易知当x>1时，f (x)>0，故排除C；因为f ＝，f ＝，所以f <f ，所以排除D．故选B．] 3．(苏教版必修第一册P164复习题T11改编)已知函数f (x)＝若函数y＝f (x)的图象与直线y＝－x＋a有两个不同的交点，则实数a的取值范围是________． (－∞，1]　[分别作出函数y＝f (x)与y＝－x＋a的大致图象，如图所示．数形结合可知，当a≤1时，两个函数的图象有两个不同的交点，故实数a的取值范围是(－∞，1]． ] 4．(人教B版必修第二册P52复习题A组T8改编)已知函数f (x)＝则不等式f (2x－1)<2的解集是________． 　[作出函数f (x)的图象如图所示， 由图可知，函数f (x)在R上单调递增，因为f (4)＝log24＝2，所以f (2x－1)<2等价于f (2x－1)<f (4)，即2x－1<4，解得x<，所以不等式f (2x－1)<2的解集是．] 5．(2025·巴彦淖尔模拟)向如图放置的空容器中注水，直至注满为止．下列图象可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是(　　) 　　 A　　　　　　　　B 　　 C　　　　　　　　D A　[在注水的过程中，容器横截面面积越大，水的体积增长越快． 故选A．] 6．(2025·金华模拟)函数f (x)＝的图象为(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D C　[函数f (x)的定义域为{x|x≠0}， f (－x)＝＝＝－f (x)，所以函数f (x)为奇函数，即图象关于原点对称，故A，B错误； 又有f ＝<0，故D错误． 故选C．] 7．(2025·阜阳太和模拟)设奇函数f (x)的定义域为[－5，5]，当x∈[－5，0]时，函数f (x)的图象如图所示，则不等式f (x)＞0的解集为(　　) A．(－5，－2)　　 B．(0，2)　 C．(－5，－2)∪(0，2) D．(－2，0)∪(2，5) C　[因为函数f (x)是奇函数，所以f (x)在[－5，5]上的图象关于坐标原点对称， 由f (x)在x∈[－5，0]上的图象，知它在[0，5]上的图象如图所示， 则不等式f (x)＞0的解集为(－5，－2)∪(0，2)． 故选C．] 8．(2025·郑州新郑市模拟)在直角坐标平面上将函数f (x)＝ax+1－2(a＞0，a≠1)的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得新函数g(x)的图象恒过定点(　　) A．(－2，0)　　 B．(0，1) C．(2，－1) D．(0，－1) A　[因为f (x)＝ax+1－2(a＞0，a≠1)，令x＋1＝0，得x＝－1，f (－1)＝a0－2＝－1， 所以f (x)的图象过定点(－1，－1)， 将定点(－1，－1)向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得(－2，0)， 所以g(x)的图象恒过定点(－2，0)． 故选A．] 9．(多选)(2025·沈阳模拟)下列图象可以作为函数f (x)＝的图象的有(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D BCD　[根据题意，函数f (x)＝， 当a＝0时，f (x)＝＝，是反比例函数，其图象与D选项对应，D正确； 当a＞0时，f (x)＝，其定义域为R，有f (－x)＝－＝－f (x)，是奇函数，且当x→＋∞时，f (x)→0，其图象与B选项对应，B正确； 当a＜0时，f (x)＝，其定义域为{x|x≠±}，有f (－x)＝－＝－f (x)，是奇函数， 当a＝－4时，f (x)＝，其定义域为{x|x≠±2}，有f (－x)＝－＝－f (x)，是奇函数，其图象与C选项对应，C正确； 选项A中函数定义域为{x|x≠0}，与函数f (x)＝＝不相符，A错误． 故选BCD．] 10．(2025·沈阳模拟)已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则函数f (x)的解析式可能是(　　) A．f (x)＝＋ln |x| B．f (x)＝＋ln |x| C．f (x)＝＋2ln |x| D．f (x)＝－＋ln |x| B　[根据题意，依次分析选项：对于A，f (x)＝＋ln |x|，其定义域为{x|x≠0}，有f (－x)＝＋ln |x|＝f (x)，函数为偶函数，不符合题意；对于B，f (x)＝＋ln |x|，有f (1)＝1，f (－1)＝－1，当x＞0时，f (x)＝＋ln x，其导数f ′(x)＝＝， 在区间(0，1)上，f ′(x)＜0，函数f (x)单调递减，在区间(1，＋∞)上，f ′(x)＞0，函数f (x)单调递增，符合题意；对于C，f (x)＝＋2ln |x|，有f (1)＝1，f (－1)＝－1，当x＞0时，f (x)＝＋2ln x，其导数f ′(x)＝－＝，在区间上，f ′(x)＜0，函数f (x)单调递减，在区间上，f ′(x)＞0，函数f (x)单调递增，不符合题意； 对于D，f (x)＝－＋ln |x|，有f (－1)＝1，不符合题意．故选B．] 11．(2025·成都青羊区模拟)已知如图为函数f (x)的图象，则f (x)的解析式可能是(　　) A．f (x)＝　　　　　 B．f (x)＝ C．f (x)＝ D．f (x)＝ B　[由题图可知，函数y＝f (x)为奇函数，在(1，＋∞)上先减后增，当x>1时，f (x)>0； 对于D选项，函数f (x)＝，定义域为{x|x≠0且x≠±1}，不合题意； 对于A选项，f (x)＝，当x>1时，令f (x)＝0⇒sin x＝0，则x＝kπ(k∈N*)，不合题意； 对于C选项，当x>1时，f (x)＝， 则f ′(x)＝，当1<x<时， f ′(x)<0，当x>时，f ′(x)>0， 则函数f (x)＝在上单调递减， 在上单调递增， f (x)min＝f ＝，与图象不符，不合题意．故选B．] 12．(2025·北京朝阳区模拟)已知函数f (x)＝，给出下列四个结论： ①函数f (x)在(－∞，2)上单调递增； ②函数f (x)的图象关于直线x＝2对称； ③f (x)＋2＞0恒成立； ④函数y＝f (x)－x＋1有且只有一个零点． 其中所有正确结论的序号是________． ①③④　[因为f (x)＝＝ 即f (x)＝ 作出函数的图象，如图所示， 由此可得函数f (x)在(－∞，2)上单调递增，故①正确； 因为f (3)＝6，f (1)＝2，所以函数的图象不关于x＝2对称，故②错误； 因为当x＞2时，f (x)＝2＋＞2，此时f (x)＋2＝4＋＞4＞0恒成立， 当x＜2时，f (x)＝－2－＞－2，此时f (x)＋2＝－＞0恒成立， 综上，f (x)＋2＞0恒成立，故③正确； 令y＝f (x)－x＋1＝0， 则有f (x)＝x－1，当x＞2时，则有2＋＝x－1，解得x＝； 当x＜2时，则有－2－＝x－1，解得x∈∅， 所以y＝f (x)－x＋1＝0只有一个根， 即函数y＝f (x)－x＋1有且只有一个零点，故④正确．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$