第二章 第4课时 函数的奇偶性、周期性-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word（基础版）

第4课时　函数的奇偶性、周期性 [考试要求]　1．了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义．2．会依据函数的性质进行简单的应用． 考点一　函数奇偶性的判断 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数 关于原点对称 提醒：定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑函数定义域． [常用结论]　奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． [典例1]　(人教A版必修第一册P84例6改编)判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝x3－； (2)f (x)＝； (3)f (x)＝ (4)f (x)＝loga(mx＋)(m≠0)． [解]　(1)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且对于定义域内的任意一个x都有f (－x)＝(－x)3－＝－＝－f (x)，从而函数f (x)为奇函数． (2)f (x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0， 所以f (x)既是奇函数又是偶函数． (3)f (x)的定义域为R，关于原点对称，当x>0时，f (－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f (x)；当x<0时，f (－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f (x)；当x＝0时，f (0)＝0，也满足f (－x)＝－f (x)．故该函数为奇函数． (4)f (x)的定义域为R，f (－x)＝loga(－mx＋)＝loga＝ loga(＋mx)-1＝－loga(mx＋)＝－f (x)， 所以f (x)为奇函数． 反思领悟　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，否则既不是奇函数也不是偶函数． (2)判断f (x)与f (－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x)＋f (－x)＝0(奇函数)或f (x)－f (－x)＝0(偶函数))是否成立． 巩固迁移1　(1)(多选)下列命题正确的是(　　) A．奇函数的图象一定过坐标原点 B．函数y＝x sin x是偶函数 C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数 D．函数y＝是奇函数 (2)已知f (x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是(　　) A．f (x)＋g(x)为R上的奇函数 B．f (x)－g(x)为R上的偶函数 C．为R上的偶函数 D．|f (x)g(x)|为R上的偶函数 (1)BC　(2)D　[(1)对于A，只有奇函数在x＝0处有定义时，函数的图象过原点，所以A不正确； 对于B，因为函数y＝x sin x的定义域为R且f (－x)＝(－x)sin (－x)＝f (x)， 所以该函数为偶函数，所以B正确； 对于C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R， 且f (－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f (x)， 所以函数为奇函数，所以C正确； 对于D，函数y＝满足x－1≠0，即x≠1， 所以函数的定义域不关于原点对称， 所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，所以D不正确． (2)因为f (x)为R上的奇函数， g(x)为R上的偶函数， 所以f (－x)＝－f (x)，g(－x)＝g(x)． 对于A，x∈R，设F (x)＝f (x)＋g(x)， 则F (－x)＝f (－x)＋g(－x)＝－f (x)＋g(x)≠－f (x)－g(x)＝－F (x)，故错误； 对于B，x∈R，设N(x)＝f (x)－g(x)， 则N(－x)＝f (－x)－g(－x)＝－f (x)－g(x)≠f (x)－g(x)＝N(x)，故错误； 对于C，x∈R，g(x)≠0，设M(x)＝， M(－x)＝＝－＝－M(x)≠M(x)，故错误； 对于D，x∈R，设H(x)＝|f (x)g(x)|， H(－x)＝|f (－x)g(－x)|＝|－f (x)g(x)|＝|f (x)g(x)|＝H(x)， 所以H(x)为偶函数，故正确．] 考点二　函数奇偶性的应用 [典例2]　(1)(2024·邯郸期末)已知f (x)为奇函数，当x＞3时，f (x)＝x2－，则f (－4)＝(　　) A．－9　　 B．9 C．－17 D．17 (2)(2023·新高考Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1　　 B．0 C． D．1 (3)(2024·海淀区二模)设f (x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x＞0时，f (x)＝x2＋1，则f (x)的解析式为____________． (1)A　(2)B　(3)f (x)＝[(1)因为f (x)为奇函数，当x＞3时，f (x)＝x2－，所以f (4)＝9， 则f (－4)＝－f (4)＝－9．故选A． (2)法一：设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B． 法二：因为f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，f (－1)＝(a－1)ln 3，f (1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0，经验证，a＝0符合题意．故选B． (3)因为f (x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x＞0时，f (x)＝x2＋1， 所以当x＝0时，f (0)＝0； 当x＜0时，－x＞0，则有f (－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝－f (x)⇒f (x)＝－x2－1， 综上所述，f (x)＝] 反思领悟　本例(1)先求出f (4)，再借助奇函数f (－x)＝－f (x)来解决；本例(2)先求出定义域(定义域优先)，再利用奇函数×奇函数＝偶函数，将f (x)分成两个函数相乘，分别讨论其奇偶性，或用特殊值求a；本例(3)求解析式，先将待求区间(－∞，0)的自变量转化到已知解析式x>0时，f (x)＝x2＋1上，再利用f (－x)＝－f (x)求解． 巩固迁移2　(1)已知奇函数f (x)的定义域为R，且当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝－－m，若f (－2 024)＋f (0)＝2，则实数m＝________． (2)已知函数f (x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f (x)＋g(x)＝2·3x，则函数f (x)＝________． (1)1　(2)3x＋3－x　[(1)由f (x)为R上的奇函数，得f (－x)＝－f (x)且f (0)＝0，又f (－2 024)＋f (0)＝2，所以1＋m＋0＝2，得m＝1． (2)因为f (x)＋g(x)＝2·3x，所以f (－x)＋g(－x)＝2·3－x，又f (x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)，所以f (－x)＋g(－x)＝f (x)－g(x)＝2·3－x，则两式相加得，2f (x)＝2·3x＋2·3－x，所以f (x)＝3x＋3－x．] 考点三　函数的周期性及应用 1．周期函数：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f (x＋T)＝f (x)，那么函数y＝f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期． [常用结论] 对f (x)定义域内任一自变量的值x： (1)f (x＋a)＝f (x－a)，则函数的周期为2a； (2)f (x＋a)＝－f (x)，则函数的周期为2a； (3)f (x＋a)＝－(f (x)≠0)，则函数的周期为2a． [典例3]　(1)(2024·安康统考)设f (x)是定义域为R的偶函数，且f (2＋x)＝f (－x)，f ＝，则f 等于(　　) A．－　　 B．－ C． D． (2)(2025·泸州模拟)已知定义在R上的函数f (x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f (－1)＝1，f (0)＝－2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 025)的值为(　　) A．2 024　　 B．2 023 C．1 D．0 (1)C　(2)D　[(1)因为f (x)是定义域为R的偶函数，所以f (－x)＝f (x)， 故f (2＋x)＝f (－x)＝f (x)， 所以f (x)的一个周期为2， 故f ＝f ＝f ＝f ＝． (2)因为f (x)的周期为3， f (－1)＝1，则f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝1， 又f (0)＝－2，则f (3)＝f (0＋3)＝f (0)＝－2， 因为函数f (x)在R上的图象关于y轴对称， 所以f (x)为偶函数， 故f (1)＝f (－1)＝1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＝0． 故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 025)＝675×0＝0．] 反思领悟　本例(1)的解题关键是根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；本例(2)的解题关键是利用函数的周期性，求出f (1)，f (2)，f (3)的值，进而解决问题． 巩固迁移3　(1)已知f (x)是定义在R上的奇函数，∀x∈R，都有f (x＋4)＝f (x)，若当x∈[0，1]时，f (x)＝log2(x＋a)，则f (－7)＝(　　) A．－1　　 B．0 C．1 D．2 (2)若f (x)满足f (x＋2)＝－f (x)，且f (1)＝－5，则f (f (5))＝________． (1)C　(2)5　[(1)∵f (x)是定义在R上的奇函数， ∴f (0)＝0，得a＝1，∴当x∈时， f (x)＝log2(x＋1)，∀x∈R，都有f (x＋4)＝f (x)， ∴f (x)是周期为4的周期函数， ∴f (－7)＝f (－7＋8)＝f (1)＝1．故选C． (2)因为f (x＋2)＝－f (x)，所以T＝4，所以f (5)＝f (1)＝－5，所以f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)． 令x＝－1，则f (1)＝－f (－1)＝－5， 所以f (f (5))＝f (－1)＝5．] 1．下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝sin x　　 B．y＝cos x C．y＝x3 D．y＝2x B　[对于A，由正弦函数的性质可知，y＝sin x为奇函数； 对于B，由余弦函数的性质可知，y＝cos x为偶函数； 对于C，由幂函数的性质可知，y＝x3为奇函数； 对于D，由指数函数的性质可知，y＝2x既不是奇函数也不是偶函数．故选B．] 2．已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋1)＝－f (x)，则f (2 024)＝(　　) A．－1　　 B．0 C．1 D．2 B　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0，f (x＋2)＝f (x＋1＋1)＝－f (x＋1)＝f (x)，所以f (x)是周期为2的周期函数，所以f (2 024)＝f (0)＝0．] 3．已知函数f (x)＝2x－2－x＋5，若f (m)＝4，则f (－m)等于(　　) A．4　　 B．6 C．－4 D．－6 B　[由题意知，函数f (x)的定义域为R，关于原点对称， 设g(x)＝f (x)－5＝2x－2－x， 则g(－x)＝2－x－2x＝－g(x)， 即g(x)是奇函数， 故g(m)＋g(－m)＝0， 即f (m)－5＋f (－m)－5＝0， 即f (m)＋f (－m)＝10， 因为f (m)＝4， 所以f (－m)＝6．] 4．(2024·兰州期中)已知函数f (x)＝是奇函数，则实数a的值为________． 1　[由题得其自变量的取值须满足1－x2＞0，即为－1＜x＜1，中间有0， 又因为奇函数中f (0)＝0，所以f (0)＝＝1－a＝0⇒a＝1．] 【教用·备选题】 1．(2025·毕节市模拟)已知函数f (x)＝是奇函数，若f (2 023)＞f (2 024)，则实数a的值为(　　) A．1　　 B．－1 C．±1 D．0 B　[∵函数f (x)＝是奇函数， ∴f (－x)＋f (x)＝＝＝0，整理，得(1－a2)ex＝0，∴a＝±1， 当a＝1时，f (x)＝＝1－为增函数，不满足f (2 023)＞f (2 024)，故a≠1； 当a＝－1时，f (x)＝＝1＋为减函数，满足f (2 023)＞f (2 024)，符合题意． 故选B．] 2．(多选)(2024·昆明嵩明县期中)已知f (x)是定义在R上的偶函数，f (x＋1)为奇函数，当x∈[－1，0]时，f (x)＝k·3x－2，则下列说法中正确的是(　　) A．f (x)图象关于点(1，0)对称 B．k＝6　 C．f (2 026)＝－4 D．2是f (x)的一个周期 ABC　[根据题意，依次分析选项： 对于A，f (x＋1)为奇函数，则f (1－x)＝－f (1＋x)，即f (x)图象关于点(1，0)对称，A正确； 对于B，由于f (1－x)＝－f (1＋x)，令x＝0可得，f (1)＝0， 又由f (x)为偶函数，得f (－1)＝f (1)＝0，则f (－1)＝k·3-1－2＝0，解得k＝6，B正确； 对于C，由于f (1－x)＝－f (1＋x)，变形可得f (－x)＝－f (x＋2)， 又由f (x)为偶函数，得f (－x)＝f (x)， 则有f (x＋2)＝－f (x)，变形可得f (x＋4)＝f (x)， 则f (2 026)＝f (2)＝－f (0)＝－(6·30－2)＝－4，C正确； 对于D，由于f (x＋2)＝－f (x)，2不是f (x)的周期，D错误． 故选ABC．] 3．(多选)(2025·长沙开福区模拟)设函数f (x)的定义域为R，f (x)为奇函数，f (1＋x)＝f (1－x)，f (3)＝1，则(　　) A．f (－1)＝1　　　　　 B．f (x)＝f (4＋x) C．f (x)＝f (4－x) D． ABD　[函数f (x)的定义域为R，f (x)为奇函数，f (1＋x)＝f (1－x)，f (3)＝1， 所以f (2－x)＝f (x)，即f (2＋x)＝f (－x)＝－f (x)，若C正确，则f (2＋x)＝－f (4－x)， 令x＝1，则f (3)＝0，不符合题意，C错误； 所以f (4＋x)＝f (x)，B正确； 因为f (3)＝1，所以f (－1)＝f (3)＝1， 所以f (1)＝－1，A正确； 由奇函数性质可得，f (0)＝0，所以f (4)＝f (0)＝0， 又f (1)＝－1，f (2)＝f (－2)＝－f (2)， 即f (2)＝0，f (3)＝1， 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝－1＋0＋1＋0＝0， ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (18)＝4[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2) ＝0－1＋0＝－1，D正确． 故选ABD．] 4．(2024·广东茂南区三模)已知函数f (x)＝cos3x是偶函数，则a＝________． －1　[因为f (x)＝cos3x是偶函数， 所以f (－x)＝f (x)恒成立， 所以(e－x－aex)cos3(－x)＝cos3x， 整理得(a＋1)＝0恒成立， 所以a＝－1．] 课后习题(九)　函数的奇偶性、周期性 1．(多选)(北师大版必修第一册P67例2改编)下列函数是奇函数的是(　　) A．f (x)＝x(x∈[0，1])　　 B．f (x)＝3x2 C．f (x)＝ D．f (x)＝x|x| CD　[利用奇函数的定义，首先定义域需关于原点对称，排除选项A；函数f (x)是奇函数，需满足f (－x)＝－f (x)，排除选项B．故选CD．] 2．(多选)(苏教版必修第一册P126练习T4改编)对于定义在R上的函数f (x)，下列判断正确的是(　　) A．若函数f (x)满足f (－2)＝f (2)，则f (x)是偶函数 B．若函数f (x)满足f (－2)≠f (2)，则f (x)不是偶函数 C．若函数f (x)满足f (2)>f (1)，则f (x)是R上的增函数 D．若函数f (x)满足f (2)>f (1)，则f (x)不是R上的减函数 BD　[A选项，若f (x)＝x(x2－4)，则f (－2)＝0，f (2)＝0，故f (－2)＝f (2)，因为f (x)的定义域为R，关于原点对称，且f (－x)＝－x[(－x)2－4]＝－x(x2－4)＝－f (x)，所以f (x)为奇函数，故A错误； B选项，根据偶函数的定义知，若f (x)为偶函数，则f (－x)＝f (x)，因此满足f (2)≠f (－2)的函数必然不是偶函数，故B正确； C选项，若f (x)＝x2，则f (2)＝4，f (1)＝1，故f (2)>f (1)，但函数f (x)＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故C错误； D选项，因为2>1，f (2)>f (1)，所以f (x)不是R上的减函数，故D正确．] 3．(人教A版必修第一册P87习题3.2T13改编)已知函数f (x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f (2025)＝k，则f (－2 025)等于(　　) A．k　　 B．－k C．1－k D．2－k D　[法一：令g(x)＝ax3＋bx(ab≠0)，易知g(x)是奇函数，从而f (2 025)＝g(2 025)＋1，f (－2 025)＝g(－2 025)＋1＝－g(2 025)＋1． 又因为f (2 025)＝k，所以g(2 025)＝k－1， 从而f (－2 025)＝－(k－1)＋1＝2－k． 法二：因为f (－x)＋f (x)＝－ax3－bx＋1＋ax3＋bx＋1＝2，所以f (－2 025)＋f (2 025)＝2． 又因为f (2 025)＝k，所以f (－2 025)＝2－k．] 4．(人教A版必修第一册P86习题3.2T11改编)函数f (x)在R上为偶函数，且x>0时，f (x)＝＋1，则当x<0时，f (x)＝________． ＋1　[∵f (x)为偶函数，x>0时，f (x)＝＋1， ∴当x<0时，－x>0，f (x)＝f (－x)＝＋1， 即x<0时，f (x)＝＋1．] 5．(2024·泰安四模)设f (x)是定义在R上的奇函数，且f (1＋x)＝f (1－x)，当－1≤x＜0时，f (x)＝log2(－6x＋2)，则f 的值为(　　) A．－1　　 B．－2 C．2 D．1 B　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，且f (1＋x)＝f (1－x)， 所以f (2＋x)＝f (－x)＝－f (x)， 所以f (4＋x)＝f (x)，所以函数f (x)的周期为4． 当－1≤x＜0时，f (x)＝log2(－6x＋2)， 所以f ＝log24＝2，则f ＝f ＝f ＝－f ＝－2．故选B．] 6．(2024·晋城三模)若函数y＝f (x)－1是定义在R上的奇函数，则f (－1)＋f (0)＋f (1)＝(　　) A．3　　 B．2 C．－2 D．－3 A　[根据题意，设F (x)＝f (x)－1，则F (x)＋F (－x)＝0，即f (x)－1＋f (－x)－1＝0， 即f (x)＋f (－x)＝2，所以f (1)＋f (－1)＝2． 因为F (0)＝f (0)－1＝0， 所以f (0)＝1，f (－1)＋f (0)＋f (1)＝2＋1＝3． 故选A．] 7．(2024·海南昌江县二模)已知f (x)是R上的奇函数，且f (x＋2)＝－f (x)，当x∈[0，1]时，f (x)＝x2＋2x，则f (15)＝(　　) A．3　　 B．－3 C．255 D．－255 B　[因为f (x)是R上的奇函数，且f (x＋2)＝－f (x)， 所以f (x＋4)＝f (x)， 所以f (x)的周期T＝4， 当x∈[0，1]时，f (x)＝x2＋2x， 则f (15)＝f (－1)＝－f (1)＝－3． 故选B．] 8．(2025·西安雁塔区模拟)已知函数f (x)＝a＋(ab≠0)是奇函数，则(　　) A．2a＋b＝1　　 B．2a－b＝－1 C．a＋b＝1 D．a－b＝－1 B　[函数f (x)＝a＋(ab≠0)，其定义域为{x|x≠0}， 又由f (x)是奇函数，则f (－x)＋f (x)＝0， 即a＋＋a＋＝2a＋＝2a＋ ＝2a＋＝2a＋1－b＝0， 所以2a－b＝－1．故选B．] 9．(2024·梅州五华区一模)定义在R上的函数f (x)满足f (1－x)＝f (x＋1)，且y＝f (x＋2)为奇函数．当x∈(2，3]时，f (x)＝(x－2)3－3(x－2)，则f (2 025)＝(　　) A．－5　　 B．2 C．－1 D．1 B　[因为函数y＝f (x＋2)为奇函数，则f (－x＋2)＝－f (x＋2)， 即f (2－x)＋f (2＋x)＝0，可得f (4－x)＋f (x)＝0． 又因为f (1－x)＝f (x＋1)，则f (4－x)＝f (x－2)， 所以f (x)＋f (x－2)＝0，可得f (x)＋f (x＋2)＝0， 则f (x＋2)＝f (x－2)，即f (x＋4)＝f (x)， 所以f (x)是周期为4的周期函数，又f (3)＝－2，f (1)＝2， 所以f (2 025)＝f (4×506＋1)＝f (1)＝2． 故选B．] 10．(2025·烟台模拟)已知f (x)为定义在R上的奇函数，且f (x)＋f (2－x)＝0，当－1＜x＜0时，f (x)＝2x，则f (2＋log25)的值为________． －　[因为f (2－x)＝－f (x)＝f (－x)， 所以f (2＋x)＝f (x)， 所以f (x)的周期为2， 所以f (2＋log25)＝f ＝f ＝－f ， 又－1＜log2＜0， 所以f (2＋log25)＝－f＝＝－．] 11．(2025·合肥肥西县模拟)若函数f (x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x)＝则f (5)＋f ＝________． 　[根据题意，函数f (x)(x∈R)是周期为4的奇函数， 则f (5)＝f (1)，f ＝f ＝f ＝－f ， 又由函数f (x)在[0，2]上的解析式为f (x)＝ 则f (5)＝f (1)＝0，f ＝－f ＝－sin π＝， 则f (5)＋f ＝0＋＝．] 12．(2024·江西宜春高三校考)定义在R上的不恒为零的偶函数f (x)满足xf (x＋2)＝(x＋2)f (x)，且f (2)＝4．则＝________． 120　[由题意可知，＝，且＝2， 则＝＝＝＝＝2， 所以f (2)＋f (4)＋f (6)＋f (8)＋f (10)＝2(2＋4＋6＋8＋10)＝60， 因为函数f (x)为偶函数，所以f (－2)＋f (－4)＋f (－6)＋f (－8)＋f (－10)＝60， 则＝60＋60＝120．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$