第二章 第1课时 函数的概念及其表示-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word（基础版）

　函数的基本性质综合性较强，应用起来灵活多变，且渗透性很高，是高考的热点和难点．高考命题常以基本初等函数为载体，考查函数性质的应用，常以选择题或填空题的形式出现，难度中等． 　(2024·新高考Ⅰ卷T6)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0]　　　　　　　 B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) [阅读与思考]　因为函数f (x)在R 上单调递增，且当x<0时，f (x)＝－x2－2ax－a，所以f (x)＝－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－＝－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f (x)＝ex＋ln (x＋1)，所以函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增．若函数f (x)在R上单调递增，则－a≤f (0)＝e0＋ln 1＝1，即a≥－1． 综上，实数a的取值范围是[－1，0]．故选B． 归纳总结：根据函数单调性构建参数满足的不等式(组)是解答本题的关键．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 　本题源自北师大版教材必修第一册P73复习题二C组T3．教材原题与真题实质都是以分段函数为载体，考查利用函数单调性求参数的取值(范围)．求解方法完全一样，都是根据单调性构建参数满足的不等式组，不同之处在于教材原题中当x≥0时，f (x)＝－x＋3a，为一次函数；而真题中，当x≥0时f (x)＝ex＋ln (x＋1)，为指对复合函数，难度稍高于教材． 试题评价：本题以判断函数单调性的方法为素材，考查学生的逻辑推理能力，运算能力．在学习中，我们应遵循教育规律，突出数学本质，夯实基础，回归课标，重视教材和课本基本概念的学习理念． 附：(北师大版必修第一册复习题二P73C组T3)已知函数f (x)＝在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围． 第1课时　函数的概念及其表示 [考试要求]　1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域．2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 考点一　函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 定义域 x的取值范围A 对应 关系 y＝f (x)，x∈A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f (x)|x∈A} 提醒：以下几个特殊函数的定义域： (1)分式型函数，分母不为零的实数集合． (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合． (3)f (x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合． (4)若f (x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}． (5)正切函数y＝tan x的定义域为． [典例1]　(1)已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|0≤x≤2}，如图所示的图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是(　　) A　　　　　　B C　　　　　　D (2)已知函数f (x＋1)的定义域为(－5，0)，则f (2x－1)的定义域为(　　) A．(－4，1)　　 B． C．(－9，1) D． (3)(人教A版必修第一册P65例2改编)函数f (x)＝＋(x－1)0的定义域为____________． (1)D　(2)B　(3)∪(1，＋∞)　[(1)对于A，存在点使一个x与两个y对应，不符合，排除；对于B，当2<x≤4时，没有与之对应的y，不符合，排除；对于C，y的范围超出了集合B的范围，不符合，排除；对于D，满足函数关系的条件，正确．故选D． (2)因为函数f (x＋1)的定义域是(－5，0)，设t＝x＋1，所以t∈(－4，1)，则f (t)的定义域为(－4，1)，所以2x－1∈(－4，1)，解得x∈．故选B． (3)要使函数f (x)＝＋(x－1)0有意义，则解得x>且x≠1，因此，函数f (x)的定义域为∪(1，＋∞)．] 反思领悟　本例(1)考查对函数概念的理解，关键在于集合A中任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数y与之对应；本例(2)中，f (x＋1)的定义域为(－5，0)，则由－5<x<0得到x＋1∈(－4，1)，就是f (x)的定义域；进而由－4<2x－1<1解得x∈即为f (2x－1)的定义域；本例(3)特别要注意(x－1)0中x－1≠0． 【教用·反思领悟】 求函数的定义域的策略 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义． (2)求抽象函数的定义域： ①若f (x)的定义域为[m，n]，则在f (g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f (g(x))的定义域． ②若f (g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f (x)的定义域． 巩固迁移1　(1)若函数f (x)＝的定义域为M，则M＝(　　) A．[2，＋∞)　　 B．(3，＋∞) C．[2，3) D．[2，3)∪(3，＋∞) (2)若函数f (x)的定义域为[－2，4]，则y＝的定义域为(　　) A．(1，8]　　 B．[－4，1)∪(1，8] C．(1，2] D．[－1，1)∪(1，2] (3)已知函数f (x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，2]　　 B．[0，8) C．(0，8] D．(0，8) (1)D　(2)D　(3)B　[(1)由已知得解得x≥2且x≠±3，即函数f (x)＝的定义域为[2，3)∪(3，＋∞)．故选D． (2)由题意得解得－1≤x≤2且x≠1．故选D． (3)因为函数定义域为R，所以ax2＋ax＋2≠0在x∈R上恒成立．当a＝0时，ax2＋ax＋2＝2≠0满足要求；当a≠0时，要满足Δ＝a2－8a<0，解得0<a<8．综上，0≤a<8．故选B．] 考点二　同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． [典例2]　(2025·深圳坪山区模拟)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．y＝与y＝1 B．y＝与y＝x－1 C．y＝与y＝x D．y＝与y＝x D　[对于选项A：y＝的定义域为{x|x≠0}，函数y＝1的定义域为R，故错误； 对于选项B：y＝＝|x－1|和函数y＝x－1的对应关系不同，故错误； 对于选项C：y＝的定义域为{x|x≠0}，函数y＝x的定义域为R，故错误； 对于选项D：y＝＝x的定义域为R，函数y＝x的定义域为R，故正确． 故选D．] 反思领悟　只有定义域和对应关系(化简之后的解析式)都相同的两个函数才是同一个函数． 巩固迁移2　下列选项中是同一个函数的是(　　) A．y＝x0－1与y＝0 B．y＝·与y＝ C．y＝x与z＝ D．y＝x2＋x与y＝ C　[y＝x0－1的定义域为{x|x≠0}，y＝0的定义域为R，故A错误； y＝·的定义域为{x|x≥2}，y＝的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，故B错误； y＝x，z＝＝y，定义域、值域、对应关系均相同，故C正确； y＝x2＋x的定义域为R，y＝的定义域为{x|x≠0}，故D错误．故选C．] 考点三　函数解析式 [典例3]　求下列函数的解析式． (1)已知f ＝ln x，求f (x)； (2)已知f ＝x4＋，求f (x)； (3)已知f (x)是一次函数，且满足3f (x＋1)－2f (x－1)＝2x＋17，求f (x)； (4)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，求f (x)． [解]　(1)令＋1＝t(t>1)，则x＝， ∴f (t)＝ln ， ∴f (x)＝ln (x>1)． (2)∵f ＝x4＋＝－2， 令t＝x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时取等号， ∴f (t)＝t2－2(t≥2)， ∴f (x)＝x2－2(x≥2)． (3)设f (x)＝ax＋b(a≠0)，则3f (x＋1)－2f (x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，∴a＝2，b＝7，∴f (x)＝2x＋7． (4)∵2f (x)＋f (－x)＝3x，① ∴将x用－x替换得2f (－x)＋f (x)＝－3x，② 由①②解得f (x)＝3x． 反思领悟　本例(1)用的“换元法”，关键令＋1＝t，要注意换元前后自变量范围的变化；本例(2)用的“配凑法”，关键是发现x4＋＝－2；本例(3)用的“待定系数法”，已知函数类型，均可用此法；本例(4)用的“解方程组法”，关键是用－x替换已知式中的x，构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x)． 提醒：定义域不要漏写． 巩固迁移3　(1)已知f (＋1)＝x－2，则f (x)＝________． (2)已知f (x)满足f (x)－2f ＝2x，则f (x)＝________． (3)设函数f (x)是单调递增的一次函数，满足f (f (x))＝16x＋5，则f (x)＝________． (1)x2－4x＋3(x≥1)　(2)－x－　(3)4x＋1　[(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2， 代入原式有f (t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3， 所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)． 法二(配凑法)：f (＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3， 因为＋1≥1，所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)． (2)因为f (x)－2f ＝2x，① 以代替①中的x，得f －2f (x)＝，② ①＋②×2得－3f (x)＝2x＋， 所以f (x)＝－x－． (3)因为f (x)为单调递增的一次函数，所以设f (x)＝ax＋b，a>0，故f (f (x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5， 所以a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1．因此f (x)＝4x＋1．] 考点四　分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数． 提醒：(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． [典例4]　(1)已知函数f (x)＝那么f (3)的值是(　　) A．8　　 B．7 C．6 D．5 (2)已知a∈R，函数f (x)＝若f (f ())＝3，则a＝________． (1)A　(2)2　[(1)因为函数f (x)＝ 所以f (3)＝23＝8．故选A． (2)因为>2，所以f ()＝6－4＝2， 所以f (f ())＝f (2)＝1＋a＝3，解得a＝2．] 反思领悟　由于分段函数在x的不同取值范围内对应的解析式不同，所以做题时应注意函数解析式的选择．本例(1)因为3>0，所以代入f (x)＝2x中；本例(2)在求解时要先内后外，即先求出f ()的值为2，再求f (f ())＝f (2)＝1＋a． 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． 巩固迁移4　(1)(多选)已知函数f (x)＝则下列关于函数f (x)的结论正确的是(　　) A．f (x)的定义域为R B．f (x)的值域为(－∞，4] C．若f (x)＝2，则x的值是－ D．f (x)<1的解集为(－1，1) (2)已知函数f (x)＝若f (a)＝4，则实数a的值是________；若f (a)≥2，则实数a的取值范围是________________． (1)BC　(2)－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞)　[(1)函数f (x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误； 当－2≤x<1时，f (x)＝x2的值域为[0，4]，当x≥1时，f (x)＝－x＋2的值域为(－∞，1]，故f (x)的值域为(－∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f (x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f (x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确； 当－2≤x<1时，令f (x)＝x2<1，解得x∈(－1，1)，当x≥1时，令f (x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f (x)<1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误．故选BC． (2)若f (a)＝4， 则或 解得a＝－2或a＝5． 若f (a)≥2，则或 解得－3≤a<－1或a≥4， ∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．] 1．(2025·长沙雨花区模拟)函数f (x)＝的定义域是(　　) A．[－2，2] 　　 B．(－2，2)　 C．{x|x＜－2，或x＞2} 　　 D．{－2，2} D　[f (x)＝，则 解得x＝2或－2， 故所求定义域为{－2，2}． 故选D．] 2．(2024·济南二模)下列四组函数，表示同一个函数的是(　　) A．f (x)＝x＋1，g(x)＝ B．f (x)＝，g(x)＝x C．f (x)＝|x|，g(x)＝－x D．f (x)＝x＋1，g(t)＝t＋1 D　[对于A，因为f (x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠－1}， 所以两个函数的定义域不相等，所以这两个函数不是同一个函数，所以A错误； 对于B，f (x)，g(x)的定义域都为R，因为f (x)＝＝|x|≠g(x)， 所以两个函数不是同一个函数，所以B错误； 对于C，f (x)，g(x)的定义域都为R， 因为f (x)＝|x|＝与g(x)＝－x解析式不同， 所以这两个函数不是同一个函数，所以C错误； 对于D，因为f (x)，g(t)的定义域都为R，且对应关系相同，所以f (x)与g(t)是同一个函数， 所以D正确． 故选D．] 3．(2024·聊城一中期中)已知函数f (x)＝则f (3)＋f (4)＝(　　) A．37　　 B．41 C．19 D．23 B　[因为f (x)＝则f (3)＝f (9)＝3×9＋1＝28，f (4)＝3×4＋1＝13， 因此，f (3)＋f (4)＝41． 故选B．] 4．已知f (x)是二次函数且f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝x－1，则f (x)的解析式为________． f (x)＝x2－x＋2　[设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f (0)＝2，得c＝2， 又f (x＋1)－f (x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1， 即2ax＋a＋b＝x－1， ∴即 ∴f (x)＝x2－x＋2．] 【教用·备选题】 1．(2025·湖北省武昌实验中学校考模拟)已知函数f (x)＝则f (1＋log23) 的值为(　　) A．6　　 B．11 C．24 D．36 C　[1＋log23∈(2，3)， 所以f (1＋log23)＝f (3＋log23)＝ ＝23·＝8×3＝24． 故选C．] 2．(2025·福建福州模拟)下列四组函数中，f (x)与g(x)是同一个函数的是(　　) A．f (x)＝x，g(x)＝ B．f (x)＝2lg x，g(x)＝lg x2 C．f (x)＝|x|，g(x)＝ D．f (x)＝，g(x)＝ C　[A选项，f (x)＝x的定义域是R，g(x)＝的定义域是{x|x≠0}，所以不是同一个函数； B选项，f (x)＝2lg x的定义域是{x|x＞0}，g(x)＝lg x2的定义域是{x|x≠0}，所以不是同一个函数； C选项，g(x)＝＝|x|＝f (x)，两个函数定义域、值域、对应关系完全相同，是同一个函数； D选项，f (x)＝的定义域是R，g(x)＝的定义域是{x|x≥0}，所以不是同一个函数． 故选C．] 3．设函数f (x)＝ (1)如果f (1)＝3，那么实数a＝________； (2)如果函数y＝f (x)－2有且仅有两个零点，那么实数 a的取值范围是________． (1)－2或4　(2)(－1，3]　[(1)由题意f (1)＝|1－a|＝3，解得a＝－2或a＝4． (2)当x>1时，由f (x)－2＝0得f (x)＝2， 即log3x＝2，解得x＝9； 若函数y＝f (x)－2有且仅有两个零点， 则等价为x≤1时，|x－a|＝2只有一个根， 由|x－a|＝2，解得x＝a＋2或x＝a－2， 若当x≤1时，|x－a|＝2只有一个根， 则满足a＋2>1且a－2≤1， 即a>－1且a≤3， 即－1<a≤3．] 课后习题(六)　函数的概念及其表示 1．(人教A版必修第一册P67练习T1改编)函数f (x)＝的定义域为(　　) A． B． C． D． D　[要使f (x)有意义，只需满足即x≤且x≠0．] 2．(多选)(人教A版必修第一册P67练习T3改编)下列各组函数为同一个函数的是(　　) A．f (x)＝1，g(x)＝x0 B．f (x)＝，g(x)＝|x| C．表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h＝130t－5t2和二次函数y＝130x－5x2 D．f (t)＝，g(t)＝t＋4(t≠4) BD　[对于A，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于B，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数； 对于C，函数h＝130t－5t2中，0≤t≤26，而函数y＝130x－5x2中，x∈R，即这两个函数的定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于D，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数．故选BD．] 3．(多选)(苏教版必修第一册P112习题5.1T4，T6改编)下列说法正确的是(　　) A．式子y＝可表示自变量为x、因变量为y的函数 B．函数y＝f (x)的图象与直线x＝1最多有1个交点 C．若f (x)＝|x－1|－|x|，则f ＝1 D．f (x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一个函数 BCD　[对于A选项，有不等式组无解，A错误；对于B选项，根据函数的概念知，当函数f (x)在x＝1处无定义时，函数f (x)的图象与直线x＝1无交点，当函数f (x)在x＝1处有定义时，函数f (x)的图象与直线x＝1只有1个交点，所以函数f (x)的图象与直线x＝1最多有1个交点，B正确；对于C选项，因为f (x)＝|x－1|－|x|，所以f ＝0，故f ＝f (0)＝1，C正确；对于D选项，两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致，故这两个函数是同一个函数，D正确．故选BCD．] 4．(多选)(人教A版必修第一册P73习题3.1T8改编)如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为l，那么下列关系中正确的是(　　) A．y＝，x>0　　 B．d＝，x>0 C．l＝2x＋，x>0 D．l＝，d≥2 ABC　[∵矩形的面积为10，长为x，宽为y，∴xy＝10，∴y＝，x>0，根据d＝，得到d＝，x>0， ∵周长l＝2(x＋y)，∴l＝2x＋，x>0， 根据d2＝x2＋，l2＝4＝4＝4(d2＋20)，∴l＝2，d≥2．故选ABC．] 5．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T7改编)已知函数f (x)＝若f (a)＝，则a＝________． 2或±　[当a>1时，f (a)＝1＋＝， ∴a＝2>1；当－1≤a≤1时，f (a)＝a2＋1＝， ∴a＝±∈[－1，1]；当a<－1时，f (a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1，舍去． 综上，a＝2或a＝±．] 6．(2025·临汾襄汾县模拟)f (x)＝的定义域为(　　) A．[－2，＋∞)　　 B．[－2，2) C．(－2，2] D．(－∞，2] B　[要使函数有意义，则解得－2≤x＜2． ∴f (x)＝的定义域为[－2，2)．故选B．] 7．(2025·宁波模拟)已知函数f (x)的定义域为，则函数f (x2)的定义域为(　　) A． B． C． D．(－2，2) C　[函数f (x)的定义域为，则－4<x2<，解得－<x<， 故函数f (x2)的定义域为． 故选C．] 8．(2024·浙江学业考试)下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A．y＝x和y＝()2 B．y＝和y＝ C．y＝|x|和y＝ D．y＝x－ex与y＝－ex C　[对于A，y＝x的定义域是R，y＝()2的定义域是[0，＋∞)， ∴y＝x和y＝()2不表示同一个函数，故A错误； 对于B，y＝＝x，y＝＝当x＜0时，对应关系不同， ∴y＝与y＝不能表示同一个函数，故B错误； 对于C，y＝|x|和y＝的定义域都是R，对应关系一致， ∴y＝|x|和y＝表示同一个函数，故C正确； 对于D，y＝x－ex的定义域是R，y＝－ex的定义域是{x|x≠0}， ∴y＝x－ex与y＝－ex不表示同一个函数，故D错误．故选C．] 9．(2025·陕西咸阳模拟)已知函数f (x＋1)＝4x＋1，则f (x)的解析式是(　　) A．f (x)＝4x＋3　　 B．f (x)＝4x－3 C．f (x)＝3x＋2 D．f (x)＝3x－4 B　[∵f (x＋1)＝4x＋1＝4(x＋1)－3， ∴f (x)＝4x－3．] 10．(2025·安徽蚌埠模拟)已知函数f (x)是一次函数，且f (f (x)－2x)＝3恒成立，则f (3)＝(　　) A．1　　 B．3 C．5 D．7 D　[设f (x)＝ax＋b(a≠0)， 由f (f (x)－2x)＝3恒成立， 得a[f (x)－2x]＋b＝3，即a2x－2ax＋ab＋b＝3恒成立． ∴解得 ∴f (x)＝2x＋1， ∴f (3)＝7．故选D．] 11．(2024·山东济宁三模)已知函数f (x)＝则f＝________． 　[因为f (x)＝ 所以f ＝log4＝－log42＝－． 所以f ＝f＝＝＝．] 12．(2024·青岛第五十八中学高三一模)设函数f (x)＝若f (a)＝0，则a＝________． 1　[由题知，当a≤0时，f (a)＝a2＋1＝0无解； 当a>0时，f (a)＝lg a＝0，解得a＝1，成立． 所以a＝1．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$