第四章 第6课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word

第6课时　函数y＝A sin (ωx＋φ) [考试要求]　1．结合具体实例，了解y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义，能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．2．会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 1．简谐运动的有关概念 已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2．用“五点法”画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点 ωx＋φ 0 π 2π x － y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 提醒：两种变换的区别 ①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度． [常用结论] 1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”． 2．函数y＝sin (ωx＋φ)图象的对称轴是直线x＝(k∈Z)，对称中心是点(k∈Z)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A. (　　) (2)y＝sin x的图象上各点的纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin . (　　) (3)将y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式是y＝3sin . (　　) (4)如果函数y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3) ×　(4)√ 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T10改编)y＝2sin 的振幅、频率和初相分别为(　　) A．2，4π， B．2， C．2，，－ D．2，4π，－ C　[由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.] 2．(人教A版必修第一册P240习题5.6T1改编)为了得到函数y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上的所有点的(　　) A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 B　[因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y＝3cos图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，即可得到函数y＝3cos的图象．故选B.] 3．(人教A版必修第一册P239练习T2改编)为了得到函数y＝2sin 的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 A　[y＝2sin ＝2sin .故选A.] 4．(人教A版必修第一册P245例1改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b，A＞0，ω＞0，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为____________________________________． y＝5sin ＋10，x∈[6，14]　[从题图中可以看出，6～14时的图象是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的半个周期，则 所以A＝×(15－5)＝5，b＝×(15＋5)＝10. 又＝14－6，所以ω＝. 又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，0<φ<π，所以φ＝，所以y＝5sin ＋10，x∈[6，14].] 考点一　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换 [典例1]　(1)(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 (2)(2021·全国乙卷)把函数y＝f (x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，则f (x)＝(　　) A．sin B．sin C．sin D．sin (3)为得到函数y＝cos 的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 (1)C　(2)B　(3)A　[(1)因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π， 函数y＝2sin 的最小正周期为T＝， 所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin 有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示， 由图可知，两函数图象有6个交点．故选C. (2)依题意，将y＝sin 的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到f (x)的图象，所以y＝sin y＝sin 的图象f (x)＝sin 的图象．故选B. (3)法一：y＝cos ＝sin ＝sin， 将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度，得到y＝sin (2x＋2φ)的图象，故2φ＝，解得φ＝，即向左平移个单位长度．故选A. 法二：y＝sin 2x＝cos ＝cos ，所以y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到y＝cos 的图象，故选A.] 　(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象的变换：向左平移个单位长度．注意：不是向左平移φ个单位长度，相位变换是针对“x”． (2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负值时应先变成正值． [跟进训练] 1．(1)(2022·全国甲卷)将函数f (x)＝sin (ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　) A． B． C． D． (2)(2025·山东淄博模拟)函数f (x)＝A sin (ω＞0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，要得到函数g(x)＝A cos ωx的图象，只需将函数f (x)的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 (1)C　(2)C　[(1)由题意知，曲线C为y＝sin ＝sin ，又C关于y轴对称，则＝＋kπ，k∈Z， 解得ω＝＋2k，k∈Z.又ω>0，故当k＝0时，ω的最小值为.故选C. (2)f (x)＝A sin (ω＞0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为， 则T＝2×＝＝，∴ω＝3， ∴f (x)＝A sin ＝A cos ＝A cos ＝A cos ， ∴只需将函数f (x)的图象向左平移个单位长度即可得函数g(x)＝A cos ωx的图象．故选C.] 【教用·备选题】 (2023·全国甲卷)函数y＝f (x)的图象由函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f (x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 C　[把函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝f (x)＝cos ＝cos ＝－sin 2x的图象．作出函数f (x)＝－sin 2x和直线y＝x－的部分图象如图所示， 所以由图可知，y＝f (x)＝－sin 2x的图象与直线y＝x－的交点个数为3. 故选C.] 考点二　确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b的解析式 [典例2]　(1)(2024·安徽A10联考)已知函数f (x)＝4sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中A(0，2)，B，则f (x)＝(　　) A．4sin B．4sin C．4sin D．4sin (2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝________． (1)D　(2)－　[(1)由题意，得＝－0，则T＝， ∴ω＝＝3，∴f (x)＝4sin (3x＋φ)． ∵f (0)＝4sin φ＝2，∴sin φ＝， 又|φ|＜，∴φ＝， ∴f (x)＝4sin . (2)设A，B，由|AB|＝可得x2－x1＝， 由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由题图可知， ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝＝， 即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4. 因为f＝sin ＝0， 所以＋φ＝2kπ，即φ＝－＋2kπ，k∈Z. 所以f (x)＝sin ＝sin ，所以f (π)＝sin ＝－.] 　确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝. (3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． [跟进训练] 2．(1)(多选)已知函数f＝A cos ＋b的部分图象如图，则(　　) A．b＝2 B．ω＝4 C．φ＝ D．f (x)的图象关于点对称 (2)函数f (x)＝tan (ωx＋φ)的图象如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则φ＝________． (1)BD　(2)－　[(1)由题图可得解得故A错误；由题图可知，f的最小正周期T＝＝，所以＝，则ω＝4，B正确； 由题图可知，直线x＝＝是函数f图象的一条对称轴，所以4×＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z.又0<φ<，所以φ＝，C错误； 由上述可得f ＝2cos ＋1. 令4x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z. 当k＝0时，f的图象的一个对称中心为，D正确．故选BD. (2)如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积，可得AB＝3. 设函数f (x)的最小正周期为T，则AD＝T， 由题意得3T＝6π，解得T＝2π，故＝2π，得ω＝，即f (x)＝tan ， f (x)的图象过点，即tan ＝tan ＝－1， ∵φ∈，则＋φ∈， ∴＋φ＝－，解得φ＝－.] 【教用·备选题】 已知函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________． －　[由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝. 又因为f (x)＝A cos (ωx＋φ)为奇函数， 所以φ＝＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0，则φ＝，所以f (x)＝cos ＝－sin x，所以f (1)＝－.] 考点三　三角函数图象与性质的综合应用 [典例3]　(1)(多选)已知函数f＝sin (ω>0)，则下列说法正确的是(　　) A．若ω＝1，则是f的图象的对称中心 B．若f≤f恒成立，则ω的最小值为2 C．若f在上单调递增，则0<ω≤ D．若f在上恰有2个零点，则≤ω≤ (2)若关于x的方程2cos2x－sin2x＝－m在区间上有且只有一个解，则m的取值范围为________． (1)ABC　(2){m|m＝－2或－1<m≤0}　[(1)选项A，若ω＝1，则f＝sin ＝sin π＝0， 由正弦函数的图象可知是f的图象的对称中心，A正确； 选项B，若f≤f恒成立，则ω×＝＋2kπ，解得ω＝2＋12k， 又ω>0，所以ω的最小值为2，B正确； 选项C，因为x∈，所以ωx＋∈，由题意得，即ω≤，C正确； 选项D，当x∈时，ωx＋∈， 若f在上恰有2个零点，则2π≤2ωπ＋<3π，解得≤ω<，D错误．故选ABC. (2)由2cos2x－sin2x＝－m，整理可得cos ＝－，令t＝2x＋，因为x∈，则t∈. 所以cos t＝－在区间上有且只有一个解，即y＝cos t的图象和直线y＝－只有1个交点．作出y＝cos t，t∈的图象， 由图可知，－＝1或0≤－<，解得m＝－2或－1<m≤0. ] 　与三角函数性质有关的综合题的求解策略 (1)研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数． [跟进训练] 3．(1)已知偶函数f ＝sin 的图象关于点中心对称，且在区间上单调，则ω＝________． (2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． (1)　(2)[2，3)　[(1)因为偶函数f＝，所以φ＝kπ＋，k∈Z， 即f (x)＝cos ωx或f (x)＝－cos ωx， 又f＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称， 所以cos ω＝0，即ω＝kπ＋，k∈Z， 所以ω＝3k＋，k∈Z， 因为当x∈时，函数单调， 所以0≤ωx≤≤π， 即0<ω≤4，所以当k＝0时，ω＝符合条件． (2)法一：函数f (x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，因为ω＞0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，则由余弦函数的图象(图略)可知，4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3)． 法二：f (x)＝cos ωx－1在x≥0上的前4个零点依次为0，， 依据题意得≤2π＜，即2≤ω＜3. 故ω的取值范围是[2，3)．] 【教用·备选题】 1．(多选)设函数f (x)＝cos (ω>0)，已知f (x)在(0，2π)上有且仅有3个极小值点，则(　　) A．f (x)在(0，2π)上有且仅有5个零点 B．f (x)在(0，2π)上有且仅有2个极大值点 C．f (x)在上单调递减 D．ω的取值范围是 CD　[因为x∈(0，2π)，所以ωx＋∈.设t＝ωx＋∈，画出y＝cos t的图象如图所示． 由图象可知，若f (x)在(0，2π)上有且仅有3个极小值点，则5π＜2πω＋≤7π，故f (x)在(0，2π)上可能有5，6或7个零点，故A错误；f (x)在(0，2π)上可能有2或3个极大值点，故B错误；由5π<2πω＋≤7π，可得<ω≤，故D正确；当x∈时，ωx＋∈.因为<ω≤，所以<ω＋，故f (x)在上单调递减，故C正确．故选CD.] 2．(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知函数f (x)＝2sin ωx cos φ＋2sin φ－4sin2sinφ(ω＞0，|φ|＜π)，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，________，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．①函数f (x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称且f (0)＜0；②函数f (x)的图象的一个对称中心为且f＞0. (1)求函数f (x)的解析式； (2)将函数f (x)图象上所有点的横坐标变为原来的(t＞0)，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)在区间上恰有3个零点，求t的取值范围． [解]　(1)由题意可得 f (x)＝2sin ωx cos φ＋2sin φ－4sin2sinφ ＝2sin ωx cos φ＋2sin φ－sin φ(2－2cos ωx) ＝2sin ωx cos φ＋2cos ωx sin φ ＝2sin (ωx＋φ)， 由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，故T＝4×＝，∴ω＝2， 故f (x)＝2sin (2x＋φ)． 若选①，函数f (x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为y＝2sin ， 由题意知该函数为偶函数，故 ＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝－＋kπ，k∈Z， 由于|φ|＜π且f (0)＜0，即sin φ＜0，故φ＝－，故f (x)＝2sin . 若选②，函数f (x)的图象的一个对称中心为且f＞0， 则＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z， 由于|φ|＜π且f＞0，即sin ＞0，故φ＝－，故f (x)＝2sin . (2)由题意可得g(x)＝2sin ，x∈，∴2tx－∈， 由于y＝g(x)在区间上恰有3个零点， 故2π≤＜3π，即t∈. 故t的取值范围是. 考点四　三角函数模型的应用 [典例4]　(2024·广东佛山二模)近年来，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进．农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置．如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2π rad/s，圆上两点A，B始终满足∠AOB＝，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化．现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值．假设运动开始时刻，即t＝0秒时，点A位于圆心正下方，则t＝________秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f＝________． 　[以O为原点，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于角速度ω＝2π rad/s， 设点A，圆上两点A，B始终保持∠AOB＝，则B，要使A，B两点的竖直距离为0，则sin ＝sin ，第一次为0时，4πt－＝π，解得t＝. f (t)＝＝＝＝.] 　三角函数模型的应用体现在两方面 一是已知函数模型求解数学问题； 二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． [跟进训练] 4．某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地(如图)，现欲从中规划出一块三角形绿地PQR，其中P在上，PQ⊥AB，垂足为Q，PR⊥AC，垂足为R，设∠PAB＝α∈，则PQ＝________米(用α表示)；当P在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是________平方米． 60sin α　225　[在Rt△PAQ中，∠PAB＝α∈，AP＝60(米)， ∴PQ＝AP sin α＝60sin α(米)． 在Rt△PAR中，可得PR＝60sin ， 由题可知∠QPR＝， ∴S△PQR＝·PQ·PR·sin ∠QPR ＝×60sin α×60sin ×sin ＝900sin αsin ＝450 ＝450， 又α∈，∴2α＋∈， ∴当2α＋＝，即α＝时，△PQR的面积取最大值225平方米，即三角形绿地的最大面积是225平方米．] 【教用·备选题】 李华以18 km/h的速度骑着一辆车轮直径为24寸(1米等于3尺，1尺等于10寸)的自行车行驶在一条平坦的公路上，自行车前轮胎上有一块红色的油漆印(图中点O)，则点O滚动一周所用的时间为________s(用π表示)；若刚开始骑行时，油漆印离地面0.6 m，在前行的过程中油漆印离地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)的函数解析式可以用h＝f (t)＝A sin (ωt＋φ)＋b来刻画，则f (t)＝________． sin 　[李华的时速为18 km/h ＝5 m/s，车轮直径为 m，周长为 m，故滚动一周所用时间为 s，即最小正周期为T＝，于是ω＝，依题意知A＝，b＝，f (0)＝⇒sin φ＝，又－<φ<，所以φ＝， 故f (t)＝sin .] 课后作业(二十五)　函数y＝A sin (ωx＋φ) 一、单项选择题 1．某个弹簧振子做简谐运动，已知在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：cm)之间满足函数关系：y＝sin t＋cos ，则这个简谐运动的振幅是(　　) A．1 cm B．2 cm C． cm D．2 cm C　[因为y＝sin t＋cos ＝sin t＋cos t cos ＋sin t sin ＝sin t＋cos t＝sin ， 所以这个简谐运动的振幅是 cm.故选C.] 2．为了得到y＝sin 的图象，只需将y＝sin x的图象上每一点的纵坐标不变(　　) A．每一点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度 B．每一点的横坐标变为原来的4倍，再向右平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的4倍 D．先向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的 C　[y＝sin x的图象上每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin 的图象，再向右平移个单位长度得到y＝sin 的图象，故A，B错误； y＝sin x的图象先向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，再把每一点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin 的图象，故C正确，D错误．] 3．(2025·成都石室中学模拟)将函数f (x)＝2sin 的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为(　　) A．g(x)＝2sin B．g(x)＝2sin C．g(x)＝2sin D．g(x)＝2sin D　[将函数f (x)＝2sin 的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝2sin ＝2sin 的图象，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin ＝2sin 的图象．] 4．(2025·广东中山模拟)已知函数f＝sin ，则下列说法正确的是(　　) A．函数f的图象关于点中心对称 B．函数f的图象关于直线x＝－对称 C．函数f在区间内有4个零点 D．函数f在区间上单调递增 C　[对于A，由f＝sin ＝sin ＝≠0， 所以不是函数f的图象的对称中心，所以A错误； 对于B，由f＝sin ＝sin ≠±1， 所以x＝－不是函数f的图象的对称轴，所以B错误； 对于C，令2x－＝kπ，k∈Z，可得x＝，k∈Z， 当k＝0时，可得x＝；当k＝1时，可得x＝；当k＝－1时，可得x＝－； 当k＝－2时，可得x＝－，所以在内，函数f有4个零点，所以C正确； 对于D，由x∈，可得2x－∈，此时函数f不单调，所以D错误．故选C.] 5．(2025·云南昆明模拟)已知f (x)＝2sin 的部分图象如图所示，－<φ<0，x1，x2是f (x)相邻的两个零点，且x2＝4x1，则x1的值为(　　) A． B．π C．π D．π A　[由题意可得T＝π，且由题图可得x2－x1＝. 又因为x2＝4x1，可得x1＝.故选A.] 6．(2022·全国甲卷)设函数f (x)＝sin 在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． C　[依题意可得ω＞0，因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈，要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，又y＝sin x，x∈的图象如图所示， 则＜ωπ＋≤3π，解得＜ω≤，即ω∈.故选C.] 二、多项选择题 7．(2025·江苏常州模拟)对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ(单位：℃)与时间t(单位：h)近似地满足函数关系θ＝A sin ωt＋b，其中0≤t≤24.已知当天开始计时时的温度为25 ℃，第二天凌晨3：00时温度最低为19 ℃，则(　　) A．ω＝ B．当天下午3：00温度最高 C．温度为28 ℃是当天晚上7：00 D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22 ℃ ABD　[t＝0时，θ＝25 ℃，∴b＝25， 第二天凌晨3：00温度最低为19 ℃，此时t＝18， ∴∴A正确； θ＝6sin t＋25，令t＝＋2kπ，k∈Z，即t＝6时θ取最大值，t＝6对应下午3：00，B正确； 令θ＝28，得t＝2或10，即上午11：00或晚上7：00时温度为28 ℃，C错误；当14≤t≤20时，19≤θ≤22，D正确．故选ABD.] 8．(2025·湖北武汉模拟)已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．A＝2 B．f (x)的最小正周期为π C．f (x)在内有3个极值点 D．f (x)在区间上的最大值为 ABD　[对于AB，根据函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象知，A＝2, T＝4×＝π，所以ω＝＝2，故AB正确； 对于C，由五点法画图知，×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z， 由于0<φ<，所以φ＝，所以f (x)＝2sin . 令2x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝kπ，k∈Z， 当k＝－2时，x＝－；当k＝－1时，x＝－； 当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，故f (x)在内有2个极值点，分别为x＝，x＝，故C错误； 对于D，因为x∈， 所以2x＋∈， 故当2x＋＝，即x＝2π时，f (x)取最大值2sin ＝2sin ＝，故D正确．故选ABD.] 三、填空题 9．已知函数f＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________． －　[由题意可得，T＝＝，∴T＝π，又T＝，∴ω＝2， 当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，k∈Z， ∴φ＝2kπ－， 由|φ|＜，可得φ＝－， ∴f＝2cos ， f＝2cos ＝2cos ＝－.] 10．(2025·江苏南通模拟)某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10 cm和20 cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为________cm. 60　[如图所示，EF＝10，FG＝20， 令∠AEF＝α，则AF＝10sin α，∠AFE＝－α， 则∠BFG＝α， BF＝20cos α，BG＝20sin α，∠BGF＝－α， 则∠CGH＝α，CG＝10cos α. ∴周长为2AB＋2BC＝2＋2 ＝60sin α＋60cos α＝60sin ≤60， 当α＝时取等号， 即矩形框架周长的最大值为60 cm.] 四、解答题 11．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f (x)取得最大值2. (1)求f (x)的解析式； (2)作出f (x)在[0，π]上的图象(要求列表)； (3)函数y＝f (x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？ (4)函数y＝f (x)的图象可由函数y＝cos x的图象经过怎样的变换得到？ [解]　(1)因为函数f (x)的最小正周期是π，所以ω＝2. 又因为当x＝时，f (x)取得最大值2，所以A＝2， 同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z， φ＝2kπ＋，k∈Z， 因为－<φ<，所以φ＝， 所以f (x)＝2sin . (2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈. 列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f (x) 1 2 0 －2 0 1 描点、连线得图象，如图． (3)将y＝sin x图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，再将y＝sin 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象，再将y＝sin 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f (x)＝2sin 的图象． (4)因为f (x)＝2sin ＝2cos ＝2cos ，将y＝cos x的图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝cos的图象，再将y＝cos 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝cos的图象，再将y＝cos图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2cos 的图象，即为f (x)＝2sin 的图象． 12．(2025·山东烟台模拟)已知函数f ＝sin ，其中x∈R，ω>0，函数f图象上相邻的两条对称轴之间的距离为. (1)求f的解析式和单调递增区间； (2)若将函数f图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，得到函数g的图象，求函数h＝·g在 上的最大值． [解]　(1)由题意可知，＝， 所以T＝π＝，所以ω＝2. 所以f (x)＝sin . 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z, 故f (x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)将函数f 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sin 的图象，再向右平移个单位长度，得g(x)＝sin x的图象． 所以h(x)＝sin x(sin x＋cos x)＝sin2x＋sinx cos x＝＝sin ， 因为0≤x≤，所以－≤2x－， 所以当2x－＝，即x＝时，h(x)取得最大值为1＋. 13．已知函数f＝sin 在区间上单调，其中ω为正整数，<，且f＝－f. (1)求y＝f图象的一个对称中心； (2)若f＝，求φ. [解]　(1)因为f在区间上单调， 且f＝－f∈∈， 所以f＝f＝0， 所以y＝f图象的一个对称中心是. (2)由题设，f的最小正周期T≥2×＝π，＝<， 故ω＝≤2，由ω∈N*，得ω＝1，2， 由点为f (x)＝sin 图象的一个对称中心， 所以ω＋φ＝k1π，k1∈Z，① 因为f＝，所以ω＋φ＝＋2k2π或ω＋φ＝＋2k3π，k2，k3∈Z. 若ω＋φ＝＋2k2π，② ①－②得ω＝－π， 即ω＝－2＋6. 不存在整数k1，k2，使得ω＝1，2. 若ω＋φ＝＋2k3π，③ ①－③得ω＝－π， 即ω＝－4＋6， 不存在整数k1，k3，使得ω＝1，当k1＝2k3＋1时，ω＝2. 此时φ＝＋2k3π＝＋2k3π，由<，得φ＝. 综上所述，φ＝. 23 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$