第十章 阶段提能(十) 概率、统计-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 阶段提能（十） 概率、统计 一、单项选择题 1.(2024·天津一模)下列说法正确的是() A.一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位数为17 B.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到2=4.712，根据小概率值 =0.05的独立性检验(.05=3.841)，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的 概率不大于0.05 C.两个随机变量的线性相关性越强，样本相关系数的绝对值越接近于0 D.若随机变量5，n满足n=35-2,则D()=3D()一2 B[A选项，10×80%=8，故从小到大排列，第8个数和第9个数的平均数作 为第80百分位数， 即17420=18.5，A错误： 2 B选项，由于2=4.712>3.841=x005,得到X与Y有关联，此推断犯错误的概率 不大于0.05，B正确： C选项，两个随机变量的线性相关性越强，样本相关系数的绝对值越接近于1， C错误； D选项，若随机变量5，n满足n=3-2, 则D()=32D(),D错误.故选B.] 2.设O为正方形ABCD的中心，在O,A,B,C,D中任取3点，则取到的3 点共线的概率为( ) A.吉 B.子 C. D.青 A[如图，从O,A,B,C,D5个点中任取3个有 D 0 {O,A,B},{O,A,C},{O,A,D},{O,B,C}, 1/10 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 {O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D}, A,C,D},{B,C,D}共10种不同取法， 3点共线只有A,O,C}与{B,O,D}共2种情况， 由古典概型的概率计算公式知， 取到3点共线的概率为品=言.故选A.】 3.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校 大约有40%的学生每天玩手机超过2h,这些人的近视率约为60。.现从该校近 视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过2h的概率为() A.青 B.吉 c.是 D.8 A[从该校学生中任意调查一名学生他是近视记为事件A,且P(A)=03,从该 校学生中任意调查一名学生他每天玩手机超过2h记为事件B,且由题可知，P (4B)=0.6×0.4=0.24,所以从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天 玩手机超过2h的版率为P代BA)-需-暗-手.故选A.】 4.(2025·山东济南模拟)为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x(单位：dm) 与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型y=ce: (c>0)去拟合x与y的关系，设z=lny,x与z的数据如表格所示：得到x与z的 经验回归方程2=1.2x+a,则c=() 3 4 7 2 2.5 4.5 7 A.-2 B.-1 C.e2 D.el C由已知可得，x=442=5,z=225#5=4, 4 所以，有4=1.2×5+a,解得a=一2， 所以2=1,2x-2, 由z=lny,得ny=1.2x-2, 所以y=el2x-2=e2·el2x,则c=e2.故选C.] 5.设A,B为随机事件，则P(A)=P(B)的充要条件是() 2/10 *独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.P(AUB)=P(A)十P(B) B.P(AB)=P(A)P(B) C.P(AB)=P(AB) D.P(AB)=P(BA) D [P(A)= PA B)+PAB),P(B)=P(BA)+P(AB),故PA)=P(B)的充要条件是PAB)=P(BA). 故选D.] 6.(2025·河北邯郸模拟)在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道 在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A,B,C三个比赛场地的现场 报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为() A.32 B.24 C.18 D.12 B[按照A场地安排人数，可以分以下两类： 第一类，A场地安排1人，共CCA=18(种)安排方法， 第二类，A场地安排2人，共CA=6种安排方法， 由分类加法计数原理得，共有18十6=24（种）不同安排方法.故选B.] 7.(2025·江苏连云港模拟)有5张相同的卡片，分别标有数字1,2,3,4,5， 从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，A1表示事件“第一次取出的卡片 上的数字为2”，A2表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，A3表示 事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，A4表示事件“两次取出的卡片上 的数字之和为7”，则() A.A3与A4为对立事件 B.A1与A3为相互独立事件 C.A2与A4为相互独立事件 D.A2与A4为互斥事件 B43与A4互斥但不对立，故A错误： P41)=青，P4)=亮=号，PA4)=六=P41)P4),所以A1与A3相互独立， 故B正确： 3/10 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 P42)=,P4)=,P(44)=元≠PA)PA),A2与A4不独立，故C错误： A2表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，A4表示事件“两次取出的 卡片上的数字之和为7”，A2与A,可同时发生，A2与A4不互斥，D错误.故 选B.] 8.(2024·江苏无锡月考)某学生进行投篮训练，采取积分制，有7次投篮机会， 投中一次得1分，不中得0分，若连续投中两次则额外加1分，连续投中三次额 外加2分，以此类推，连续投中七次额外加6分，假设该学生每次投中的概率是 ,且每次投中之间相互独立，则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是( ） A. B.高 C. D.是 B[根据题意，该学生在此次训练中恰好得7分，可分为三类情况： ①若连中4次，额外加3分，剩余3次不中，满足要求，此时将连中4次看作一 个整体，与其他三次不中排序，共有C4C=4种)选择， 故概率为4×（经）(1)3=动， ②若连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不 连续，故两次不中之间可能为一次中，也可能是三次中，有以下情况： 中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中， 则概率为c(任)(1)2=品， ③若有两次连中两回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中 (不中)冲（不中）中中，满足要求，则概率为C()(1)=, 综上，该学生在此次训练中恰好得7分的概率为克十品+品=品 故选B.】 二、多项选择题 9.随机变量X的分布列如下表，随机变量Y~B(3,号).设Z=灯，PZ=0)= 器，且X与了互相独立，则下列说法正确的是( X a P p 1-p 4/10 ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.p- B.p=黄 C.a=0 D.E(2O=号 BC:随机变量y~B(3,),∴PW=0)=()=克， 若a≠0，则P(Z=0)=PCT=0)=P(Y=0)=立， 由已知PZ=0)=器≠克，故a=0,C选项正确： 又X与Y互相独立， 则PZ=0)=PCT=0)=PX=0)+PY=0)-PX=0,Y=0)=p+克-克p=器， 解得p=言，B选项正确，A选项错误： 又E)=0X号+1×号=号，E)=3X号=2， E(Z)=E)=EOE()=青，D选项错误.故选BC.】 10.(2025·河南三门峡模拟)某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员 某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图 所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）() 频率/组距 0.035 0.015.. 0.010. 05060708090100质量指标值/分 A.m=0.030 B.样本质量指标值的平均数为75 C.样本质量指标值的众数小于其平均数 D.样本质量指标值的第75百分位数为85 ACD「对于A项，由题意知(0.010+0.015+0.035+m十0.010)×10=1，解得m =0.030,故A项正确： 对于B项，样本质量指标值的平均数为55×0.1+65×0.15+75×0.35+85×0.3 +95×0.1=76.5,故B项错误； 对于C项，样本质量指标值的众数是48=75<76.5，故C项正确： 2 对于D项，前3组的频率之和为(0.010十0.015+0.035)×10=0.60，前4组的频 5/10 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 率之和为0.60+0.030×10=0.90， 故第75百分位数位于第4组，设其为t 则(t-80)×0.030十0.60=0.75，解得=85， 即第75百分位数为85，故D项正确.故选ACD.] 11.(2024·河北石家庄质检)在正三棱柱ABCA1B1C1中，若A点处有一只蚂蚁， 随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻 顶点移动的概率相同，设妈蚁移动n次后还在底面ABC的概率为P,则下列说 法中正确的是() A.P= B.P=8 C.{Pn号}为等比数列 D.P=-动×()2+ BCD[由题可知，当n=1时，P=号，故A错误： 当n≥2时，Pm-1表示第n一1次在平面ABC的顶点上的概率，1一Pm-1表示第n一1 次在平面A1BC的顶点上的概率 由底面ABC走到底面ABC的概率为号， 由底面A1B1C1走到底面ABC的概率为是， 所以Pw=P-1十1一Pm-), 得Pn-=-(P1含)， 又P1一}=一品，所以{Pn}是等比数列，首项为一市，公比为一言，故C正 确： 故P-主=一动()1， 得P=一()+， 故P=是，所以B,D正确。 故选BCD,] 三、填空题 12.已知(c-2)(x+)的展开式中的常数项为240，则a= 6/10 ·独家授权侵权必究。 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3[(x+是)的展开式的通项Tk+1=Cx5k·(是) =2*Cx5-2k=0,1,2,3, 4,5), 令5一2k=-1,得k=3,令5一2k=0,无解， 所以(ar-2)(x+是)的展开式中的常数项为a23C=80a=240,所以a=3.] 13.(2024·广东珠海一模)甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人， 乙班40人，甲班的平均成绩为72分，方差为90：乙班的平均成绩为90分，方 差为60.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是 分，方差是 80 智[甲、乙两班全部90名学生的平均成绩为288型=80分， 5040 方差为0×[90+(72-80)2]+0×[60+(90-80)2]=号×154+青 ×160=智.】 14.(2025·江苏南通模拟)某校春季体育运动会上，甲、乙两人进行羽毛球项目 决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠军.已知甲、乙两人水平相当， 记事件A表示“甲获得冠军”，事件B表示“比赛进行了五局”，则P(B) 是[因为甲、乙两人水平相当，所以每局比赛甲，乙获胜的概率都是， 比赛进行了五局，分甲获胜和乙获胜两种情况，则P(B)=2×C保×（传）泸=， 又P(AB)=C4×(经)P=齐， 所以P(p)=得=亨=，】 四、解答题 15.(2024·广东深圳一模)在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环 节.每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数 字有可能出现错误.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为a (0<《<1),1一a:发送信号1时，接收为1和0的概率分别为01)，1一阝. 假设每次信号的传输相互独立 ()当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概 率为()，求f()的最小值： 7/10 独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为x1,, 3,4,记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X(,2,,4 中任意相邻的数字均不相同时，令X=1),若B=号，求X的分布列和数学期望. [解1)由题可知八)）=a3+1-a3=3a2-3a+1=3(a-)2+子，因为0 <a<l,所以当a=号时，f(a)的最小值为是. (2)由题设知，X的可能取值为1,2,3,4. ①当X=1时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010. 国此，P(X=1)=号××子×专+×子××子=品： ②当X=2时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011， 或1001，或0110，或1100，或0011. 国此，P(x=2)=(3)××号×2+（传）×号××2+(3)2×()2×4= 部=： ③当X=3时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000 国此，P(X=3)=()×号×2+×()3×2=器： ④当X=4时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111. 国此，P(X=4)=()中+()=品 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P 品 留 7 81 因此，E(X)=1×品+2×等+3×器+4×}=. 208 16.(2025·山西长治模拟)某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前 对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或 电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试.现对测试数据进行整理，得到如 图所示的频率分布直方图： 8/10 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 频率/组距 0.009- 0.004… 0.002. 0.001 单次最大 0180230280330380430续航里程/千米 (1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x(同一组中的数据用该组区 间的中点值代表)： (2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测 试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N (4,o2),其中近似为样本平均数x,o近似为样本标准差s. ①利用该正态分布，求P(250.25≤X≤399.5)： ②假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能 源汽车中单次最大续航里程位于区间250.25,399.5]的车辆数，求E(☑： (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送 大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点O 出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都为，客户每掷一次硬币，遥控 车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向右移动一个单位，若掷出反面，则遥 控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点(59,0)（胜利大本营）或点(60,0（失 败大本营)时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优 惠券.设遥控车移到点(n,0)的概率为P(1≤n≤60)，试证明数列{PnPm1} 是等比数列(2≤n≤59)，求出数列{P}(1≤心60)的通项公式，并比较Ps9 和P6和的大小. 参考数据：若随机变量服从正态分布N(4,o2),则P(μ-0≤≤μ+0)=0.682 7,P(u-2o≤≤u+2a)=0.9545,P(u-3o≤≤u+3o)=0.9973. [解](1)x=205×0.1+255×0.2+305×0.45+355×0.2+405×0.05=300 即估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为300千米， (2)①P250.25≤X≤399.5)=0.6827+0954506821=0.8186. 2 ②，Z服从二项分布B(20,0.8186), ∴.E2)=20×0.8186=16.372 9/10 独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXK.C0m○ 您身边的互联网+教辅专家 )当3≤n≤59时，Pm=P-1十Pn-2,Pn-P-1=-支(Pm1Pn2), P=,P=克×登+=，P2-P1= ∴.{PnPn1}(2≤n≤59)是以为首项，一支为公比的等比数列， P。-P-1=4-(生)2≤n≤59， B-乃=幸，P-P=(),…,P-P-1=(支)2≤n≤59 累加得， -A=,P=-(3)2≤9. Po=P=号+（经）9 号()1,1ss59. ,+-()8,n=60 :P0-Pw=专-专×()59=青[1-(3)5]>0，∴P四>P [注：此较P5肥60的另-个过程：Ps0=子（生）8>号言=支，P60=1-P59<<P5 10/10 ·独家授权侵权必究·