第十章 教考衔接课5 从高考概率与统计试题探寻高考改革动向-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word

多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 教考衔接课5从高考概率与统计试题探寻高考改革动向 概率与计是高考考查学生数学建模素养和数据分析素养的重要载体，在 高考中占有非常重要的地位.概率与统计的命题方向主要有以下两类：一是概率 计算问题：二是统计案例问题.近年来新高考加大了相互独立事件和条件概率的 考查力度，由于该部分知识也恰是新教材中扩充的内容，切合了新课标对教学的 要求，指引师生在后续的备考中要关注教材改版前后内容的变化，同时兼顾知识 间的渗透与融合。 口命题点一立足统计本质、注重知识交融 [典例1](2023·新高考川卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未 患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病 者该指标的频率分布直方图： 频率组距 0.040 0.036 0.034 0.012 0.002 0 95100105110115120125130指标 忠病者 频率/组距 0.010 0.002x- 0 707580859095100105指标 未患病者 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值©，将该指标大于℃的人判定为 阳性，小于或等于的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴 性的概率，记为p(c):误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为g(c,.假设 1/7 独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c): (2)设函数f(c)=p(c)十q(c).当c∈[95,105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区 间[95,105]的最小值 [解](1)由题图知(100一95)×0.002=1%>0.5%，所以95<c<100, 设X为患病者的该指标， 则pc)=PX≤c)=(c-95)×0.002=0.5%, 解得c=97.5. 设了为未患病者的该指标， 则gc)=P(Y>c)=(100-97.5)×0.01+5×0.002=0.035=3.5%. (2)当95≤c≤100时， pc)=(c-95)×0.002=0.002c-0.19, q(c)=(100-c)×0.01+5×0.002=-0.01c+1.01,所以f(c)=p(c)+9(c)=- 0.008c+0.82: 当100<c≤105时， p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012=0.012c-1.19,g(c)=(105-c)×0.002= 0.002c+0.21, 所以f(c)=p(c)+g(c)=0.01c-0.98. (-0.008c+0.82,95≤c≤100， 综上所述，f(c)={ 0.01c-0.98,100<c≤105 由一次函数的单调性知，函数f(c)在[95,100]上单调递减，在(100,105]上单调 递增，作出f(c)在区间[95,105]上的大致图象（略），可得f(c)在区间[95,105]上 的最小值f(c)min=f(100)=-0.008×100+0.82=0.02. 名师点评概率主要研究随机现象，统计主要研究数据，进行数据分析，将两者 巧妙地融合是历年来高考命题的思想之一，高考曾将频率分布直方图与二项分布、 超几何分布、正态分布融为一体考查，本题又将频率分布直方图与分位数、函数 建模巧妙地融为一体，给出了新的命题动向.关注知识间的内在联系，研习高考 命题思路，提升备考技能。 【教用·备选题】 2/7 独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2024·安徽黄山一模)某校高三年级1000名学生的高考适应性演练数学成绩频 率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是 [30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]. 频率/组距 0.0150 0.0075 0.0025 030507090110130150数学成绩/分 (1)求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计这1000名学生的这次考试数学 成绩的第85百分位数： (2)从这次数学成绩位于[50,70)，[70,90)的学生中采用比例分配的分层随机 抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，该3人中成绩在区间 [70,90)的人数记为X,求X的分布列及数学期望. [解](1)由频率分布直方图可得(0.0025+0.0075+0.0150×2+2a)×20=1, 解得a=0.005. 前四个矩形的面积之和为(0.0025+0.0075+2×0.0150)×20=0.8， 前五个矩形的面积之和为0.8+0.005×20=0.9， 设这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为m,则0.8+ (m-110)×0.005=0.85,解得m=120, 因此，这1000名学生的这次考试数学成绩的第85百分位数为120 (2)数学成绩位于[50,70)，[70,90)的学生人数之比为0.0075：0.015=1：2， 所以，所抽取的9人中，数学成绩位于[50,70)的学生人数为9×青=3，数学 成绩位于[70,90)的学生人数为9×号=6. 由题意可知，随机变量X的可能取值有0,1,2,3，别P(X=0)=得=东，P (x=1)=等=， PX=2)-等=培，P(X=3)-月-a, 所以，随机变量X的分布列如下表所示： 3/7 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 X 0 2 3 P 产 品 器 所以，E(X)=0×序+1×年+2×器+3×员=2. )命题点二考查数据分析、渗透原理论证 [典例2】(2022·新高考1卷改编)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与 当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病 的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查 了100人（称为对照组），得到如下数据： 单位：人 卫生习惯 组别 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 madbc) 附：X2=a+bc+a+9b叶d,n=a+b十c+d d 0.05 0.01 0.001 Xa 3.841 6.635 10.828 (1)依据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为患该疾病群体与未患该疾病群 体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表 P(BA) P(BA) 示事件“选到的人患有该疾病”·丽与丽的比值是卫生习惯不够良好对患 该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R. P(AB)P(AB) ①证明：R=ABPA阳： ②利用该调查数据，给出P(AB),P(AB)的估计值，并利用①的结果给出R的估 计值。 [解](1)零假设为H:患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯无差异. madbc)2 X2=a+bc件da+ob+可= 20040x90-60x102 50x150×100x100 =24>6.635=x001, 4/7 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 依据小概率值=0.01的独立性检验，推断Ho不成立，即认为患该疾病群体与未 患该疾病群体的卫生习惯有差异. R R两 P(BA)-P(BA) (2)①证明：R=聊= P(BA)-P(BA)· P(BA)-P(BA) 由题意知，证明PAP(啊 P(AB)-P(AB) =PABP4的即可， RAB PYAB) 9P0 P(AB)-P(A B) 左边=RA超A画 P用P) P(AB)-P(AB), 代明司 ) P(AB)-P(A B) 右边=回颤= K8) P(AB)-P(AB) P(AB)P(AB) 左边=右边，故R=PABP(A· ②由已知P4B)=,P4B)=b, 又P4)=是，P(AB)=品， P(AB)P(AB) 所以R=PA5PAB =6. 名师点评 新教材与老教材相比，对核心概念、重要公式等都做了必要的拓展、 补充或证明，平时备考需进一步加强对核心概念的认知和基本理论体系的建立， 如本题(2)问与我们平时的备考不同，一是题干长，二是涉及条件概率，而且还 是证明问题，本题看似麻烦，实则容易，由已知条件和所求R的值两个等式可分 别利用条件概率公式展开相乘化简，即可得证：然后结合互斥、对立事件概率之 问的关系就可以轻而易举地解答出最后一问. 【教用·备选题】 1.(2024·湖北荆州模拟)某果园产苹果，其中一堆苹果中大果与小果的比例为4 1. (1)若选择分层随机抽样，抽出100个苹果，其中大果的单果平均质量为240克， 方差为300，小果的单果平均质量为190克，方差为320，试估计果园苹果的单 果平均质量、方差： (2)现用一台分选机筛选，已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为10%，把 5/7 ·独家授权侵权必究。 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 小果筛选为大果的概率为5%，经过分选机筛选后，现从“大果”里随机抽取一 个，求这个“大果”是真的大果的概率 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m,x,S子： n,y,号·记样本平均数为0，样本方差为2，s2= [s+(&)2]++s+y-w的1. [解](1)因为大果与小果的比例为4：1， 所以100个苹果中，大果的个数为青×100=80，小果的个数为青×100=20， 设大果的单果平均质量为名1克，方差为S,小果的单果平均质量为2克，方差为 g, 设100个苹果的单果平均质量为w克，方差为2，则81=240，S=300,2 190,S号=320， 所以100个苹果的单果平均质量W=0240190=230克， 100 100个苹果的方差2=0×B00+(240-230)门+品×B20+(190-230)月=704 80 故估计果园苹果的单果平均质量为230克，方差为704. (2)设事件A1=“放入水果分选机的苹果为大果”， 事件A2=“放入水果分选机的苹果为小果”， 事件B=“水果分选机筛选的苹果为‘大果’”， 由题知P(A1)=,P(A2)=言， P(A1)=10%=,P(A2)=5%=六 所以P(A1)=1-P(A1)=1-=品， 由全概率公式可得，P(B)=P(A1B)+P(A2B) =P(A1)P(A1)+P(A2)P(A2) =手×品+片×市=品， P(AB)=P(A1)P(A1)=手×品=器， 因此，P(AB)=智=号品=君。 所以从“大果”里随机抽取一个，这个“大果”是真的大果的概率为号 2.从装有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放 6/7 ,独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 回，记A,表示事件“第1次摸到红球”，=1,2，，7. (1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率； (2)记P(AA43)表示A1,A2,A3同时发生的概率，P(A3A42)表示已知A与A2 都发生时43发生的概率， ①证明：P414243)=P(41)P(4241)P(A4142): ②求P(43): 解(Q)由条件桃率公式可得PA)=岩-琴-， 所以在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为： (2)①证明：由条件概率乘法公式 P(AA:A) P4sA42)=号，可得PA44)=PA4rA44, P(AA 由P4241)=PA, 可得P(AA2)=P(A1)P(A2A1), 所以P(A43A3)=P(A)P(A2Ai)P(A34A2) ②由①可得P43)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2Ag) P(A)P(AA)P(A3AA2)+P(A)P(AA)P(A3AA2)+P(A)P(AA)P(AAA2) =号×名×+等×君×号+号×告×号+等×吾×是=号，所以P4)=号. 7/7 ·独家授权侵权必究·