第十章 第4课时 概率、统计的综合问题-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第4课时 概率、统计的综合问题 [考试要求]1.能从实际生活背景中构建概率模型，并会用统计思维看待和处 理实际问题.2.能灵活运用概率、统计、数列、函数、导数等知识解决综合问 题，实现知识间的融合 [典例精研·核心考点] 重难解态·直击高考 考点一以统计图表为载体的概率、统计问题 [典例1](2022·新高考川卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某 种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图 ↑频率组距 0.023 0.020 0.017 0.012 0.006 0.002 0.001 0102030405060708090年龄/岁 ()估计该地区这种疾病患者的平均年龄：（同一组中的数据用该组区间的中点值 作代表) (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20,70)的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口 占该地区总人口的16%，从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)， 求此人患这种疾病的概率.（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患 者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001) [解](1)该地区这种疾病患者的平均年龄x=(5×0.001+15×0.002+25×0.012 +35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10 =47.9(岁) (2)设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，则P(4)=1一P(A)=1一(0.001 +0.002+0.006+0.002)×10=1-0.11=0.89 (3)设B={任选一人年龄位于区间[40,50)}，C={任选一人患这种疾病}，则由 条件概率公式， 得PCB=号=1929既20=0.014375≈0.014 P(BC) 16% 1/20 独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXK.C0m○ 您身边的互联网+教辅专家 名师点评该类问題常常借助图形或表格，将文字、图表、数据等融为一体，考 查考生的直观想象能力和数学建模素养，求解的关键是立足题干提取信息，结合 统计的相关知识进行数据分析或结合概率模型求解相应概率， [跟进训练] 1.AI技术驱动的自然语言处理工具引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数 学兴趣小组为了解使用此类工具人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区 使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘 制了如下频率分布直方图. ↑频率/组距 0.030 0.025 0.020 0.010 0.005 010203040506070年龄 (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数： (2)将年龄不超过(1)中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民. ①完成下列2×2列联表，根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为年龄与 是否喜欢该程序有关联？ 单位：人 年龄 对该程序的态度 合计 青年 非青年 喜欢 20 不喜欢 60 合计 200 ②按照等比例分配分层随机抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的 这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青 年居民的概率. radbe)' 参考公式：X2=a+bc+a+b叶可，其中n=a+b+c+d, 参考数据： 2/20 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 a 0.1 0.05 0.01 Xa 2.706 3.841 6.635 [解](1)由频率分布直方图可知， 年龄在40岁以下的居民所占比例为10×(0.010+0.025+0.030)=0.65， 年龄在50岁以下的居民所占比例为0.65+10×0.020=0.85， 所以75%分位数位于[40,50)内， 由40+10×8058第=45， 所以样本数据的75%分位数为45. (2)①由题知，2×2列联表为 单位：人 年龄 对该程序的态度 合计 青年 非青年 喜欢 90 20 110 不喜欢 60 30 90 合计 150 50 200 零假设为H0:年龄与是否喜欢该程序无关， 根据列联表中的数据，可得 T=20090a06020≈6.0613.841=5. 150×50x110x90 根据小概率值=0.05的独立性检验，我们推断H。不成立，即认为年龄与是否喜 欢该程序有关，以此推断的错误概率不大于0.05. ②按照分层随机抽样，青年居民应抽取8×子=6（人），非青年居民应抽取2人 设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为X, P(X=3)=譬-， P(x=4)-手=条， 所以P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=是， 所以这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为站。 【教用·备选题】 3/20 ◆独家授权侵权必究。 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXK数c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况， 随机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表： 天数 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30] 人数 15 33 31 11 6 (1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布N(u,), 其中u近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且σ=6.1，若全校有3000 名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）月 (2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[15,30]的学生中有30 名男生，天数在[0,15)的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小 时”活动不低于15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表： 单位：人 活动天数 性别 合计 [0,15) [15,30] 男生 女生 合计 依据小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称 号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响。 参考数据：若XN(,,则P(u一o≤X≤十≈0.6827， P-2o≤X≤u+2o)≈0.9545， P(u-3o≤X≤u+3o)≈0.9973. nadbe 附：X2-a+bc件a9叶可，n=a+b+c+d a 0.05 0.01 0.001 Xa 3.841 6.635 10.828 [解](1)由频数分布表知 =1×(4×2.5+15×7.5+33×12.5+31×17.5+11×22.5+6×27.5)=14.9, 则X~(14.9,6.12), 4/20 独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXK数com● 您身边的互联网+教辅专家 ,P(u-o≤X≤+o≈0.6827， ∴.PX>21)=PX>14.9+6.1) ≈10.6821=0.15865， 2 ∴.3000×0.15865=475.95≈476， ∴.参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476. (2)由频数分布表知，锻炼活动的天数在0,15)的人数为4+15+33=52， ,'参加“每天锻炼1小时”活动的天数在0,15)的学生中有20名男生， .参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0,15)的学生中女生人数为52一20=32. 由频数分布表知，锻炼活动的天数在[15,30]的人数为31十11十6=48， ,参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[15,30]的学生中有30名男生， ∴.参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[15,30]的学生中女生人数为48一30 =18. 列联表如下： 单位：人 活动天数 性别 合计 [0,15) [15,30] 男生 20 30 50 女生 32 18 50 合计 52 48 100 零假设为Ho:学生性别与获得“运动达人”称号无关， X=10g30e220a9≈5.769>3.841， 50x50x52x48 依据a=0.05的独立性检验，我们推断Ho不成立， 即可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关，以此推断犯错误的概率不大 于0.05 根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数不低于15天的频率分别为器= 0.6和品=0,36，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动 达人”称号频率的0≈1.67倍，于是依据频率稳定与机率的原理，我们可以认 为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得“运动达人”称号 5/20 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 考点二概率、统计与数列的综合问题 [典例2](2023·新高考1卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下： 若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲 每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投 篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.求： (1)第2次投篮的人是乙的概率： (2)第1次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量X服从两点分布，且PX=1)=1一P(X=0)=,=1,2,“, 记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y ,求E(. [解](1)记“第2次投篮的人是乙”为事件A,“第1次投篮的人是甲”为事件B, 则A=BA十BA, P(A)=P(B4+BA=P(BA)+P(BA)=P(B)P(AB)+PB)P(AB)=0.5x (1-0.6)+0.5×0.8=0.6. (2)设第1次投篮的人是甲的概率为P,由题意可知，pP1=专，P+1=PX0.6+(1一P )×(1-0.8),即P+1=0.4p十0.2=号pn十， 所以p+1-号=(P) 又Pm一青=生号=青，所以数列{P青}是以哈为首项，音为公比的等比数列， 所以一专=告x(), 所以m=号+吉×（图）. (3)设第1次投篮时甲投篮的次数为X,则X的可能取值为0或1，当X=0时， 表示第1次投篮的人是乙，当X,=1时，表示第1次投篮的人是甲，所以PK 1)=Pi,PW=0)=1一P,所以ECX)=P. Y=X1+X2+X3+…+Xw, 则E()=EX1十X2十X3十…十X)=p1十P2十P3十…十Pm,由(2)知，p= 青+×()， 6/20 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 所以=m+p+p++pm=号+片×[1+号+（有）++()产T= +×母-9+帝×1-(3)1 名师点评解答此类问题的关键是借助概率知识（如相互独立事件的概率公式、条 件概率的公式等)建立Pm+1与Pm的递推关系，然后利用数列知识（一般是构造法） 求解， [跟进训练] 2.甲、乙两位乒乓球爱好者进行一次对抗赛，第一个球的发球权通过掷硬币确 定，从第二个球开始，上一个球谁赢谁发球.由以往数据可知，甲发球甲赢的概 率为子，乙发球甲赢的概率为 ()求第1个球甲赢的概率p: (2)求第n个球甲赢的概率P: ⑧定义第n个球甲赢的期望E一，求E [解](1)设第1个球的发球人为甲为事件Ao,第1个球的发球人为乙为事件Bo, 第1个球甲赢为事件41，由题知，P4o)=P(B)=寺，P414o)=子，P41B)=, 由全概率公式知，Pn=P4)=PAo)P41Ao十PBoP41Bo)=号×是+号×号=器， 第1个球甲赢的概率P=号。 (2)设事件Am:第n个球甲赢，事件Bm:第n个球乙赢， 由题知，当n≥2时，P44n-=是，P4Bn-)=青，PBn-)=1-Pm-1,Pm=品 由全概率公式知，当n≥2时，Pn=PAn)=P(AMAm-1)P(An-1)十P(AWB-1)P(Bn-1) =pm-1+l-Pm-)=0Pm1+诗， p-青=号(Pn1), “p一等=器告=流， ∴数列{P音}是首项为流，公比为》的等比数列， “一音=流x(结)， 7/20 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 “pm=亩×（结）+手. 6)由(2)知，E=p=是×(0)”+9。 设数列{贵×()”}的前n项和为 则T。=×站+希×()+最×（分）+…+最×（结）”，① ∴品工，=南×（分）+最×(0)3+…+路×（给）”+贵×（给）1，② 0-②得，品1=站×带+市×（结）尸++市×（给）”-帝×（结）*1 =市×量×()产-益放×（份）”-音×（结） ∴7=8.202×()”， 易知数列{智}的前n项和为红+ =拐.器2×(0)）”+4 【教用·备选题】 1.(2019·全国1卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种 新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进 行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治 疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的 白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题， 约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1分，乙药得一1分：若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1分，甲药得一1分：若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的 治愈率分别记为a和B,一轮试验中甲药的得分记为X. (1)求X的分布列： (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，P(=0,1,…,8)表示“甲药的累 计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则po=0,Ps=1,P=ap-1 +bp,十cp+1=1,2,,7),其中a=PX=-1),b=PX=0,c=PX=1).假 设a=0.5,B=0.8. ①证明：{P+1一P(1=0,1,2,…,7)为等比数列： 8/20 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ②求P4,并根据P4的值解释这种试验方案的合理性. [解1()由题意可知X所有可能的取值为一1,0,1. P(X=-1)=(1-a)B, P(X=0)=a6+(1-a)(1-β)， P(X=1)=a(1-β). 则X的分布列为 X 0 P (1-)p a+(1-)(1-β) a(1-) (2).a=0.5,B=0.8, .a=0.5×0.8=0.4,b=0.5×0.8+0.5×0.2=0.5,c=0.5×0.2=0.1. ①证明：P,=a-1十bp十c+1(i=1,2,…，7), 即p=0.4p-1+0.5p+01p+1(i=1,2,…,7), 整理可得：5p=4p-1十+1(i=1,2,,7), ∴p+1-p=4(PP1)(i=1,2,,7), 又，p1-p0=p1≠0， “{P+1P}(1=0,1,2,,7)是以m为首项，4为公比的等比数列. ②由①知：P+1一P=(P1P0)·4=p1·4, ∴p%-p=p1·47,p-p6=P14…P1P6=p1·4. 作和可得：%-o=n·(4+4+.+4)=菩m=号m=1,n=磊， ∴p4=p4-Po=Pm·(4+4+4+4)=塔Pm=号×斋=本=动 P4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5， 乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为P4=≈0.0039，此时得出错 误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理 2.踢键子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动.某次 体育课上，甲、乙、丙、丁四人一起踢健子.键子在四人中传递，先从甲开始， 甲传给乙、丙、丁的概率均为；当乙接到毽子时，乙传给甲、丙、丁的概率分 别为，，：当丙接到键子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为，，各：当丁 9/20 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 接到毽子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为，，之.假设毽子一直没有掉地 上，经过n次传毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为am,bu,cm,dn, 已知a1=0. (1)记丁在前2次传毽子中，接到毽子的次数为X,求X的分布列： (2)证明{a}为等比数列，并判断经过150次传键子后甲接到健子的概率与 的大小 [解](1Y的所有可能取值为0,1， PX=0)=2X(3×专+专×支)=8， PX=1)=青+2××者=等， 所以X的分布列为 X 0 1 P 等 (2)证明：当n≥2且n∈N时， a,=专bn-1十cm-1十青dn-1. bw=a-1+cn-1+言dn-, cn=青an-1+bn-1十dn-1, d,=专ar-1十音bw-1+言cn-1, 所以bm十cn十d,=am-1十号(b-1十cm-1十d-1)=au-1十2a, 因为an=青bn-1十青cn-1+青dn-,所以3an+1=bn十cn十dn, 所以3an+1=2an十an-1,所以3an+1+a,=3an+am-1, 因为a=0,a2=青，所以3an十an-1=1, 所以斜=一， 所以{a4}是首项为一全，公比9=-青的等比数列， 所以a一专=一()1 即a,=-()+, 所以a0=-()49+=含×（传）49+生， 10/20 独家授权侵权必究