第十章 第3课时 成对数据的统计分析-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.com 您身边的互联网+教辅专家 第3课时 成对数据的统计分析 [考试要求]1.了解样本相关系数的统计含义.2.理解一元线性回归模型和2×2 列联表,会运用这些方法解决简单的实际问题,3.会利用统计知识进行数据分 . [链接教材·夯基固本 落实主干·激活技能 梳理·必备知识 1. 变量的相关关系 两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度 这种关系称为相关关系,即不确定性关系 2. 相关关系的分类 (1)按变量间的增减性分为正相关和负相关 ①正相关:当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势 ②负相关:当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减小的趋势 (2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关) ①线性相关:如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线 附近,我们称这两个变量线性相关 ②非线性相关或曲线相关;如果两个变量具有相关性,但不是线性相关, 我们称 这两个变量非线性相关或曲线相关 3. 相关关系的刻画 (1)散点图:成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来,由这些点组成的 统计图,叫做散点图 (2)样本相关系数,的计算式 1/37 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (x-x)(y-y) 2xy-ny 二 #x}-:*} -y) (3)样本相关系数,的性质 ①样本相关系数-的取值范围为[一1,11 ②若0时,成对样本数据正相关 ③若0时,成对样本数据负相关 ④样本相关系数与相关程度 当越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强 当越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱 提醒:当两个变量的样本相关系数川一1时,两个变量呈函数关系 4. 一元线性回归模型与最小二乘法 (1)一元线性回归模型 或响应变量,x称为自变量或解释变量,a称为截距参数,b称为斜率参数:e 是Y与bx十a之间的随机误差,如果e一0,那么Y与x之间的关系就可以用一 元线性函数模型来描述. (2)最小二乘法 将一bx十a称为Y关于x的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式 其图形称为经验回归直线,这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,求得的 b,叫做,a的最小二乘估计,其中 b一 ,--. 5. 刻画回归效果的方式 (1)残差图法 2/37 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.7XXK.Eom 您身边的互联网+教辅专家 在残差图中,残差比较均匀地分布在以横轴为对称轴的水平的带状区域中,说明 满足一元线性回归模型的假设,这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度 越高. (2)残差平方和法 残差平方和越小,模型拟合效果越好 (3)决定系数法 (其中y-y).R2的值越趋近于1,模型的拟合效果越好. 6. 列联表与独立性检验 (1)分类变量X,Y的2×2列联表; 合计 Y-0 Y-1 -0 o # a十 -1 d C c十d 合计 a十c b士d n-a十b十c十a 则2- n(ad-bc)2 (土b)(c土d)(土c)土d) (2)利用x2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为x2独立性检验,读作 “卡方独立性检验”,简称独立性检验 (3)2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 [常用结论] 经验回归直线必过样本点的中心(x,). D激活·基本技能 一、易错易混辨析(正确的打“/”,错误的打“×”) (1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系. ( ) 3/37 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.7XxK.Eom 您身边的互联网+教辅专家 (2)样本相关系数的绝对值越接近1,成对样本数据的线性相关程度越强.( _~ (3)若事件X,Y关系越密切,则由观测数据计算得到的x的观测值越小.( _~_ (4)经验回归方程一bx十中,若ā<0,则变量x和v负相关 ( ) [答案](1)(2)V(3)×(4)× 二、教材经典衍生 1.(人教A版选择性必修第三册P1o3习题8.1T,改编)下列四个散点图中,变量x 与v之间具有负的线性相关关系的是( D C D [观察散点图可知,只有D选项的散点图表示的是变量x与v之间具有负的 线性相关关系.1 2.(人教A版选择性必修第三册Po3练习T;改编)在一次试验中,测得(x,y)的 四组值分别为(1,2),(2,0),(4,一4),(-1,6),则y与x的样本相关系数为 () B.-1 C.0 D.-1 B [根据题意得x-x(1+2+4-1)=1.5,y-x(2+0-4+6)=1. -20-4x1.5x1 (22-4X1.52)(56-4×1) 一1. 故选B.] 3.(人教A版选择性必修第三册Pu3练习T.改编)从某学校随机选取8名女大学 生,关于其身高x(单位:cm)和体重v(单位:kg)的经验回归方程为一0.849x一 4/37 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxK.Com 您身边的互联网+教辅专家 85.712,则身高172cm的女大学生的体重约为 kg. $ 60.316[当x=172时,=0.849×172-85.712=60.316.] 4.(人教A版选择性必修第三册P33例题改编)为了调查患肺癌是否与吸烟有关 某机构调查了100名50岁以下的人,调查结果如下表 单位:人 肺癌 吸烟 合计 肺癌患者 非肺癌患者 吸烟者 20 n 40 不吸烟者 A 55 60 合计 25 75 100 根据列联表数据,求得x2一 (保留3位有效数字),那么,在犯错误的概 率不超过0.001的前提下认为患肺癌与吸烟有关 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.05 0.01 0 0.001 3.841 6.635 10.828 22.2[由20十m=40,得m=20. 由20十n-25,得n-5. 40×60x25x75 所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为患肺癌与吸烟有关,1 [典例精研·核心考点] 重难解惑·直击高考 D考点一 成对数据的相关性 [典例1](1)调查某种群花长度和花瓣长度,所得数据如图所示.其中样本相 关系数,一0.8245,下列说法正确的是( ,花瓣长度 __ 花尊长度 5/37 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A. 花瓣长度和花长度没有相关性 B. 花瓣长度和花长度呈现负相关 C. 花瓣长度和花长度呈现正相关 D. 若从样本中抽取一部分,则这部分的样本相关系数一定是0.8245 (2)(2024·山东济南模拟)设一组成对数据的样本相关系数为v,经验回归方程为 一x十,则下列说法正确的为( _~ A.越大,则,越大 B. ā越大,则,越小 C. 若,大干零,则一定大干零 D.若,大于零,则一定小于零 (3)已知一组成对数据(18,24),(13,34),(10,38),(-1,n)的经验回归方程头 --2x+59.5,则该组数据的样本相关系数,- (精确到0.001). (1)C(2)C(3)-0.998 [(1):样本相关系数,=0.8245,且散点图呈左下角到 右上角的带状分布,,花瓣长度和花长度正相关,若从样本中抽取一部分,则 这部分的样本相关系数不一定是0.8245,故选C (2)影响的是经验回归直线的斜率,,影响两个变量之间的相关性,所以ā与,之 间数值大小没有关系,但符号有影响,故选项AB错误:若,大于零,则说明两 个变量正相关,故ā一定大于零,故选项C正确,D错误,故选C (3)由条件可得, 4 经验回归直线--2x+59.5一定过(x,y),代入解得m=62, 96+627 2 6/37 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 #(-4)(y-4y) (594-4x100)×[7020-4×()] ~-0.998.] 名师点评 判定两个变量正、负相关的方法 (1)画散点图:点的分布从左下角到右上角,两个变量正相关;点的分布从左上 角到右下角,两个变量负相关 (2)样本相关系数:,0时,正相关;,二0时,负相关 (3)经验回归方程一bx十ā中:b>o时,正相关;b~0时,负相关. [跟进训练] 1.(1)(2024·天津高考)下列图中,相关性系数最大的是 _一 B 7 (1 _.. 0 C D (2)(2024·重庆模拟)已知成对样本数据(x1,y),(x2,y2),,(x,y) (n>2)中x,x,..,x不全相等,且所有样本点(x,y)(i=1,2,.,n)都 在直线y--3x+1上,则这组成对样本数据的样本相关系数,- ,其决 定系数P2一 7/37 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.7XXK.Eom 您身边的互联网+教辅专家 (1)A(2)一11[(1)观察题千图可知,A图散点分布比较集中,且大体接近某 一条直线,线性回归模型拟合效果比较好,呈现明显的正相关,川相比于其他题 干图更接近1. 故选A (2)由所有样本点(x,y)(t=1,2,.,n)都在直线y--x+1上,又-30, 由题易知--1,R2-1.] 【教用·备选题】 (多选)对两组数据进行统计后得到的散点图如图所示,关于其样本相关系数的结 论正确的是( _ . ))) 4:0123)4) 样本相关系数r。 样本相关系数r A.<0 B.721 C.r十r20 D. lrlr2l AC [由散点图可知,样本相关系数r的图象表示y与x负相关,故一1~10. 故A正确:样本相关系数的图象表示v与x正相关,故0<r<1,故B错误; 因为样本相关系数72的点较样本相关系数的点密集,故r2r,故十 0,故C正确,D错误.故选AC.] D考点二 回归模型 )考向1 一元线性回归模型 [典例2] 按照《中华人民共和国环境保护法》的规定,每年生态环境部都会会 同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》,并向社会公开发 布,下表是2017一2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国 士面积的百分比(%) 年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 年份 C 3 1 4 ,。 代码x 8/37 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 5.5 4.8 6.4 5.0 3.8 (1)求2017-2021年年份代码×与v的样本相关系数(精确到0.01); (2)请用样本相关系数说明该组数据中v与x之间的关系可用一元线性回归模型进 行描述,并求出v关于x的经验回归方程 (3)预测2025年的酸雨区面积占国土面积的百分比 附:经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 (2-7) ,--bx,样本相关系数 参考数据:xv-70.6,-133.69.v36.4~6. [解] 5 64+55+50+48+38-5.1, 由题可列下表: 一x -2 一1 0 1.3 0.4 -0.1 -0.3 -13 36.4 6 -0.98. (2)由(1)知,y与x的样本相关系数r~一0.98,lr接近1,所以y与x之间具有极 强的线性相关关系,可用线性回归模型进行描述。 (-)(3-) 二二( (2_)} 由(1)所求知, 0.59)X3-6.87. 所求经验回归方程为一-0.59x十6.87 (3)令x-9,则 =-0.59×9+6.87-1.56, 9/37 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zXxK.Com) 您身边的互联网+教辅专家 故预测2025年的酸雨区面积占国土面积的百分比为1.56% 【教用·备选题】 据统计,某城市居民年收入(所有居民在一年内收入的总和,单位;亿元)与某类 商品销售额(单位:亿元)的10年数据如表所示 第n 2 3 6 7 9 8 4 10 年 居民 年收 32.2 31.1 32.9 35.7 37.1 38.0 39.0 4.6 43.0 46.0 )x 商品 销售 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 额 依据表格数据,得到下面一些统计量的值 O0 379.6 391 568.9 246.904 (1)根据表中数据,得到样本相关系数,~0.95.以此推断,v与x的线性相关程 度是否很强? (2)根据统计量的值与样本相关系数,~0.95,建立v关于x的经验回归方程。(系 数精确到0.01) ###(c#))#() 附:样本(x,y)(-1,2,..,n)的相关系数,一 2304 ~1.518, (-7)(y:-y) -,-y-:. [解 (1)根据样本相关系数,~0.95,可以推断线性相关程度很强. 10/37 独家授权侵权必究