第十章 第2课时 用样本估计总体-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.com 您身边的互联网+教辅专家 第2课时 用样本估计总体 [考试要求]1.会用统计图表对总体进行估计,会求n个数据的第v百分位数, 2. 能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度,3,掌握分层随机抽样的样 本方差, [链接教材·夯基固本 落实主干·激活技能 C梳理·必备知识 1.众数、中位数、平均数、百分位数 样本数据 频率分布直方图 一组数据中,出现次数最多 众数 最高的小矩形底边中点的横坐标 的数据 把一组数据按从小到大的 把频率分布直方图划分为左右两个 顺序排列,处在中间位置的 中位数 面积相等的部分,分界线与x轴交点 一个数据(或最中间两个数 的横坐标 据的平均数 每个小矩形的面积乘小矩形底边中 平均数 样本数据的算术平均数 点的横坐标之和 一般地,一组数据的第p 百分位数是这样一个值,它 对于数据组[a,b,a以下的数据比例 使得这组数据中至少有p% 为n%,b以下的数据比例为n%,若 百分位数 的数据小于或等于这个 m<pn,则第p百分位数为a十(一a) 值,且至少有(100一p)%的 数据大于或等于这个值 2. 计算一组n个数据的第,百分位数的步骤 第1步,按从小到大排列原始数据 第2步,计算-nXp%; 第3步,若/不是整数,而大于i的比邻整数为/,则第p百分位数为第项数据; 若/是整数,则第)百分位数为第项与第(i十1)项数据的平均数 3. 四分位数 1/22 独家授权侵权必究 · 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxK.com 您身边的互联网+教辅专家 (1)第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数这三个分位数把一组由小到 大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数 (2)第25百分位数又称第一四分位数或下四分位数:第75百分位数又称第三四 分位数或上四分位数 4. 总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 为 1-} 这组数据的方差,也可以写成台 的形式; 为这组 数据的标准差. (2)总体方差和标准差 ①一般式:如果总体中所有个体的变量值分别为Y,Y2,,Y,总体平均数为 ②加权式;如果总体的V个变量值中,不同的值共有<N)个,不妨记为Y Y2,.,Y,其中Y出现的频数为f(i=1,2,..,),则总体方差为s2 #()# 2.总体标准差:s一5{. (3)样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y,y2,..l,y,样本平均数为y,则称s2 -1(-) #2# 为样本方差,s-s2为样本标准差 [常用结论] 平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1,x2,..,xn的平均数为x,那么mx1+a,mx2+a,mx3十a,...,mxn 十a的平均数是m十a. (2)数据x,x2,.,的方差为s2. ①数据x十a,x十a,.,x十a的方差也为s2 ②数据ax,ax,..,ax.的方差为a2y2. 2/22 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 激活·基本技能 一、易错易混辨析(正确的打“”,错误的打“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 。 (2)一组数据的方差越大,说明这组数据越集中 ( ) (3)频率分布直方图中,小长方形的面积越大,表示样本数据落在该区间的频率 越高。 ( ) [答案](1)V (2)X (3) 二、教材经典衍生 1. (人教A版必修第二册P206探究改编)平均数和中位数都描述了数据的集中趋 势,它们的大小关系和数据分布的形态有关,在如图两种分布形态中,a,b,c, a分别对应平均数和中位数之一,则可能的对应关系是( ) A. a为中位数,b为平均数,c为平均数,d为中位数 B. a为平均数,b为中位数,c为平均数,d为中位数 C. a为中位数,b为平均数,c为中位数,a为平均数 D. a为平均数,b为中位数,c为中位数,a为平均数 A [在频率分布直方图中,中位数两侧小矩形的面积和相等,平均数可以用每个 小矩形底边中点的横坐标乘以小矩形的面积之和近似代替,结合两个频率分布直 方图得:a为中位数,b为平均数,c为平均数,a为中位数,故选A.1 2.(人教A版必修第二册P2o练习T,改编)某车间12名工人一天生产某产品的 质量(单位:kg)分别为13.8,13,13.5,15.7,13.6,14.8,14,14.6,15,15.2 15.8,15.4,则所给数据的第25,50,75百分位数分别是 13.7,14.7,15.3 [将12个数据按从小到大排序:13,13.5,13.6,13.8,14,14.6, 14.8,15,15.2,15.4,15.7,15.8 由i一12×25%一3,得所给数据的第25百分位数是第3个数据与第4个数据的 平均数,即13.6+138-13.7: 由一12×50%一6,得所给数据的第50百分位数是第6个数据与第7个数据的 3/22 独家授权侵权必究 。 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 平均数,即40148=14.7; 您身边的互联网+教辅专家 2 由-12×75%一9,得所给数据的第75百分位数是第9个数据和第10个数据的 平均数,即15.2+154-15.3.1 3.(人教A版必修第二册P15练习T。改编)一组数据的平均数是28,方差是4 若将这组数据中的每一个数据都加上20,得到一组新数据,则所得新数据的平 均数是 ,方差是 48 4 [设该组数据为x,x2,.,xn, 则新数据为x+20,x+20,..,x+20,记新数据的平均数为x' 因为s2-(x-x)2+(x2-×)2十.+(xn-x)21. 所 以s{2=([x+20-(x+20)]2+[x2+20-(x+20)]2+.+ [xn+20-(x+20)]2-s2-4.] 4. (人教A版必修第二册P8练习T,改编)为了了解全民对足球的喜爱程度,组 委会在某场比赛结束后,随机抽取了1000名观众进行对足球“喜爱度”的调查 评分,将得到的分数分成6段:[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90, 95),[95,100],得到如图所示的频率分布直方图.图中部分数据丢失,若已知 这1000名观众评分的中位数估计值为87.5,则m三 频率/组距 0.050-------- 0030... 0~707580859095100分数 0.02 [由题可知,5(m+0.025+0.03)+(87.5-85)×0.05=0.5,解得m=0.02.1 [典例精研·核心考点] 重难解惑·直击高考 D 考点一 总体百分位数的估计 [典例1](1)已知由小到大排列的4个数据1,3,5,a,若这4个数据的极差是 它们中位数的2倍,则这4个数据的第75百分位数是( ) A.7 B. 6 C. 5 D. 4 4/22 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理 后画出频率分布直方图如图,则此班的模拟考试成绩的第80百分位数约为 (结果保留两位小数) 频率/组距 0.0300{ 0.0225{ (1)A (2)124.44 [(1)由小到大排列的4个数据1,3,5,a,则a二5, 这4个数的极差为a-1,中位数为3-5-4, 因为这4个数据的极差是它们中位数的2倍。 则a-1-2×4,解得a-9 所以这四个数由小到大依次为1,3,5,9 因为4X0.75-3,所以这4个数据的第75百分位数是+-7.故选A. (2)由频率分布直方图可知,分数在120分以下的学生所占的比例为(0.0100十 0.0150+0.0150+0.0300)×10×100%-70%,分数在130分以下的学生所占的 比例为(0.0100+0.0150+0.0150+0.0300+0.0225)×10×100%-92.5% 因此,80%分位数一定位于[120,130)内. 为124.44.1 【教用·备选题】 已知100个数据的第75百分位数是9.3,则下列说法正确的是( _~ A. 这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B. 把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据 C. 把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第76个数据的平均 善 D. 把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第74个数据的平均 数 C [因为100×75%一75为整数,所以第75个数据和第76个数据的平均数为第 5/22 独家授权侵权必究 · 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 75百分位数,是9.3,则C正确,其他选项均不正确,故选C.1 名师点评 1. 计算一组个数据的第,百分位数的一般步骤 按从小到大排列原始数据 计算i=nXp% 若不是整数,而大于的比邻整数为, 则第p百分位数为第;项数据 若i是整数,则第p百分位数为第;项与 第(i+1)项数据的平均数 2. 频率分布直方图中第p百分位数的计算 (1)确定百分位数所在的区间[a,b). (2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为f%,f%,则第p百分位数 为(b0o). [跟进训练] 1.(1)(2025·湖北武汉模拟)有一组样本数据:15,16,11,11,14,20,11,13, 13,24,13,18,则这组样本数据的上四分位数是( _ A.11 B. 13 C. 16 D. 17 (2)(2024·江苏南通二模)某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名(假设测 试成绩两两不同),成绩处于第90百分位数,则该班级的人数可能为 _~ A. 15 B. 25 C.30 D. 35 (1)D(2)B [(1)将样本数据由小到大排列依次为:11,11,11,13,13,13,14 15,16,18,20,24,因为12×3-9,所以这组数据的上四分位数为16+18-17. 故选D. (2)设班级人数为x,由题意,x-3十1-1<0.9xx-3+1,解得20<x30,又x N*,结合选项可得,该班级的人数可能为25.故选B.1 【教用·备选题】 2024年4月30日,神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆, 激发了 6/22 独家授权侵权必究. 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.7xxK.com 您身边的互联网+教辅专家 学生对航天的热爱,某校组织高中学生参加航天知识竞赛,现从中随机抽取100 名学生的成绩,其频率分布直方图如图所示,设这组样本数据的第75百分位数 为x,众数为y,则( 频率/组距 a--..-.-.- 0.030-.... 0.015- 0.005.1 060708090100学生成绩 A.x-88,v-90 B.x-83,y-90 C. x-83,y-85 D.x-88,y-85 2 [由题意得(0.005+0.030+a+0.015)×10=1,解得a=0.050 因为0.05+0.3-0.35,0.05+0.3+0.5-0.85,则0.35~0.75-0.85 则样本数据的第75百分位数位于[80,90),则0.35十(x一80)×0.050=0.75. 解 得-88, 因为样本数据中位于成绩[80,90)之间最多,则众数为y-80+90-85.故选D.1 □考点二 总体集中趋势的估计 [典例21(1)(多选)已知运动员甲特训的成绩分别为:9,12,8,16,16,18,20 16,12,13,则这组数据的 _ A.众数为12 B. 平均数为14 C. 中位数为14.5 D. 第85百分位数为16 (2)(2025·陕西西安模拟)某校为了解在校学生对中国传统文化的传承认知情况 随机抽取了100名学生进行中国传统文化知识考试,并将这100名学生成绩整理 得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图(分成[40,50),[50,60),[60, 70),[70,80),[80,90),[90,100]六组),下列结论中不正确的是( ) .频率/组距 0.032 0.020. 0.008 0 4050 6070 8090100成绩/分 A.图中的a-0.012 7/22 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 B. 若从成绩在[70,80),[80,90),[90,100]内的学生中采用分层随机抽样方 法抽取10名学生,则成绩在[80,90)内的有3人 C. 这100名学生成绩的中位数约为65 D. 若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,则这100名学生的平均成绩 约为68.2 (1)BC(2)C [(1)成绩从小到大排列为:8,9,12,12,13,16,16,16,18, 20. 出现次数最多的数为16,故A错误; 平均数为1×(8+9+12+12+13+16+16+16+18+20)=14,故B正确; 中位数为13-16-14.5,故C正确: 10X0.85-8.5. 故第85百分位数为第9位,为18,故D错误,故选BC (2)由(0.008x2+a+0.020×2+0.032)x10=1,得a=0.012,所以A正确 不符合题意: 这100名学生中成绩在[70,80),[80,90),[90,100]内的频率分别为0.2,0.12. 0.08,所以采用分层随机抽样方法抽取的10名学生中成绩在180,90)内的有10 ×01-3(人),故B正确,不符合题意: 根据频率分布直方图,可知这100名学生成绩的中位数在160,70)之间,设中位 数为x.则0.08+0.2+(x-60)×0.032=0.5.所以x=66.875,故C错误,符合 题意; 根据频率分布直方图的平均数的计算公式,可得x一45×0.08十55×0.2十65× 0.32+75×0.2+85×0.12+95×0.08=68.2,故D正确,不符合题意.故选C.] 【教用·备选题】 1.(多选)(2024·广东油头一模)某次数学考试后,为分析学生的学习情况,某校 从某年级中随机抽取了100名学生的成绩,整理得到如图所示的频率分布直方图 为进一步分析高分学生的成绩分布情况,计算得到这100名学生中,成绩位于180 90)内的学生成绩方差为12,成绩位于[90,100]内的学生成绩方差为10,则( 8/22 独家授权侵权必究 ← 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 频率/组距 3a 0 50 60708090100成绩/分 A. a-0.004 B. 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 BCD[对于A,在频率分布直方图中,所有直方图的面积之和为1, 则(2a十3a +7a+6a+2a)×10=200a=1,解得a=0.005,A错误; 对于B,前两个矩形的面积之和为(2a+3a)×10=50a=0.25~0.5. 前三个矩形的面积之和为(2a+3a+7a)×10=120a=0.6>0.5. 设该年级学生成绩的中位数为m,则m[70,80) 根据中位数的定义可得0.25+(m-70)×0.035-0.5,解得m~77.14,所以估计 该年级学生成绩的中位数约为77.14,B正确; -87.5,C正确; 对于D,估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为[12十(87.5-85) +[10+(87.5-95)]-30.25,D正确.故选BCD.1 2. 某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动,从所有参赛选手中随机抽取20人,将 他们的得分按照[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组,绘成 频率分布直方图(如图) 频率/组距 001.. 00将 0 2040 6080100 得分 (1)求x的值; 9/22 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 您身边的互联网+教辅专家 (2)分别求出抽取的20人中得分落在[0,20)和[20,40)内的人数 (3)估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数 [解] (1)由频率分布直方图的性质得: (0.0050+0.0075+x+0.0125+0.0150)×20=1 解得x-0.0100. (2)由频率分布直方图能求出 得分落在10,20)内的人数为20×0.0050×20=2 得分落在[20,40)内的人数为20×0.0075×20=3 (3)所有参赛选手得分的平均数为 $0.0050×20×10+0.0075×20×30+0.0150×20×50+0.0125×20×70+0.010 0X20×90-56. 设所有参赛选手得分的中位数为a 则0.0050×20+0.0075x20+0.0150×(a-40)=0.5 解得-170. 所有参赛选手得分的众数估计值为40+60-50. 名师点评 频率分布直方图的数字特征 (1)众数:最高矩形的底边中点的横坐标. (2)中位数:中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等 (3)平均数:平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积 的和. [跟进训练] 2.(1)某射击运动员连续射击5次,命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中 中位数为8,唯一的众数为9,极差为3,则该组数据的平均数为( ) A.7.6 B. 7.8 C. 8 D.8.2 (2)有13名同学参加学校组织的才艺表演比赛,已知他们所得的分数互不相同 共设7个获奖名额,某同学知道自己的比赛分数后,要判断自已能否获奖,在这 13名同学成绩的统计量中只需知道一个量,它是 .(填“众数”“中位 10/22 独家授权侵权必究.