第二章 重点培优课1 函数性质的综合应用-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 重点培优课1 函数性质的综合应用 )题型一函数的奇偶性与单调性 [典例1](1)若定义在R上的奇函数f(x)在（一∞，0）上单调递减，且f(2)=0, 则满足x(x一1)≥0的x的取值范围是() A.[-1,1]U[3,+) B.[-3,-1]U[0,1] C.[-1,0]U[1,+∞) D.[-1,0]U[1,3] (2)(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x), gx)在（一∞，0]上均单调递减，则(） A.f(f(1)<ff(2) B.f(g(1)<f(g(2) C.gf(1)<g(f(2) D.gg1)<g(g(2) (I)D(2)BD[(I)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(O)=0. 又f(x)在（一∞，0）上单调递减，且f(2)=0, 画出函数f(x)的大致图象如图①所示， 则函数f(x一1)的大致图象如图②所示， 图① 图② 当x≤0时，要满足(x一1)≥0， 则f(x-1)0,得-1≤x≤0. 当x>0时，要满足f(x一1)≥0，则f(x一1)≥0，得1≤x≤3。 故满足(x一1)≥0的x的取值范围是[一1,0]U[1,3],故选D (2)因为∫(x)是定义在R上的偶函数，gx)是定义在R上的奇函数，且两函数在 (一，0]上单调递减，所以f(x)在[0，+∞)上单调递增，g(x)在[0，十∞)上单调 递减，g(x)在R上单调递减，所以f(1)<f(2),g(0)=0>g(1)>g(2), 所以f(g(1)<f(g(2),gf(1)>gf(2), 1/13 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 g(g(1)<g(g(2),所以BD正确，C错误： 若f(1)>f(2)引，则f(f1)>f(f(2),A错误.故选BD.1 名师点评1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上 的两个或多个自变量转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小. 2.对于抽象函数不等式的求解，先将不等式变形为f(x)>f(2)的形式，再结合 单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为灼x2(或>x2)求解， [跟进训练] 1.(1)2025·山东临沂模拟)偶函数y=f(x)在区间「0,41上单调递减，则有() A.f(-1f()f(-) B.f()f(-1)f(-) C.f(-)f(-1)f() D.f(-1)f(-)f() (2)(多选)2025江苏淮安模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)是奇函数，g (x)=(1一xfx),函数gx)在[1，十∞)上单调递增，则下列命题为真命题的是( ) A.f(-x-1)=-f(x+1) B.函数g(x)在（一∞，11上单调递减 C.若a<2-b<1,则g(1)<g(b)<g(a) D.若g(a)>g(a十1)，则a< (1)A2)BCD[(1),函数y=f()为偶函数，且在[0,4]上单调递减，∴f(一x) =f(x), ∴.f(-1)=f(1),f(-元)=f(m). 0<1<晋元<4， f1)f()>f),即f(-1)f（晋)f(-). 故选A. (2)对于A,因为f(x十1)是奇函数， 所以f(一x十1)=一f(x十1)，故A错误； 对于B,因为f(x+1)是奇函数， 所以y=f(x)的图象关于点(1,0)对称， 2/13 ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 即有f(x)=一f(2一x), 所以g(2-x)=[1一(2-x)f(2-x)=(x-1)f(2-x)=(1一xf(x)=gx), 所以y=g(x)的图象关于直线x=1对称， 函数g(x)在[1，十∞)上单调递增， 所以g(x)在（一∞，1]上单调递减，故B正确： 对于C,因为a<2一b<1,及B项知g(x)在（一∞，1]上单调递减， 所以g(1)<g(2-b)<g(a), 即g(1)<g(b)<g(a),故C正确： 对于D,因为g(a)>g(a十1)，且a<a十1， 由函数y=g)的图象关于直线x=1对称，得中<1，解得a<生，故D正确.】 2 )题型二函数的奇偶性与周期性 [典例2](1)函数y=f(x)和y=f(x一2)均为定义在R上的奇函数，若f(1)=2, 则f(2025)=() A.-2 B.-1 C.0 D.2 (2)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)是偶函数，f(2x+1)是奇函数，则() A.f()=0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.(4)=0 (I)D(2)B(I)因为y=f(x一2)为定义在R上的奇函数，所以y=f(x)的图象关 于（一2,0）对称，即f(一x)十f(x-4)=0, 又y=f(x)的图象关于原点对称，则f(一x)=一f(x),有f(x)=f(x一4)户f(x十4) =f(x), 所以y=f()的周期为4，故f(2025)=f(1+2024)=f(1)=2. 故选D。 (2)f(x十2)是偶函数，则f(一x+2)=f(x+2), .f(2x十1)是奇函数，则f(-2x十1)=一f2x十1)， 且由Fx)=f(2x十1)是奇函数，可得F(0)=f(1)=0, ∴f(一1)=一f(3)=一f(1)=0,且易知画，数f(x)的周期为4，其余选项不一定为0， 3/13 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 故选B.] 名师点评 综合运用奇偶性与周期性解题的方法步骤 (1)根据已知条件及相关函数的奇偶性，推得函数的周期： (2)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到 自变量的值进入已知解析式的区间或与已知的函数值建立关系，必要时可再次利 用奇偶性将自变量的符号进行转化： (3)代入已知的解析式求值. [跟进训练] 2.(多选2025.广东深圳模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(x十1)为偶函数，f (3x+2)为奇函数，则() A.f(x)的图象关于x=1对称 B.f(x)的图象关于(1,0)对称 C.f(x+4)=f(x) D ) AC,f(x十1)为偶函数，∴f心+1)的图象关于x=0对称， .根据图象变换知f(x)的图象关于x=1对称，故A正确： f(3x+2)为奇函数，f(3r+2)的图象关于(0,0)对称， ∴.根据图象变换知f(x)的图象关于(2,0)对称，故B错误： 由以上分析得f(x)的周期为4×(2一1)=4，即f(x十4)=f(x),故C正确： f(x)的图象关于(2,0)对称， ∴.f(2)=0,f1)+f(3)=0, f(x)的图象关于x=1对称， ∴.f(0)=f(2)=0, .f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0, f(x)是周期为4的函数， 2i)=0+0+0+0+0+r20 .f(20)=f(0)=0, 4/13 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教铺专家 20 )=0,故D辑误.故选AC.】 【教用备选题】 已知函数f(x)的定义域为R,且fc+2)一2为奇函数，f(3x+1)为偶函数，f(1) 2026 =0,则∑f(k)=() k=1 A.4036 B.4040 C.4044 D.4050 D「根据题意，若f(x十2)一2为奇函数，则有f(一x+2)十f(c+2)=4, 故f(x)的图象关于点(2,2)对称，故f(2)=2, 又由f(3x+1)为偶西数，则f(一3x+1)=f3x+1), 变形可得f(一)=f(十2)，则fx)的图象关于直线x=1对称， 又由f(-x十2)+f(x+2)=4,得f(一x)+f(一x+2)=4,变形可得f(x)+f(x+2) =4,① 由此可得f(x十2)+f(x+4)=4,② 联立①②可得：fx十4)=f),则f()是周期为4的周期函数， 由于f(w)+f(x+2)=4,则f(1)+f(3)=4,f(2)+f(4)=4, 故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8, 2026 故Zf代k)=f+f2tf6+f④+…+f2026=506xV+fQ+f +f(4)]+f(1)+f(2)=506×8+0+2=4050,故选D.] 题型三函数的奇偶性与对称性 [典例3](1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对任意x∈R都有f(x十1)= f(1-x),当f(一3)=-2时，则f(2025)=() A.2 B.-2 C.0 D.-4 (2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2一x)=一f(x),且当1≤x≤2时，fx)=x一1， 则f(3)=() A. B.2 5/13 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 c. D.- (I)B(2)D[(1)定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对任意x∈R都有f(c+1) =f(1一x), 故函数f(x)的图象关于直线x=1对称， .fx)=f(2-x),故f(-x)=f(2十x)=一fx), ∴.f(x)=f(4+x), f(x)是周期为4的周期函，数 则f(2025)=f(506×4+1)=f(1)=f(-3)=-2.故选B. (2)函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(一x)=f(x), 又f(2-x)=-fx),f2-x)=一f(-x), .f(x+2)=一f(x), ∴.f(x+4)=一fx+2)=-[一f(x]=fx), 函数f(x)的周期为4， ∴f()=f(34)=()=f(经) =-f(2)=-f()=-.1 名师点评 由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大 小等。 [跟进训练] 3.(1)定义在R上的奇函数fx),其图象关于点（一2,0）对称，且fx)在0,2)上 单调递增，则( A.f(11)f(12)f(21) B.f(21)f(12)f(11) C.f11)f(21)f12) D.f(21)f(11)f(12) (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)的图象关于点(1,0)对称，当x ∈[0,1]时，f(x)=2-2x,则f0)+f(1)+f(2)+…+f2025)的值为() A.-2 B.-1 C.0 D.1 6/13 *独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (1)A(2)D[(1),函数f(x)的图象关于点(-2,0)对称，.f(x一4)=一f(-x), 又f(x)为定义在R上的奇函数， ∴.一f(一x)=f(x),∴f(x一4)=f(x),即函数f(x)是周期函数且周期是4，则f(11) =f(-1),f(12)=f(0),f(21)=f(1) f(x)为奇函数，且在[0,2)上单调递增， 则f)在(-2,2)上单调递增，f(-1)f0)f(1),即f(11)f(12)f(21).故选 A (2)f(x)的图象关于点(1,0)对称， f(一x)=一f(2十x),又fx)为定义在R上的偶函数， .f(x)=f(-x),∴fc+2)=一f(一x)=一fx), ∴.f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x]=f(x), f(x)是周期为4的周期函数， ∴.f(3)=f(-1)=f(1)=2-2=0, 又f(0)=1,f(2)=-f(0)=-1, .f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2025)=506×[f0)+f1)+f(2)+f3]+f(2024)+ f(2025)=506×(1+0-1+0)+f0)+f1)=1.】 )题型四函数的对称性与周期性 [典例4](2025·云南昆明模拟)已知定义在R上的函数f(x),满足f(一x)十f(x) =2,f1-x)=f1+,若f(3)=,则f2)+f(3)=( ) A.2 B.8 C. D D[由f(一x)十fx)=2,知函数f)的图象关于点(0,1)对称，由f1-x)=f0 十x),知函数f(x)的图象关于直线x=1对称，所以函数∫()的周期为4X1一0 =4. 又f()=,所以f()=2-f()=,f()=f(1+)=f(1) f()=, 所以f()=f(4)=f(是)=2-f()=, 又f(0)=1,所以f(2)=f(1-(-1)=f(1+(-1)=f0)=1, 7113 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以f(2)十f()=1+号=号.故选D.] 名师点评函数的周期性与对称性的关系 (I)如果f(x)的图象关于点(a,0)对称，且关于直线x=b(a≠b)对称，则函数f(x) 的周期T=4a一b,(类比y=simx的图象) (2)如果f(x)的图象关于点(a,0)对称，且关于点(b,0)(a≠b)对称，则函数f(x)的 周期T=2a一b.(类比y=sinx的图象) (3)若函数f(x)的图象关于直线x=a与直线x=b(a≠b)对称，那么函数的周期T =2a一b1,(类比y=sinx的图象) [跟进训练] 4.(1)己知f(x)是定义在R上的函数，且对任意x∈R都有fx十2)=f(2一x)十4f (2),若函数y=f(x+1)的图象关于点（一1,0）对称，则f(2026)=() A.6 B.3 C.0 D.-3 (2)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2] 时，f)=a2+b.若f0)+f3)=6,则f(号)=( ) A.一是 B.-是 C.子D. (1C(2)D[(1)令x=0,得f(2)=f2)+4f(2),即f(2)=0,f(x+2)=f(2-x), 因为函数y=f(x十1)的图象关于点（一1,0）对称， 所以函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称， 即f(-x)=一f(x),所以fx+2)=f(2一x)=一fx一2)， 即f(x+4)=一f(x),f(x+8)=f(x), 故f(x)是周期为8的周期函数，所以f(2026)=f(253×8十2)=f(2)=0.故选C. (2)由于f(x十1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，即有f(x)十f (2-x)=0,所以f(1)+f(2-1)=0,得f1)=0,即a+b=0.① 由于f(x十2)为偶函数，所以画数f(x)的图象关于直线x=2对称，即有f(x)一f (4-x)=0,所以f(0)+f(3)=-f2)+f(1)=-4a-b+a+b=-3a=6.② 根据①②可得a=一2，b=2,所以当x∈[1,2]时，f(x)=一2x2+2. 8/13 *独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 根据函数f(x)的图象关于直线x=2对称，且关于，点(1,0)对称，可得函数f(x)的 周期为4，所以f(号)=f()=-f()=2×()-2=.1 培优训练（一） 函数性质的综合应用 一、单项选择题 1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+1)=f(一x+1),当0x≤1时， fw)=x2-2x+3,则f(竖)等于() A.-￥ B.子 c.- D. C「由题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x十1)=f(一x十1)， 可得f(x+1)=一f(x一1)，所以f(x)=f(x+4), 所以函数f(x)是周期为4的周期函数， 又由当0<x<1时，f)=x2-2x+3, 则f(竖)=f（)=-f()=-f()=-(2×+3)=-.1 2.(2025广东博罗县模拟)若函数f(x)的定义域为R,其图象关于点(2,2)对称， 且f(x+1)是偶函数，则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)=( A.2023 B.-2023 C.4050 D.-4050 C[由f(x十1)是偶函数知，f()的图象关于直线x=1对称，f(2一x)=f(x),① 又f(x)的图象关于(2,2)中心对称，所以f(4一x)=一f(x)十4，② 则f(2+x)=-f(2-x)+4,③ 由①②③可得，f(4-x)=f(2十x)=f(一x),故函数f(x)的周期为4， 则f(2)=2,f1)+f(3)=4,f(4)=f0)=f2)=2,则f(1)+f(2)+f3)+f(4)=8, 则f(0)+f(1)+f2)+…+f(2024)=2+506×8=4050. 故选C.] 3.(2025浙江宁波模拟)已知函数fx)的定义域为R,且f(x+1)是偶函数， f(x一1)是奇函数，则() A.f(0)=0 B.f()=0 C.f(1)=0 D.f(3)=0 9/13 ◆独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 D[因为函数f(x+1)为偶函数，则f（1号x)=f（1+x), 令1=x可得f1-0=f1十)，所以f1十x)=f1-, 因为函数f(x一1)为奇画数，则f(一x一1)=一f(x一1)， 所以，函数f(x)的图象关于直线x=1对称，关于点（一1,0）对称， 又因为函数f(x)的定义域为R,则f(一1)=0，则f(3)=f(一1)=0， fI),f(告)，f0)的值都不确定.故选D.] 4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x1,x2∈R,当<x2时，都有f ()-f(x2)<一x2,则关于x的不等式f(x2-1)+f(-2x一2)<x2-2x一3的解集 为() A.(-3,1) B.(-1,3) C.(-∞，-3)U(1,十∞) D.(-∞，-1)U(3,+∞) B[因为对任意，x2∈R,当1<x2时，都有f()一f(x2)<一2，即f)一 x<f2)一x2: 令g(x)=f(x)一x,则g(x)在R上单调递增， 国为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(-2x-2)=-f(2x十2)， 由f(x2-1)+f(-2x-2)<x2-2x-3得 fx2-1)-2-1)<-f(-2x-2)-(2x+2) =f(2x+2)-(2x+2),即g(x2-1)<g(2x+2), 所以由g(x)的单调性得x2-1<2x+2, 即x2-2x-3<0,即(x-3x+1)<0, 所以一1<x<3,即f(x2-1)+f(-2x一2)<x2-2x-3的解集为(-1,3).故选B.1 5.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)十f(2一x)=2,f(x)一f(4一x)=0,且f 0=2.若eN,则2f(0=( A.506 B.1012 C.2025 D.4048 10/13 *独家授权侵权必究·