2026届高中数学思想方法大合集-向量的模长公式 讲义

公式定理31  向量的模长公式 【地位作用】向量的模长公式在向量运算和数学分析中占据着重要的地位．这个公式用来计算向量的大小或长度，是向量的基本属性之一． 【内容展示】或；若，则；若，则． 【证明过程】 在平面直角坐标系中，设向量，它的起点为坐标原点，终点为.根据勾股定理，在以为斜边，轴和轴上的投影为直角边的直角三角形中，的长度就是向量的模长.直角三角形的两条直角边的长度分别为和，根据勾股定理(其中为斜边长度，、为两直角边长度)，可得.因为模长是非负的，所以对等式两边同时开平方，得到. 【内涵外延】 向量模长公式的内涵 几何意义 在平面几何中，向量的模长可以视作从原点到该向量所指向的点之间的距离.例如，向量在平面上的模长实际上是点(x，y)到原点(0，0)的距离3.在空间中，向量的模长则代表了从原点到该点的直线距离. 代数意义 向量的模长是一个非负实数，向量的模是可以比较大小的，但向量本身由于有方向，不能直接比较大小，“大于”和“小于”的概念对于向量来说没有意义. 向量模长公式的外延 相关运算公式 向量和的模的计算公式：，其中和分别表示两个向量，表示两个向量之间的夹角，表示和的向量和的模. 向量模的平方性质：. 向量差的模长公式：可以通过进行计算，其本质也是基于向量的运算规则和模长的定义推导而来. 灵活应用一 向量的模长公式的正用 典例1 若向量，均为单位向量，且向量与的夹角为，求的值． 【详细解析】因为，所以． 因为向量，均为单位向量，且向量与的夹角为，所以． 【题后反思】利用公式将模长的求解转化为向量数量积的求解，是求向量的模长的最常用的方法，要注意的是最后结果勿忘开方． 【举一反三】 1．已知，，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意先求，再利用模长计算公式表示出，最后根据函数求最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 灵活应用二 向量的模长公式的逆用 典例2  已知，，，，…，是平面内两两互不相等的向量，满足且（其中，，…，k），则k的最大值为__________． 【详细解析】根据条件不妨设，，， 因为，当时，， 当时，．当时，， 当时，． 由条件可知点既要在蓝色曲线上，又要在黑色曲线上，由图象可知，共有6个交点，即k的最大值是6． 【题后反思】本题的关键在于建立适当的坐标系，利用坐标法来求解向量的模长，通过数形结合解决向量问题． 【举一反三】 2．已知向量，，对任意的，恒有，则 ． 【答案】0 【分析】利用平面向量的数量积将模的运算转化为数量积运算，即，得到对任意恒成立，进而，化简得，从而求得结果. 【详解】由得， 所以， 所以对任意恒成立， 所以，即， 所以，所以，所以． 灵活应用三 向量的模长公式的灵活用 典例3  已知平面单位向量，的夹角为，向量满足，若对任意的，记的最小值为M，则M的最大值为__________． 【详细解析】由得，所以，如图，的终点的轨迹是以为半径的圆． 设，，，，所以表示CD，显然当时最小， M的最大值为圆心到OA的距离加半径，即． 【题后反思】观察等式，通过配方，灵活使用模长公式． 【举一反三】 3．17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点P满足时，点P到的三个顶点的距离之和最小，点被人们称为“费马点”．根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的单位向量，则的最小值是 ． 【答案】## 【分析】通过将向量的模转化为平面上点到点的距离，利用费马点的性质来求解最小值. 【详解】设，，，则， 即为点到，和三个点的距离之和. 因为, 所以，. 所以为等腰直角三角形． 由费马点的性质可知点满足时，则点到的三个顶点的距离之和最小． 如下图： 可知，所以点的坐标为， 所以距离之和最小为． 故答案为：. 灵活应用四 向量的模长公式的综合用 典例4  已知满足，则的最大值为 ． 【详细解析】因为，所以，得， 因为，所以， 设，以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，则， 设，则， 因为，所以， 所以，即， 令，则点在以为圆心，为半径的圆上， 令，则， 因为，所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 由图可知当共线，且四点顺序依次为时，最大， 最大值为， 即的最大值为. 故答案为： 【题后反思】本题考查向量的数量积运算，考查向量的坐标运算，考查点的轨迹，解题的关键是根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标求解. 【举一反三】 4．已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时， . 【答案】 【分析】先根据平面向量数量积的定义求出夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出和，进而根据图形得出点C的几何意义，最后确定取最小值时的. 【详解】∵，，而，， 又，∴，∴， ，， 因为向量满足，所以， 如图所示，    若，，，，则，， 所以，所以在以为圆心，2为半径的圆上， 若，则，由图象可得当且仅当，，三点共线且时，最小， 即取最小值，此时，，又，，所以. 故答案为：. （公式正用） 5．已知向量，满足，且在上的投影向量为单位向量，则（   ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】由题意可得，进而可得，设设，，计算可求. 【详解】因为在上的投影向量为单位向量，所以， 所以，所以， 设，，可得， 两边平方得，所以， 令，则，解得或， 当时，这时，此时，此时，不符合题意， 当时，即， 此时. 故选：D. （公式正用） 6．如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得出，可得出关于的方程组，即可解得实数的值；利用三角形的面积公式得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，解得，所以， ， 所以， ，当且仅当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故选：B. （公式灵活用） 7．已知平面向量，且，设向量，则当取得最小值时， ，若向量满足，则的取值范围 . 【答案】 1 . 【分析】第一空，先由向量的模长和数量积的运算律求出向量的夹角，然后由向量模长的运算结合二次函数可得； 第二空，先将问题转化为几何意义，即可解出. 【详解】展开得， 即， 所以，又，故， 所以， 所以当时，取得最小值； 设，为坐标原点， 因为，所以， 即点在以为圆心，半径为1的圆上， 则， 其几何意义是上述圆上的点到点的距离， 圆心到点的距离为， 所以的最小值为，最大值为， 所以的取值范围是. 故答案为：1；. （公式逆用） 8．已知非零向量满足，且，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】由，得到，再由得到，再由夹角公式即可求解. 【详解】由， 可得：， 即，即， 又，可得：， 即， 所以，所以， 又，所以与的夹角为 故答案为：. （公式正用） 9．已知，是两个互相垂直的单位向量，向量满足，，则对于任意的实数，的最小值是 . 【答案】 【分析】先建立平面直角坐标系，根据已知条件得出向量、、的坐标，再求出的坐标，最后根据向量模的计算公式求出的表达式，进而求出其最小值. 【详解】因为，是两个互相垂直的单位向量，所以可建立平面直角坐标系，不妨设，. 设， 已知，，可得：， ，所以. . 根据向量模的计算公式：可得： 因为，所以，则，当且仅当时取等号. 故答案为：. （公式灵活用） 10．在中，，，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用余弦定理与正弦定理可得、、，再借助向量线性运算及模长与数量积的关系可用、表示出，再利用三角形内角和与三角恒等变换公式可将表示为正弦型函数，再结合的范围计算即可得解. 【详解】 由，，则，， 在中，有， 即，即， 有， 故，， ， 则 ， 其中，， 则当，即时，有最大值， 由，则，由，则， 故可取，故有最大值. 故选：D 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式最值是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. （公式灵活用） 11．已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为 . 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，作于点.将用表示，根据向量数量积的几何意义化简已知式，推得，再由利用向量数量积的运算律求得，最后利用和已得结论求即可. 【详解】 如图，延长交于点，过点作于点，作于点. 因点，分别是知的重心和外心，则，, 则，则 ， 即得， 又由和，可得， 整理得，解得， 因， 则， 即边的长为. 故答案为：. （公式综合用） 12．菱形中，，点在线段上，且，则 . 【答案】## 【分析】设，进一步将其表示成以，为基底的向量，结合已知条件，可得关于和的方程组，解之，再根据模长的计算方法，得的值从而得解． 【详解】因为，所以， 所以， 因为点在线段上， 可设 ， 而，所以，解得， 所以， 则， 所以，故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设，进一步将其表示成以，为基底的向量，从而可解. （公式综合用） 13．已知平面向量，，满足，，，则 ，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】空1，利用向量的数量积的定义求解即可；空2，先建立平面直角坐标系，再设，则点在圆上运动，结合三角函数范围得出，即可求解. 【详解】空1，因为，，， 所以；    空2，以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 不妨设，由题知，则， 故可设，，设， 则， 即点在圆上运动，令， 故 ， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于建立坐标系，求得点的轨迹方程，进而三角代换利用辅助角公式求得最大值. （公式综合用） 14．如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.对于平面内任意一点P，若向量，则记，.已知该平面内两点，，若，则点M的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 . 【答案】 2 【分析】由题意知，对，的符号进行分类讨论，确定点的轨迹，作出其图形，计算出该图形的面积，即可求解答题空1；根据题中所给定义及向量模长公式，分类讨论去绝对值，再结合基本不等式即可求解答题空2. 【详解】由题意知. 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段. 如下图所示： 记点，，，，则点的轨迹为四边形. 因为，故四边形为矩形，且， 所以，点的轨迹围成的图形面积为. 由平面向量数量积的定义可得， ， . ，，不同时为0. 当，时，； 当，时，； 当，时，， 当时，， ，， ∴由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， ，； 当时，， ，， ∴由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， ，. 综上所述，当时取得最大值，最大值为2. 故答案为：；2. 【点睛】关键点点睛：本题答题空1考查动点的轨迹所围成图形的面积，解题的关键在于紧扣题中的定义，分析出动点的轨迹图形，通过作出图形求解； 答题空2根据题中所给定义及向量模长公式，分类讨论去绝对值，再结合基本不等式即可求解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 公式定理31  向量的模长公式 【地位作用】向量的模长公式在向量运算和数学分析中占据着重要的地位．这个公式用来计算向量的大小或长度，是向量的基本属性之一． 【内容展示】或；若，则；若，则． 【证明过程】 在平面直角坐标系中，设向量，它的起点为坐标原点，终点为.根据勾股定理，在以为斜边，轴和轴上的投影为直角边的直角三角形中，的长度就是向量的模长.直角三角形的两条直角边的长度分别为和，根据勾股定理(其中为斜边长度，、为两直角边长度)，可得.因为模长是非负的，所以对等式两边同时开平方，得到. 【内涵外延】 向量模长公式的内涵 几何意义 在平面几何中，向量的模长可以视作从原点到该向量所指向的点之间的距离.例如，向量在平面上的模长实际上是点(x，y)到原点(0，0)的距离3.在空间中，向量的模长则代表了从原点到该点的直线距离. 代数意义 向量的模长是一个非负实数，向量的模是可以比较大小的，但向量本身由于有方向，不能直接比较大小，“大于”和“小于”的概念对于向量来说没有意义. 向量模长公式的外延 相关运算公式 向量和的模的计算公式：，其中和分别表示两个向量，表示两个向量之间的夹角，表示和的向量和的模. 向量模的平方性质：. 向量差的模长公式：可以通过进行计算，其本质也是基于向量的运算规则和模长的定义推导而来. 灵活应用一 向量的模长公式的正用 典例1 若向量，均为单位向量，且向量与的夹角为，求的值． 【详细解析】因为，所以． 因为向量，均为单位向量，且向量与的夹角为，所以． 【题后反思】利用公式将模长的求解转化为向量数量积的求解，是求向量的模长的最常用的方法，要注意的是最后结果勿忘开方． 【举一反三】 1．已知，，，，则的最小值是 ． 灵活应用二 向量的模长公式的逆用 典例2  已知，，，，…，是平面内两两互不相等的向量，满足且（其中，，…，k），则k的最大值为__________． 【详细解析】根据条件不妨设，，， 因为，当时，， 当时，．当时，， 当时，． 由条件可知点既要在蓝色曲线上，又要在黑色曲线上，由图象可知，共有6个交点，即k的最大值是6． 【题后反思】本题的关键在于建立适当的坐标系，利用坐标法来求解向量的模长，通过数形结合解决向量问题． 【举一反三】 2．已知向量，，对任意的，恒有，则 ． 灵活应用三 向量的模长公式的灵活用 典例3  已知平面单位向量，的夹角为，向量满足，若对任意的，记的最小值为M，则M的最大值为__________． 【详细解析】由得，所以，如图，的终点的轨迹是以为半径的圆． 设，，，，所以表示CD，显然当时最小， M的最大值为圆心到OA的距离加半径，即． 【题后反思】观察等式，通过配方，灵活使用模长公式． 【举一反三】 3．17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点P满足时，点P到的三个顶点的距离之和最小，点被人们称为“费马点”．根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的单位向量，则的最小值是 ． 灵活应用四 向量的模长公式的综合用 典例4  已知满足，则的最大值为 ． 【详细解析】因为，所以，得， 因为，所以， 设，以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，则， 设，则， 因为，所以， 所以，即， 令，则点在以为圆心，为半径的圆上， 令，则， 因为，所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 由图可知当共线，且四点顺序依次为时，最大， 最大值为， 即的最大值为. 故答案为： 【题后反思】本题考查向量的数量积运算，考查向量的坐标运算，考查点的轨迹，解题的关键是根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标求解. 【举一反三】 4．已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时， . （公式正用） 5．已知向量，满足，且在上的投影向量为单位向量，则（   ） A．1 B． C．3 D．2 （公式正用） 6．如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D． （公式灵活用） 7．已知平面向量，且，设向量，则当取得最小值时， ，若向量满足，则的取值范围 . （公式逆用） 8．已知非零向量满足，且，则与的夹角为 ． （公式正用） 9．已知，是两个互相垂直的单位向量，向量满足，，则对于任意的实数，的最小值是 . （公式灵活用） 10．在中，，，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． （公式灵活用） 11．已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为 . （公式综合用） 12．菱形中，，点在线段上，且，则 . （公式综合用） 13．已知平面向量，，满足，，，则 ，若，则的最大值为 . （公式综合用） 14．如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.对于平面内任意一点P，若向量，则记，.已知该平面内两点，，若，则点M的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$