2026届高中数学思想方法大合集-三角形重心向量公式讲义

公式定理34  三角形重心向量公式 【地位作用】在几何学中，三角形的重心（也称为质心或几何中心）是一个具有特殊性质的点，它是三角形三边中线的交点，并且具有一些重要的向量表达式. 【内容展示】 若G是的重心，则有. 【证明过程】 记边AB的中点为D，则有.因为G是的重心，所以点G在中线CD上，且满足，从而，即. 说明 通过上述证明，不难发现“G是的重心”是“”的充要条件，这个公式形式简洁，内涵丰富，无论是在平面还是在空间，都有广泛的应用.三角形重心常见的向量形式还有以下情形. （1）若G为的重心，则有. （2）若G为三棱锥底面的重心，则有. 【内涵外延】 1.高维推广 四面体重心：三维空间中，四面体的重心为四个顶点坐标的平均值，公式为. 维单纯形：n维空间中，重心公式推广为所有顶点坐标的算术平均. 2.应用领域 计算机图形学：用于计算物体旋转中心或简化碰撞检测. 工程力学：分析结构平衡时，重心位置决定稳定性. 灵活应用一 三角形重心向量公式的正用 典例1 已知O为所在平面上的一点，且满足，若存在实数m使得成立，则（ ） A.2                B.3                C.4                D.5 【详细解析】由知，点O为的重心， 由重心向量公式的推论可得，所以有，即.故选B. 【题后反思】这是三角形重心向量公式在解决向量共线问题中的一个应用，先确定O为的重心，可以直接应用公式获得结论. 【举一反三】 1．在中求一点P，使得最小. 灵活应用二 三角形重心向量公式的逆用 典例2 已知角A，B，C为的三个内角，求的最小值. 【详细解析】设O为的外心，G为的重心，外接圆半径为R， 由得 ，所以， 化简得，当且仅当为正三角形，即点O与点G重合时取等号. 【题后反思】本题是通过的重心与外心的关联，逆用了三角形重心向量公式，使问题获得巧妙解决. 【举一反三】 2．是平面上一定点，P是中一动点且满足：，则直线AP一定通过的（    ） A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心 灵活应用三 三角形重心向量公式的灵活用 典例3 已知点O是内一点，. （1）求与的面积之比； （2）求与的面积之比. 【详细解析】（1）延长OB至点E，使，延长OC至点F，使， 则，所以O是的重心， 所以，，所以. （2）因为， 所以. 又，所以. 【题后反思】运用三角形重心向量公式解决面积问题，需要重新构造新的三角形，变形使用公式，体现变化中的不变性. 【举一反三】 3．已知点O是内一点，，则 . 灵活应用四 三角形重心向量公式的综合用 典例4 在四面体中，点，分别为，的重心，过作直线与棱，交于点，已知，，则 .若四面体的体积为3，则四棱锥的体积最大值为 . 【详细解析】设是的中点，所以三点共线，三点共线，，，所以，由于三点共线，所以. 依题意，. . 由于，所以到平面的距离是到平面的距离的三分之一， 所以，当且仅当时等号成立.所以四棱锥的体积最大值为. 故答案为：； 【题后反思】通过重心与中点确定共线关系：首先通过重心的性质确定共线关系，这是解题的基础步骤. 利用体积表达式结合不等式求解最大值：通过建立四棱锥的体积表达式，结合基本不等式，确定体积的最大值，这种方法有效地将空间几何问题转化为代数问题. 【举一反三】 4．如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ． （公式正用） 5．的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若，（），则xy的最小值为（    ） A． B． C． D．4 （公式正用） 6．已知是平面上不共线的三点，是的重心(三条中线的交点)，边的中点为.动点满足，则点一定为的（    ） A．线段的中点 B．线段靠近的四等分点 C．重心 D．线段靠近的三等分点 （公式逆用） 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 则下列说法正确的是（   ） A．若，则M在内部 B．若，则M为的重心 C．若，则的面积是面积的 D．若，M为外接圆圆心，则 （公式逆用） 8．下列结论正确的是（   ） A．若，为锐角，则实数m的取值范围是且 B．若P为的垂心，．则 C．点O在所在的平面内，若，分别表示，的面积，则 D．点O在内，满足且，则点O是的重心． （公式灵活用） 9．如图，已知O是内部任意一点，，，的面积分别为，，，．根据上述结论，则（    ）．    A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果O为的重心，那么 D．如果O为直角的内心，且两直角边，，那么 （公式综合用） 10．在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为 ． （公式正用） 11．如图所示，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设，，，用向量，，表示向量为 .    （公式灵活用） 12．设三角形的外心为，重心为，且满足，则的最大值为 . （公式综合用） 13．已知是线段外一点，若. (1)设点是的重心，证明：； (2)设点是线段的三等分点，及的重心依次为. ①试用向量表示； ②依据①的推理，设点线段的等分点，分别是的重心.请你写出：及(用表示不必证明)； ③若，求． （公式综合用） 14．如图，在三棱锥中，，，，为中点. (1)求证：平面，并求直线和平面所成角的正切值； (2)设点是的重心，用向量、、表示，并求点到点的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 公式定理34  三角形重心向量公式 【地位作用】在几何学中，三角形的重心（也称为质心或几何中心）是一个具有特殊性质的点，它是三角形三边中线的交点，并且具有一些重要的向量表达式. 【内容展示】 若G是的重心，则有. 【证明过程】 记边AB的中点为D，则有.因为G是的重心，所以点G在中线CD上，且满足，从而，即. 说明 通过上述证明，不难发现“G是的重心”是“”的充要条件，这个公式形式简洁，内涵丰富，无论是在平面还是在空间，都有广泛的应用.三角形重心常见的向量形式还有以下情形. （1）若G为的重心，则有. （2）若G为三棱锥底面的重心，则有. 【内涵外延】 1.高维推广 四面体重心：三维空间中，四面体的重心为四个顶点坐标的平均值，公式为. 维单纯形：n维空间中，重心公式推广为所有顶点坐标的算术平均. 2.应用领域 计算机图形学：用于计算物体旋转中心或简化碰撞检测. 工程力学：分析结构平衡时，重心位置决定稳定性. 灵活应用一 三角形重心向量公式的正用 典例1 已知O为所在平面上的一点，且满足，若存在实数m使得成立，则（ ） A.2                B.3                C.4                D.5 【详细解析】由知，点O为的重心， 由重心向量公式的推论可得，所以有，即.故选B. 【题后反思】这是三角形重心向量公式在解决向量共线问题中的一个应用，先确定O为的重心，可以直接应用公式获得结论. 【举一反三】 1．在中求一点P，使得最小. 【答案】P为的重心 【分析】方法一是通过将和用、、表示，然后进行化简，根据完全平方的非负性来确定最小值；方法二则是引入三角形重心，将、、用、、、表示，再根据向量运算和性质确定最小值. 【详解】（方法一） ， 显然，当，即点P为的重心时，最小.    （方法二）设G为的重心， 则 ， 显然，当点P与点G重合，即P为的重心时，最小. 灵活应用二 三角形重心向量公式的逆用 典例2 已知角A，B，C为的三个内角，求的最小值. 【详细解析】设O为的外心，G为的重心，外接圆半径为R， 由得 ，所以， 化简得，当且仅当为正三角形，即点O与点G重合时取等号. 【题后反思】本题是通过的重心与外心的关联，逆用了三角形重心向量公式，使问题获得巧妙解决. 【举一反三】 2．是平面上一定点，P是中一动点且满足：，则直线AP一定通过的（    ） A．外心 B．重心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据已知得，结合向量加法的几何性质即可得. 【详解】若为中点，由题设， 如下图示，易知直线AP是的一条中线， 所以直线AP一定通过的重心. 故选：B 灵活应用三 三角形重心向量公式的灵活用 典例3 已知点O是内一点，. （1）求与的面积之比； （2）求与的面积之比. 【详细解析】（1）延长OB至点E，使，延长OC至点F，使， 则，所以O是的重心， 所以，，所以. （2）因为， 所以. 又，所以. 【题后反思】运用三角形重心向量公式解决面积问题，需要重新构造新的三角形，变形使用公式，体现变化中的不变性. 【举一反三】 3．已知点O是内一点，，则 . 【答案】 【分析】通过已知的向量关系得出三角形重心，再利用重心性质得到不同三角形面积的比例关系，最后根据向量倍数与三角形面积的关系，求出目标三角形面积的比例. 【详解】令，，，所以O为的重心，则. 因为，，，所以. 故答案为：. 灵活应用四 三角形重心向量公式的综合用 典例4 在四面体中，点，分别为，的重心，过作直线与棱，交于点，已知，，则 .若四面体的体积为3，则四棱锥的体积最大值为 . 【详细解析】设是的中点，所以三点共线，三点共线，，，所以，由于三点共线，所以. 依题意，. . 由于，所以到平面的距离是到平面的距离的三分之一， 所以，当且仅当时等号成立.所以四棱锥的体积最大值为. 故答案为：； 【题后反思】通过重心与中点确定共线关系：首先通过重心的性质确定共线关系，这是解题的基础步骤. 利用体积表达式结合不等式求解最大值：通过建立四棱锥的体积表达式，结合基本不等式，确定体积的最大值，这种方法有效地将空间几何问题转化为代数问题. 【举一反三】 4．如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. （公式正用） 5．的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若，（），则xy的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用向量线性运算，结合三角形重心的性质及共线向量定理的推论得，再利用基本不等式求解即得. 【详解】由O为的重心，得延长线必过的中点， 则，由，，得，， 即，又E，O，F三点共线，因此， 即，又，则， 即，当且仅当时取等号， 则xy的最小值是. 故选：C （公式正用） 6．已知是平面上不共线的三点，是的重心(三条中线的交点)，边的中点为.动点满足，则点一定为的（    ） A．线段的中点 B．线段靠近的四等分点 C．重心 D．线段靠近的三等分点 【答案】D 【分析】根据重心的性质，结合平面向量的线性运算化简求解即可. 【详解】由是的重心，得，， 则， 所以点为的线段靠近的三等分点. 故选：D （公式逆用） 7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 则下列说法正确的是（   ） A．若，则M在内部 B．若，则M为的重心 C．若，则的面积是面积的 D．若，M为外接圆圆心，则 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性运算对选项逐一判断即可. 【详解】 对于选项A，当时，三点共线，由向量的线性运算可知， 当时，M在内部，故A 正确； 对于选项B，设BC中点N，G为△ABC的重心，，故B正确； 对于选项C，已知， 则 这说明M在线段BC上，且，那么， 因为和 高相同，根据三角形面积公式可知的面积与 面积之比等于它们底边MC 与BC之比， 即的面积是面积的故C错误； 对于选项D₁ M为外心， 故 ， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD. （公式逆用） 8．下列结论正确的是（   ） A．若，为锐角，则实数m的取值范围是且 B．若P为的垂心，．则 C．点O在所在的平面内，若，分别表示，的面积，则 D．点O在内，满足且，则点O是的重心． 【答案】BC 【分析】A.利用，与不共线即可求解；B. 为的垂心，则，即可利用平面向量基本定理得到；C.利用奔驰定理即可；D.由 可知OA是的角平分线可得. 【详解】对于A，， 因为为锐角，故，与不共线，所以， 解得且，故A错误； 对于B，为的垂心，则，则，所以B正确； 对于C，因为，由奔驰定理，， 所以，故C正确； 对于D，由， 可得，所以OA是的角平分线，同理OC是的角平分线，所以点O是的内心，故D错误． 故选：BC． （公式灵活用） 9．如图，已知O是内部任意一点，，，的面积分别为，，，．根据上述结论，则（    ）．    A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果O为的重心，那么 D．如果O为直角的内心，且两直角边，，那么 【答案】BCD 【分析】依题意易判断A错误，利用平面向量线性运算计算，平面向量基本定理可知B正确，由重心性质可得C正确，根据三角形内心性质并利用勾股定理可判断D正确. 【详解】对于A：由题意,结合， 可得,即A错误. 对于B：由, 可得; 整理得, 即得，即B正确； 对于C：如果O为的重心， 则可知， 可知，即C正确； 对于D：如果O为的内心，设内切圆半径为r, 则, 又,,则,所以， 可知，即D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题关键在于将重心、内心性质转化为向量OA,OB,OC之间得关系式，进而实现问题求解. （公式综合用） 10．在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据重心、外心的性质，由平面向量数量积的运算化简可得，再利用余弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，取的中点D，如图， 因为O是的外心，所以， 又G是的重心，所以为的中点，则， 则 ， 又，所以，即， 则， 当且仅当，即时取等号，此时， 则的最小值为. 故答案为：. （公式正用） 11．如图所示，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设，，，用向量，，表示向量为 .    【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解. 【详解】因为 ， 又， 所以. 故答案为： （公式灵活用） 12．设三角形的外心为，重心为，且满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设外接圆半径为，根据向量数量积的运算律得，再利用导数求出最值即可. 【详解】设外接圆半径为， 则根据重心向量公式有， 则 ， 令，此时， 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 则.    故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用向量数量积和三角恒等变换得到，再利用导数求出其最值即可. （公式综合用） 13．已知是线段外一点，若. (1)设点是的重心，证明：； (2)设点是线段的三等分点，及的重心依次为. ①试用向量表示； ②依据①的推理，设点线段的等分点，分别是的重心.请你写出：及(用表示不必证明)； ③若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②，；③ 【分析】（1）根据中线以及重心的性质即可求解， （2）由（1）的结论，即可根据向量的线性运算法则求解①，根据中线的性质即可两式相加求解②，③根据数量积的运算律，联立方程即可求解. 【详解】（1）连，并延长交于，由是的重心，则为的中点． 则． 由是的重心，则， 即：，即：. （2）①如图：点是线段的三等分点． 由（1）可得：， ， ． ②取的中点为，则 ， 故． ． ． ， 故 ③ 又 由上面得：， ． （公式综合用） 14．如图，在三棱锥中，，，，为中点. (1)求证：平面，并求直线和平面所成角的正切值； (2)设点是的重心，用向量、、表示，并求点到点的距离. 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，进而得到面面垂直，再依据线面角的定义找出线面角，最后通过相关线段长度计算线面角的正切值. （2）根据重心性质得到关于、、的表达式，再对其平方，结合已知的角度和垂直关系计算数量积，进而求出的模长. 【详解】（1）因为，，而，平面， 平面，而平面，故平面平面， 又，为的中点，故，而平面，平面平面，故平面. 由（1）可得平面，故为与平面所成的角， 因为，为的中点，故，而，故， 而平面，平面，故，故. （2） 因为为的重心，连接并延长交与，连接，则， 故，故， 故， 而，，又平面，平面，故， 故，故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$