2026届高中数学思想方法大合集-三角形外心向量公式 讲义

公式定理36  三角形外心向量公式 【地位作用】三角形的外心是三角形三边上的垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心．三角形外心向量公式在解决涉及三角形外心的问题时，能够提供一种简洁而有效的解题思路． 【内容展示】已知O是的外心，则有． 【证明过程】因为点O是的外心，所以， 由， 同理有，， 从而． 说明“O是的外心”是“”的充要条件，三角形外心常见的向量表达式还有以下形式． （1）若点O是的外心，则． （2）若点O是的外心，则． 【内涵外延】 1.外心的位置：外心的位置取决于三角形的形状.对于锐角三角形，外心在三角形内部；对于直角三角形，外心位于斜边的中点；对于钝角三角形，外心在三角形外部. 2.外接圆半径：三角形的外接圆半径可以通过以下公式计算：，其中是三角形的边长，是三角形的面积. 3.外心与其他“心”的关系：外心与其他三角形的“心”(如重心、内心、垂心)有着密切的关系.例如，三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心统称为三角形的五心，它们都是三角形的重要相关点. 灵活应用一 三角形外心向量公式的正用 典例1 已知的外接圆半径为1，圆心为O，且，则的面积为_____． 【详细解析】因为O为的外心，所以， 所以，即， 所以，所以，，所以，，，所以． 【题后反思】本题应用外心的另一个向量表达式，通过面积分割简化计算，运算过程较简洁，更显巧妙． 【举一反三】 1．已知点O为的外心（各边中垂线的交点），，则 ． 灵活应用二 三角形外心向量公式的逆用 典例2   设P是所在平面内的一点，若且，则点P是的（   ） A．外心                B．内心                C．重心                D．垂心 【详细解析】如图，取AB的中点D，则． 因为，即， 所以，即，所以点P在AB的中垂线上． 又因为，所以， 即，即， 所以点P也在BC的中垂线上，所以点P是的外心．故选A． 【题后反思】通过取中点，将向量方程转化为中垂线的条件，证明点P在两条边的中垂线上，进而定位外心．逆向应用外心的定义，强化几何直观与代数运算的双向联系． 【举一反三】 2．已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 灵活应用三 三角形外心向量公式的灵活用 典例3  在中，，，，点O为的外心，若，，，则__________，__________． 【详细解析】如图，分别取边AB，AC的中点D，E，连接DO，EO． 因为点O为的外心，所以，． 因为，又因为， 所以． 又因为，所以． 依题意，， ，解得，． 【题后反思】灵活使用外心向量公式，利用外心在中垂线上的性质，建立向量内积方程组求解系数，突出数形结合能力． 【举一反三】 3．在中，，，，若点为三角形外心，则满足关系式：的有序实数对 . 灵活应用四 三角形外心向量公式的综合用 典例4  在中，已知A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若O为的外心，，则实数 ． 【详细解析】，又，故有，化简得，故有， 由，则有，即有， 有， ， 由，故，故. 故答案为：. 【题后反思】本题关键点在对所给条件的变形转化上，对，结合降幂公式与余弦定理，可得，对，左右同乘，可借助数量积公式将左边化为，借助向量的线性运算与正弦定理及二倍角公式可将右边化为. 【举一反三】 4．若O是的外心，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．2 （公式灵活用） 5．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 （公式逆用） 6．为所在平面内一点，且满足，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 （公式灵活用） 7．在中，设是的外心，且，则（    ） A． B． C． D． （公式综合用） 8．已知是锐角的外心，，若，则实数 . （公式正用） 9．的外心满足，，则的面积为 ． （公式正用） 10．已知为的外心，，，分别为内角，，的对边，且，则的取值范围是 . （公式正用） 11．在中，，，O为的外心，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，且，则 . （公式综合用） 12．如图1，已知四边形为菱形，，，为的外心． (1)求的值； (2)点在以为圆心，1为半径的圆上运动， ①已知点是点关于点的对称点，求的取值范围； ②已知点为边的中点，且存在实数x，y，z，使得，求出当最大时的的值． （公式综合用） 13．在中，，点为的外心. (1)若，求的值； (2)若，求的最大值； (3)求证：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 公式定理36  三角形外心向量公式 【地位作用】三角形的外心是三角形三边上的垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心．三角形外心向量公式在解决涉及三角形外心的问题时，能够提供一种简洁而有效的解题思路． 【内容展示】已知O是的外心，则有． 【证明过程】因为点O是的外心，所以， 由， 同理有，， 从而． 说明“O是的外心”是“”的充要条件，三角形外心常见的向量表达式还有以下形式． （1）若点O是的外心，则． （2）若点O是的外心，则． 【内涵外延】 1.外心的位置：外心的位置取决于三角形的形状.对于锐角三角形，外心在三角形内部；对于直角三角形，外心位于斜边的中点；对于钝角三角形，外心在三角形外部. 2.外接圆半径：三角形的外接圆半径可以通过以下公式计算：，其中是三角形的边长，是三角形的面积. 3.外心与其他“心”的关系：外心与其他三角形的“心”(如重心、内心、垂心)有着密切的关系.例如，三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心统称为三角形的五心，它们都是三角形的重要相关点. 灵活应用一 三角形外心向量公式的正用 典例1 已知的外接圆半径为1，圆心为O，且，则的面积为_____． 【详细解析】因为O为的外心，所以， 所以，即， 所以，所以，，所以，，，所以． 【题后反思】本题应用外心的另一个向量表达式，通过面积分割简化计算，运算过程较简洁，更显巧妙． 【举一反三】 1．已知点O为的外心（各边中垂线的交点），，则 ． 【答案】 【分析】设的中点为，得到，结合，即可求解. 【详解】如图所示，设的中点为，连接，则， 所以． 故答案为：. 灵活应用二 三角形外心向量公式的逆用 典例2   设P是所在平面内的一点，若且，则点P是的（   ） A．外心                B．内心                C．重心                D．垂心 【详细解析】如图，取AB的中点D，则． 因为，即， 所以，即，所以点P在AB的中垂线上． 又因为，所以， 即，即， 所以点P也在BC的中垂线上，所以点P是的外心．故选A． 【题后反思】通过取中点，将向量方程转化为中垂线的条件，证明点P在两条边的中垂线上，进而定位外心．逆向应用外心的定义，强化几何直观与代数运算的双向联系． 【举一反三】 2．已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ） A．点为的内心 B．点为的外心 C． D．为等边三角形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律，结合向量加减计算判断得解. 【详解】在中，由为的垂心，得， 由，得， 则，即，又， 显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件. 故选：B. 灵活应用三 三角形外心向量公式的灵活用 典例3  在中，，，，点O为的外心，若，，，则__________，__________． 【详细解析】如图，分别取边AB，AC的中点D，E，连接DO，EO． 因为点O为的外心，所以，． 因为，又因为， 所以． 又因为，所以． 依题意，， ，解得，． 【题后反思】灵活使用外心向量公式，利用外心在中垂线上的性质，建立向量内积方程组求解系数，突出数形结合能力． 【举一反三】 3．在中，，，，若点为三角形外心，则满足关系式：的有序实数对 . 【答案】 【解析】根据题意，作出图形，先根据，结合模的公式 可得，进而得，，另一方面，延长与三角形的外接圆交于点，则，，再联立方程即可得答案. 【详解】解：根据题意，作出图形如图，延长与三角形的外接圆交于点， 因为， 所以， 即，所以， 所以， 同理， 又， 同理， 所以，解得， 所以有序实数对. 故答案为： 【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，考查运算能力，化归转化思想，方程思想，是中档题. 灵活应用四 三角形外心向量公式的综合用 典例4  在中，已知A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若O为的外心，，则实数 ． 【详细解析】，又，故有，化简得，故有， 由，则有，即有， 有， ， 由，故，故. 故答案为：. 【题后反思】本题关键点在对所给条件的变形转化上，对，结合降幂公式与余弦定理，可得，对，左右同乘，可借助数量积公式将左边化为，借助向量的线性运算与正弦定理及二倍角公式可将右边化为. 【举一反三】 4．若O是的外心，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】将向量全部转化为三角形边角的关系，结合柯西不等式求解即可. 【详解】如图所示：    设，， ，， 由， 得 化简得，由是的外心可知， 是三边中垂线交点，得，代入上式得 ，所以， 根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，. 所以， 由柯西不等式可得：， 所以，所以， 所以，当且仅当“”时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：C. （公式灵活用） 5．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】D 【分析】将等式化简整理得，作出中线，进一步将其化成，可得动点的轨迹为的垂直平分线，即得D项. 【详解】由可得，， 即, (*) 如图，取的中点为，连，则， 因，故得，, 代入(*)得，,即, 故垂直且平分线段，即动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心. 故选：D. （公式逆用） 6．为所在平面内一点，且满足，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算判断得解. 【详解】依题意，， ， ， 则，于是， 所以是的外心. 故选：B （公式灵活用） 7．在中，设是的外心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，由此利用向量的线性运算，结合向量模以及数量积的运算律可推出，，从而，再根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】由题意是的外心， 故， 又， 所以 ，则， 所以， 同理可得，故， 所以，由于为内角， 故， 故选：B （公式综合用） 8．已知是锐角的外心，，若，则实数 . 【答案】## 【分析】设的外接圆半径为，化简得，结合正弦定理求出值. 【详解】在锐角中，，则， 设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，所以，， 又因为， 所以. 所以由外接圆圆心的特点及向量数量积的几何意义可得： ， 所以， 由正弦定理可得， . 故答案为：. （公式正用） 9．的外心满足，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设的中点为，根据外心性质和向量线性运算可证得，利用勾股定理可构造方程求得外接圆半径，由此可得长，代入三角形面积公式即可. 【详解】设的中点为，则，，即， 又，所以， 三点共线且，； 设的外接圆半径为，则， ，，解得：， ，. 故答案为：. （公式正用） 10．已知为的外心，，，分别为内角，，的对边，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由数量积的定义可得，，即可得到，再转化为的二次函数，结合的取值范围，求出函数的值域，即可得解. 【详解】由平面向量数量积的定义可知，， 同理可得，， ， ， ，即， 令，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，，所以， ． 故答案为：． （公式正用） 11．在中，，，O为的外心，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，且，则 . 【答案】 【分析】先求出.设则.由，利用二倍角公式求出，根据数量积的定义直接求解. 【详解】如图示，作出的外接圆O，设半径为R. 由正弦定理得：,即，解得：，所以. 设则. 所以 . 因为O为的外心，所以,所以. 同理：,. 因为，所以， 所以. 由二倍角的余弦公式可得：. 所以. 故答案为：. 【点睛】向量的基本运算处理的常用方法： (1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理； (2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理． （公式综合用） 12．如图1，已知四边形为菱形，，，为的外心． (1)求的值； (2)点在以为圆心，1为半径的圆上运动， ①已知点是点关于点的对称点，求的取值范围； ②已知点为边的中点，且存在实数x，y，z，使得，求出当最大时的的值． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）方法一、根据题意，得到为等边三角形，得到为的中心，结合正三角形的性质，结合，即可求解； 方法二、以O为原点，建立平面直角坐标系，求得，结合向量数量积的坐标运算公式，即可求解； （2）①设，得到，令，即可求得； 方法二：当共线时，取得最小值，在和中，化简得到，结合，求得. ②先得到，化简得到的坐标，根据，得到，且，结合三角函数的基本关系式，化简得到，令，，得到方程，结合，求得，再由，求得，即可求解. 【详解】（1）解：方法一、已知四边形为菱形，且， 可得为等边三角形， 因为为的外心，即为的中心，， 又因为，可得，且，因为，所以， 所以. 方法二、以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 因为四边形为菱形，且，可得为等边三角形， 则，，，， 所以； （2）解：①以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，可得， 因为点P在以O为圆心，1为半径的圆上运动，故设， 则，， 所以， 令，则， 所以，则， 所以； 方法二：当共线时，取得最小值8， 在中，， 在中，， 所以，所以， 因为， 所以（当且仅当时等号成立）． 所以； ②以O为原点，OA为轴，建立平面直角坐标系，可得， 由，， 又由， 所以 ， 因为， 所以，且， 所以，代入， 可得， 整理得， 显然，两边同时除以，可得， 令，，可得， 即，（☆） 所以，即， 解得，所以（即m）的最大值为． 此时，式子（☆）有两个相等的根，所以， 所以． （公式综合用） 13．在中，，点为的外心. (1)若，求的值； (2)若，求的最大值； (3)求证：. 【答案】(1)22； (2). (3)证明见解析 【分析】（1）利用余弦定理求出，取的中点，连接，根据数量积的运算律求出，同理可求出，从而得答案； （2）不妨设，由（1）可知，，给两边分别乘以，化简后列方程组表示出，化简后利用基本不等式可求得结果； （3）由题意得，设的外接圆半径为，则可得，设与的夹角为，则由夹角公可得，即可证得结论. 【详解】（1）由， 由余弦定理得， 取的中点，连接，则，所以   ， 同理可得， 所以的值为22； （2）不妨设， 因，同理可得， 则由可得 ，即得：① 又由可得 ，即得：② 联立①，②，解得： 则， 因，当且仅当时等号成立. 即当时，取得最大值. （3）由，则，由图知，则，    设的外接圆半径为， 则， 即， 又， 而， 则，而， 故， 不妨设与的夹角为， 则， 因，故，即， 故，得证. 【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量数量积的性质及运算，考查向量与三角函数的综合问题，考查基本不等式的应用，解题的关键是灵活应用三角形外心的性质，考查计算能力，属于难题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$