精品解析：江苏省常州市联盟学校2024-2025学年高一下学期5月学情调研数学试卷

常州市联盟学校2024-2025学年度第二学期学情调研 高一年级数学试卷 2025.05 本试卷共19大题，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的概念判断即可. 【详解】由复数的概念可知，复数的虚部为． 故选：C． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量减法求解即得. 【详解】依题意得，，则，， 所以ABD错误，C正确. 故选：C 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出，再根据二倍角得正切公式即可得解. 【详解】由，得, 故， 故选：D 4. 已知直线，及平面，，则下列命题正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与异面，故A错误； 对于B：若，，则或与相交或与异面，故B错误； 对于C：若，则都有 ，又，则使得， ∴，又，∴，故C正确； 对于D：若，，则或或或与相交但不垂直，故D错误. 故选：C 5. 在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可得，根据条件求得的值，根据与的大小判断角的大小，从而判断三角形的解的个数． 【详解】由正弦定理可得，若A成立，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解． 若B成立，，，，有，∴，又， 故，故三角形无解． 若C成立，，，，有 ，∴，又， 故，故可以是锐角，也可以是钝角，故三角形有两个解． 若D 成立，，，，有，∴，由于，故为锐角，故三角形有唯一解． 故选：C． 6. 的内角，，的对边分别为，，，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理化角为边化简可得，再结合余弦定理求即可. 【详解】由正弦定理和，可得， 所以，所以， 由余弦定理，可得， 因为，所以. 故选：B. 7. 在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，如图所示，若为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接，，可证，则为异面直线与所成的角. 【详解】解：取的中点，连接，. ， 因为是的中点，所以，， ， 且，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以为异面直线与所成的角， 在中，， 故选：C. 8. 设是锐角三角形的两个互不相等的内角，若，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合正弦函数的性质，以及两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】由是锐角三角形的两个互不相等的内角， 可得且， 所以，同理可得， 所以， 又因为， 因为，所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 任何一个复数（其中，）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. B. 当，时， C. 当，时， D. 当，，且为偶数时，复数为纯虚数 【答案】AC 【解析】 【分析】运用题意中提供的棣莫弗定理，结合复数的运算规则，逐项进行运算求解. 【详解】选项A：， 故， 又因为， 所以，选项A正确； 选项B：当，时， 由棣莫弗定理得，， 所以选项B错误； 选项C：当，时， 由棣莫弗定理得，， 所以 所以选项C正确； 选项D：当，时， 由棣莫弗定理得，， 当时， ，此时不为纯虚数， 所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数， 所以选项D错误； 故选：AC. 10. 如图，已知在长方体中，，，则（ ） A. 平面 B. C. 与所成角为60° D. 与平面所成的角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的长方体，利用线面平行判定推理判断A；证明线面垂直判断B；求出异面直线夹角的余弦判断C；用几何法求出线面角的正弦判断D作答. 【详解】在长方体中，，，如图， 对角面是矩形，则平面，平面，则平面，A正确； 平面，则平面， 平面，因此，B正确； 由选项A知，，则是与所成角或其补角， 而，则，，C不正确； 连接，连，正方形中，，而平面， 平面，则，又平面， 即有平面，因此是与平面所成的角，而， 所以，D正确. 故选：ABD 11. 如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB（A为塔顶，B为塔底）的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），测得测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是（ ） A. s， B. s， C. s， D. s， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理分析各个选项，即可求得结论． 【详解】解：对于A，已知，，，， 在中，利用三角形内角和为可求得， 利用正弦定理，可求得， 在中，，由，即可求； 对于B，在中，已知一边，一角，无法求解三角形， 在中，已知两角，，无法求解三角形， 在中，已知一边，一角，无法求解三角形； 对于C，在中，已知一边，两角，， 由三角形内角和可求得，由正弦定理可求得， 在中，已知两角，，一边，利用，可求得； 对于D，在中，已知两角，， 由，可用表示，由，可用表示， 在中，已知，边，表示，利用余弦定理可用表示， 在中，利用勾股定理可用表示， 在中，已知，，表示，表示， 利用余弦定理可建立关于的方程，即可求解． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，设，是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标.设向量，在斜坐标系中的坐标分别为，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的定义可求得的值，由题意得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】由平面向量数量积的定义得， 依题意，，， 所以. 故答案为： 13. 在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则___________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】过点作，垂足为，结合已知求得，再根据等面积法即可求解． 【详解】过点作，垂足为，如图所示， 因为，平分， 所以，则， 又，所以， ，， 所以， 故答案为：． 14. 如图，在棱长为2的正方体中，为中点，为中点，过、、三点作正方体的截面，则截面的周长为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意作出截面，结合正方体的性质求出相关线段的长，即可求得答案. 【详解】设直线与直线分别交于，连接, 分别交于，连接， 则五边形即为过、、三点作正方体的截面； 由于为中点，为中点，故， 由于，故，同理, 又，则，则，， 同理可求得，， 则，， , 故截面的周长为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，且为纯虚数． （1）求复数； （2）若，求复数的模. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法运算与纯虚数的概念可得，求出z即可； （2）由（1），利用复数的乘、除法运算可得，结合复数的几何意义即可求解. 【小问1详解】 由题意得， ∵是纯虚数， ∴，∴，∴. 【小问2详解】 ， ∴. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点. （1）证明：； （2）证明：平面. 【答案】（1） 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以. 因为，，， 所以，所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以 （2） 设，连接， 则是的中点， 又因为是的中点，所以 因为平面，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明平面，再通过线面垂直的性质得到线线垂直； （2）设，根据条件得到，再结合线面平行的判定定理证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知，，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方关系将式子化成齐次式，再将弦化切，最后代入计算可得； （2）首先由同角三角函数的基本关系求出，，，由二倍角公式求出、，最后由并利用两角差的余弦公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以 ； 【小问2详解】 且， ，则， ， ， ，，且，解得（负值舍去）， ， 又，，， . 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； 【小问2详解】 由正弦定理得：，则，则，. 19. 如图所示，为圆的直径，，圆所在的平面，为圆周上与点，均不重合的点，于，为线段上任一点. （1）求证：平面平面； （2）已知，（为常数），设直线与平面所成角为，当变化时，求的最大值. 【答案】（1） ∵圆所在的平面，平面，∴， 又∵为圆的直径且为圆周上与点，均不重合的点，∴， ∵，，平面，平面，且， ∴平面， ∵平面，∴， 又∵，且，平面, ∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）作出直线与平面所成角，表示出该角的正弦值的表达式，结合三角代换以及对勾函数的单调性，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作的垂线交于点，连接， 由于平面，平面，故平面平面， 平面平面，平面，得平面， 故直线与平面所成角为，即 ，设且， 则，， 因圆所在的平面且，故， 故， 因此， 令且，则，， 故， 因，所以，当且仅当“”时，等号成立， 故， 因此的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市联盟学校2024-2025学年度第二学期学情调研 高一年级数学试卷 2025.05 本试卷共19大题，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，及平面，，则下列命题正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 的内角，，的对边分别为，，，且，则为（ ） A. B. C. D. 7. 在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，如图所示，若为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 设是锐角三角形的两个互不相等的内角，若，，则（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 任何一个复数（其中，）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. B. 当，时， C. 当，时， D. 当，，且为偶数时，复数为纯虚数 10. 如图，已知在长方体中，，，则（ ） A. 平面 B. C. 与所成角为60° D. 与平面所成的角的正弦值为 11. 如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB（A为塔顶，B为塔底）的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），测得测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是（ ） A. s， B. s， C. s， D. s， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，设，是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标.设向量，在斜坐标系中的坐标分别为，，则___________. 13. 在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则___________. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，为中点，为中点，过、、三点作正方体的截面，则截面的周长为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，且为纯虚数． （1）求复数； （2）若，求复数的模. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点. （1）证明：； （2）证明：平面. 17. 已知，，且. （1）求的值； （2）求的值. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 19. 如图所示，为圆的直径，，圆所在的平面，为圆周上与点，均不重合的点，于，为线段上任一点. （1）求证：平面平面； （2）已知，（为常数），设直线与平面所成角为，当变化时，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $