精品解析：广东省中山市第一中学（丰山部）2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

2024－2025学年广东中山第一中学（丰山部）高一上学期 数学期末考试 一、单选题 1. 已知集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式确定集合，然后由交集定义计算． 【详解】或，， 所以． 故选：C. 2. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 3. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据及已知即可求结果. 【详解】由. 故选：A 4. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法求解. 【详解】解：A. ， 与1的大小不定，故错误； ，故正确； C. ，故错误； D. ，故错误； 故选：B 5. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 命题“若，则”否定是“存在，” C. 设，，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分性和必要性判断即可. 【详解】若，则，而若，则或，所以是的充分不必要条件，故A错； 命题若，则的否定为存在，则，故B错； 若，则，而时，可以，，所以，是的充分不必要条件，故C错； 若，时，，若，则，所以是的必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 6. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，即，解得， 故选：B. 7. 已知，，，均为实数，有下列命题： （1）若，，则； （2）若，，则； （3）若，，则， 其中正确命题的个数是　　 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题就是，，三个结论之间轮换，知二推一，利用不等关系证明即可． 【详解】解：对于（1）， 将不等式两边同时除以 所以（1）正确 对于（2）， 将不等式两边同时乘以 所以（2）正确 对于（3） 又 所以（3）正确 故选：． 【点睛】本题考查不等式与不等关系的灵活运用，以及不等式的性质，属于基础题． 8. 设，则的最小值是 A. 2 B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】多次利用基本不等式和实数的性质进行计算可得答案. 【详解】解：， ， 当且仅当，即时取等号， ， 当且仅当取等号，即，取最小值， 可得的最小值：4， 故选B. 【点睛】本题主要考查基本不等式和实数的性质，属于中档题. 二、多选题 9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图验证B，C，D选项，再解出集合，利用交集补集定义判断A选项. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，故C正确，B，D错误； 因为，， 所以，故A正确. 故选：AC. 10. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A：∵，，. ∴，. 当且仅当，即，，取“”，∴A正确； 对于B：，由（1）知，∴. ∴.∴B正确； 对于C：. ∴，∴C错误； 对于D：， 当且仅当，即，取“”，∴D正确. 故选：ABD. 11. 大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（ ） A. B. C. Ü D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于ABC，举例分析判断，对于D，利用直积的定义分析判断即可. 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则， 而，B错误； 对于C，若，则， ，，，C错误； 对于D，任取元素，则且，则且， 于是且，即， 反之若任取元素，则且， 因此且，即且， 所以，即，D正确. 故选：ABC 三、填空题 12. 已知，求的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【详解】设,则解得 故， 由,故， 由,故， 所以. 故答案为：. 13. 若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知命题“”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解. 【详解】由题意可知，题“”为真命题， 当时，由可得，不符合题意， 当时，根据题意知不等式恒成立则， 解之可得. 故答案： 14. 已知集合，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，解出集合后结合集合的关系计算即可得. 【详解】由，故， 由，得， 故有，即，即， 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用集合的包含关系列出不等式求解作答. （2）将问题转化为，再分空集和非空集合讨论求解作答. 【小问1详解】 由“”是“”的充分不必要条件，得， 又，， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为. 小问2详解】 命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而， 则，无解， 所以实数的取值范围. 16. 已知集合，集合，集合． （1）若，求实数a的值； （2）若，，求实数a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，由，得到，由此能求出a的值，再注意检验即可； （2）求出集合，由，，得，由此能求出a，最后同样要注意检验． 【小问1详解】 因为集合， 集合，且， 所以，所以，即， 解得或． 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意． 综上，实数a的值为． 【小问2详解】 因为，， ，且，， 所以， 所以，即，解得或． 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意． 综上，实数a的值为． 17. 已知命题p：，使得成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立. （1）若命题p真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据命题为真命题，转化为求的最小值，即可求解；（2）首先根据命题为真命题，结合基本不等式求的取值范围，再根据两个命题一真一假，求实数的取值范围. 【小问1详解】 ∵p为真命题，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当，即时取等号. 所以. 【小问2详解】 若q为真，则， ∵，，， ∴， 当且仅当，即时取等号. 所以. ①若p真，q为假，则且，即； ②若p为假，q为真，则且，即. 综上，或. 18. 近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本. （1）求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式； （2）高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？ 【答案】（1） （2）当高邮政府的专项补贴为万元时，所获收益最大. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出函数关系式，化简得到； （2）在（1）的基础上，变形后利用基本不等式求出答案. 【小问1详解】 ， 因为，所以； 【小问2详解】 ， 又因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故当高邮政府的专项补贴为万元时，取最大值万元. 19. 已知集合中的元素都是正整数，且．若对任意，且，都有成立，则称集合A具有性质M． （1）判断集合是否具有性质M； （2）已知集合A具有性质M，求证：； （3）已知集合A具有性质M，求A中元素个数的最大值，并说明理由． 【答案】（1）具有 （2）证明见解析 （3）9，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据所给性质及集合，全部元素验证所给即可得解； （2）由所给性质变形可得，利用累加相消法即可得解； （3）利用所给性质先放缩法确定确定，再同理可得，假设 可推出矛盾，当时，利用基本不等式证明成立，即可得出的最大值. 【小问1详解】 集合具有性质. 【小问2详解】 由题意，， 又， 所以， 可得：， 所以. 即. 【小问3详解】 由（2）知，，可得， 因此，同理，可得，. 又，可得，所以也均成立. 当时，取，则，可知. 又当时，，所以. 因此集合中元素个数的最大值为9. 【点睛】关键点点睛：根据，利用放缩法变为，先取，判断出，再分，时，与25 大小即可，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年广东中山第一中学（丰山部）高一上学期 数学期末考试 一、单选题 1. 已知集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 3 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式中成立是（ ） A. B. C. D. 5. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. 命题“若，则”的否定是“存在，” C. 设，，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，，则“”是“”的必要不充分条件 6. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，均为实数，有下列命题： （1）若，，则； （2）若，，则； （3）若，，则， 其中正确命题的个数是　　 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 设，则的最小值是 A. 2 B. 4 C. D. 5 二、多选题 9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为.即且.关于任意非空集合，下列说法错误的是（ ） A. B. C. Ü D. 三、填空题 12. 已知，求的取值范围__________． 13. 若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为____________. 14. 已知集合，若，则的最小值为__________． 四、解答题 15. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 16. 已知集合，集合，集合． （1）若，求实数a的值； （2）若，，求实数a的值． 17. 已知命题p：，使得成立；命题q：正数a，b满足，不等式恒成立. （1）若命题p真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 18. 近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴.波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本. （1）求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）表达式； （2）高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？ 19. 已知集合中的元素都是正整数，且．若对任意，且，都有成立，则称集合A具有性质M． （1）判断集合是否具有性质M； （2）已知集合A具有性质M，求证：； （3）已知集合A具有性质M，求A中元素个数的最大值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$