2026届高中数学思想方法大合集-三角形中线长定理 讲义

公式定理28  三角形中线长定理 【地位作用】三角形中线长定理表述了三角形三边和中线的长度关系，可以作为三角形余弦定理的推论． 【内容展示】如图，在中，AD为BC边上的中线，则． 【证明过程】由向量加法的平行四边形法则可知， 则 ， 则． 【内涵外延】中线长定理在证明其他数学定理和几何问题中具有重要作用.比如在证明勾股定理和中位线定理时，可利用中线长定理将三角形的面积视为两个直角三角形的面积之和或差，然后运用直角三角形的面积公式进行计算.此外，在一些涉及三角形边与中线关系的几何证明题中，常常会用到中线长定理来建立等式关系，从而完成证明过程. 灵活应用一 中线长定理的正用 典例1.在中，，，，D为BC的中点，则中线______． 【详细解析】在中，由中线长定理可知，则，解得． 【题后反思】“中线长定理”构建了三角形三边及其中一条边上的中线的长度关系．若问题中出现“中线”，须联想到“中线长定理”，实现快速对症下药． 【举一反三】 1．在中，已知，，，则边上的中线长为 . 灵活应用二 中线长定理的逆用 典例2 .在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，且AC边上的中线长为4，则的面积为______． 【详细解析】在中，由中线长定理可知 ①， 由余弦定理得 ②， 由①②可得，所以． 【题后反思】本题中的结论①也可以通过余弦定理得到，而中线长定理的直接应用能简化运算，提高做题效率． 【举一反三】 2．在中，角所对的边分别为，且，若的面积为，则边上中线长的最小值为 . 灵活应用三 中线长定理的灵活用 典例3 .在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N在圆上运动，且．若直线上任意一点P都满足，则实数k的取值范围是______． 【详细解析】如图，取MN的中点T，由可知， 即点T的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆． 在中，由中线长定理可知，故，则． 由点到直线的距离公式得，解得，故实数k的取值范围是． 【题后反思】由于P，M，N均为动点，须“动中寻静”．注意到MN为圆中定长的弦，根据中线长定理即可证明． 【举一反三】 3．在中，角，，所对的边分别为，，，且，是的中点，若，则的最大值为 ． 灵活应用四 中线长定理的综合用 典例4 .在平面直角坐标系xOy中，已知MN在圆C：上运动，且MN＝．若直线l：上的任意一点P都满足，则实数k的取值范围是 ． 【详细解析】取MN中点设为T， ∵MN＝，∴CT＝，即T点的轨迹是以C为圆心，为半径的圆. 在△PMN中，根据中线长定理，，故， ，由点到直线的距离公式得：，解之得：，故实数k的取值范围是． 【题后反思】本题中P、M、N均为动点，需“动中寻静”.注意到MN为圆中定长的弦，“遇弦想中点”，取MN中点设为T，则T点的轨迹是圆，在△PMN中，根据中线长定理， ，故，进一步转化为. 【举一反三】 4．已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为 . （中线长定理的正用） 5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量与平行．若，，则BC边上的中线AD为（    ） A．1 B．2 C． D． （中线长定理的正用） 6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为AB的中点，且，，则（    ）． A． B．面积的取值范围为 C．周长的取值范围为 D．CD长度的取值范围为 （中线长定理的正用） 7．已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，为中点，求的长． （中线长定理的逆用） 8．在中，内角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，且边上的中线长为4，求的面积. （中线长定理的逆用） 9．在中，角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，边上的中线，且，求． （中线长定理的灵活用） 10．已知圆，直线与圆交于两点，，若，则弦的长度的最大值为 . （中线长定理的综合用） 11．已知圆点，直线与圆交于两点，点在直线上且满足.若，则弦中点的横坐标的取值范围为 . （中线长定理的综合用） 12．在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 公式定理28  三角形中线长定理 【地位作用】三角形中线长定理表述了三角形三边和中线的长度关系，可以作为三角形余弦定理的推论． 【内容展示】如图，在中，AD为BC边上的中线，则． 【证明过程】由向量加法的平行四边形法则可知， 则 ， 则． 【内涵外延】中线长定理在证明其他数学定理和几何问题中具有重要作用.比如在证明勾股定理和中位线定理时，可利用中线长定理将三角形的面积视为两个直角三角形的面积之和或差，然后运用直角三角形的面积公式进行计算.此外，在一些涉及三角形边与中线关系的几何证明题中，常常会用到中线长定理来建立等式关系，从而完成证明过程. 灵活应用一 中线长定理的正用 典例1.在中，，，，D为BC的中点，则中线______． 【详细解析】在中，由中线长定理可知，则，解得． 【题后反思】“中线长定理”构建了三角形三边及其中一条边上的中线的长度关系．若问题中出现“中线”，须联想到“中线长定理”，实现快速对症下药． 【举一反三】 1．在中，已知，，，则边上的中线长为 . 【答案】 【分析】在利用余弦定理可求得，再在中利用余弦定理即可得解. 【详解】在中，设BD的中点为D，则AD为BC边上的中线长 中，由余弦定理得： ∴中，由余弦定理得： ∴. 故答案为： 灵活应用二 中线长定理的逆用 典例2 .在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，且AC边上的中线长为4，则的面积为______． 【详细解析】在中，由中线长定理可知 ①， 由余弦定理得 ②， 由①②可得，所以． 【题后反思】本题中的结论①也可以通过余弦定理得到，而中线长定理的直接应用能简化运算，提高做题效率． 【举一反三】 2．在中，角所对的边分别为，且，若的面积为，则边上中线长的最小值为 . 【答案】 【分析】先由等式得，再由的面积为得到， 结合图象和余弦定理可得，利用基本不等式可得最小值. 【详解】因为， 由正弦定理得，整理得，即， 因，所以，得， 则， 因为，所以.    如图，设边上的中点为，在中，由余弦定理，得，又， 所以 由得代入上式， 得， 当且仅当时取等，所以AC边上中线长的最小值为. 故答案为：. 灵活应用三 中线长定理的灵活用 典例3 .在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N在圆上运动，且．若直线上任意一点P都满足，则实数k的取值范围是______． 【详细解析】如图，取MN的中点T，由可知， 即点T的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆． 在中，由中线长定理可知，故，则． 由点到直线的距离公式得，解得，故实数k的取值范围是． 【题后反思】由于P，M，N均为动点，须“动中寻静”．注意到MN为圆中定长的弦，根据中线长定理即可证明． 【举一反三】 3．在中，角，，所对的边分别为，，，且，是的中点，若，则的最大值为 ． 【答案】## 【分析】先利用得出，再结合条件可得，再利用余弦定理得出，最后利用正弦定理即可求出. 【详解】因是的中点，则， 在中利用余弦定理得，， 在中利用余弦定理得，， 因，则， 则，即  ①， 由得  ②， 由①②可得  ③， 因，则由余弦定理得， 即  ④， 由③④可得， 由正弦定理得， 所以的最大值为． 故答案为： 灵活应用四 中线长定理的综合用 典例4 .在平面直角坐标系xOy中，已知MN在圆C：上运动，且MN＝．若直线l：上的任意一点P都满足，则实数k的取值范围是 ． 【详细解析】取MN中点设为T， ∵MN＝，∴CT＝，即T点的轨迹是以C为圆心，为半径的圆. 在△PMN中，根据中线长定理，，故， ，由点到直线的距离公式得：，解之得：，故实数k的取值范围是． 【题后反思】本题中P、M、N均为动点，需“动中寻静”.注意到MN为圆中定长的弦，“遇弦想中点”，取MN中点设为T，则T点的轨迹是圆，在△PMN中，根据中线长定理， ，故，进一步转化为. 【举一反三】 4．已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为 . 【答案】## 【分析】根据几何关系确定点的轨迹方程，从而根据点到圆上动点距离最值的求解方法求解即可. 【详解】解法1：如图，因为，所以，故四边形为矩形， 设的中点为S，连接，则， 所以， 又为直角三角形，所以，故①， 设，则由①可得， 整理得：， 从而点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 显然点P在该圆内部，所以， 因为，所以 ； 解法2：如图，因为,所以， 故四边形为矩形，由矩形性质，， 所以，从而， 故Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆， 显然点P在该圆内，所以. 故答案为： . （中线长定理的正用） 5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量与平行．若，，则BC边上的中线AD为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量平行列方程，利用平方的方法求得. 【详解】由于向量与平行， 所以，由正弦定理得， 由于所以， 由于，所以. ，两边平方得 ， 所以. 故选：D （中线长定理的正用） 6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为AB的中点，且，，则（    ）． A． B．面积的取值范围为 C．周长的取值范围为 D．CD长度的取值范围为 【答案】BCD 【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解A，结合不等式即可求解BC,利用向量的模长，即可求解D. 【详解】由正弦定理可得，整理得， 所以，又，所以．故A错误， 对于B,由可得，当且仅当时取等号， 所以,故面积的取值范围为，B正确， 对于C，由得， 当且仅当时取等号，由于故周长的范围，故C正确， 对于D， 由于，所以， 由于，所以，故D正确， 故选：BCD （中线长定理的正用） 7．已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，为中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用倍角余弦公式化简可得，结合，即可求解； （2）利用余弦定理可得，再根据即可求解. 【详解】（1），即， 化简得，解得， 因为，所以． （2）由余弦定理得， 即，解得， 因为 ， 故的长度为． （中线长定理的逆用） 8．在中，内角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，且边上的中线长为4，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理和倍角公式化简得，可得角的大小； （2）利用中线的向量性质，结合余弦定理求出，用面积公式求的面积. 【详解】（1），由正弦定理得：， 因为，所以， 故，即， 因为，所以，故， . （2）设的中点为，则，两边同时平方得： ，①， 在中，由余弦定理得②， ①-②得，则， . （中线长定理的逆用） 9．在中，角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，边上的中线，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合正、余弦定理边化角即可得解； （2）在中，根据题意利用余弦定理可得，再结合（1）中的关系，运算求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，整理得， 由余弦定理可得， 又因为，所以. （2）在中，由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或， 且为的中点，可得或， 又因为，则， 由（1）可知：，即.    （中线长定理的灵活用） 10．已知圆，直线与圆交于两点，，若，则弦的长度的最大值为 . 【答案】 【解析】取的中点为M，由可得，可得M在上，当最小时，弦的长才最大. 【详解】设为的中点，，即， 即，，. 设，则，得. 所以，. 故答案为： 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题. （中线长定理的综合用） 11．已知圆点，直线与圆交于两点，点在直线上且满足.若，则弦中点的横坐标的取值范围为 . 【答案】 【分析】①当直线斜率不存在时，易求得；②当直线斜率存在时，设其方程为，利用直线与圆有交点可求得；将直线方程与圆方程联立得到韦达定理的形式；根据和可整理得到，，，满足的方程，代入韦达定理的结论整理可得；当时，知；当时，可将表示为关于的函数，利用对号函数的性质可求得值域，即为所求的范围；综合两类情况可得最终结果. 【详解】设， ①当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，， ，，，， 满足，此时； ②当直线斜率存在时，设其方程为：， 与圆有两个不同交点，，即， 由得：， 设，， 则，， ， . ，，解得：， 由得：， 整理得：， ，整理得：， 当时，； 当时，，代入式得：， 解得：， ， ，， 当时，单调递增， 在上单调递减， ， 综上所述：弦中点的横坐标的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、向量共线的坐标表示、函数值域的求解等知识；求解本题的关键是能够结合韦达定理的形式，将所求的点的横坐标表示为关于直线斜率的函数关系式的形式，从而利用对号函数的性质求得函数值域；本题计算量较大，难度较高，对学生的分析和解决问题能力、运算和求解能力有较高要求. （中线长定理的综合用） 12．在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设的中点为，由已知，因此可设，求出点的轨迹方程知点轨迹是圆，从而易得的取值范围． 【详解】设的中点为，因为， 所以，化简得， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以的取值范围是， 从而的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点的轨迹的求法以及点与圆的位置关系中的最值问题，对于圆中的弦长问题，注意通过弦心距进行转化，本题属于中档题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$