精品解析：江西省南昌市南昌中学教育集团2024-2025学年下学期八年级数学期中试卷

南昌中学教育集团2024-2025学年下学期初二数学期中测试试卷 满分：120分 时长：120分钟 一、单选题（18分，每小题3分，共6小题） 1. 下列各式中，计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式是二次根式的有（ ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 已知点 ，点 ，则A，B两点间的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列性质中，矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 任意两个邻角互补 D. 对角互补 6. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的个数是（ ） ①为等边三角形；②；③四边形是菱形；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（18分，每小题3分，共6小题） 7. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 8. 计算：______． 9. 如图，在中，于点，，，．则___________． 10. 如图，在矩形中，对角线相交于点，，则______． 11. 如图，在矩形中，，点E在上，．若平分，则的长为 _____． 12. 如图，在中，是上的中线，交于点，．若，，则的长为_____． 三、解答题（30分，每小题6分，共5小题） 13. 计算： （1）； （2）； 14. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 15. 已知，分别为直角三角形的两条边长，且，满足，求此直角三角形的周长． 16. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，求的长． 17. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 四、解答题（24分，每小题8分，共3小题） 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A均为格点．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图①中找一格点B，连接，使线段． （2）在图②中画出等腰，点B、C在格点上，使为顶角且． （3）在图③中画出等腰，点B、C在格点上，使为顶角且腰长为5． 19. 已知：如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 20. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． （1）求出该空地的面积； （2）该校计划在此空地上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 五、解答题（18分，每小题9分，共2小题） 21. 著名数学教育家G·波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料： 数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如：． 解决问题： （1）根据上述思路，试将予以化简； （2）根据上述思路，化简并求出的值； （3）当时，化简． 22. 吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点向点行驶，已知点处为一所学校，点与直线上两点，的距离分别为和，，吊车周围以内为受噪声影响区域． （1）求的度数； （2）学校会受噪声影响吗？为什么？ （3）若吊车的行驶速度为每分钟，则噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 六、解答题（12分） 23. 如图，在正方形中，E是边上一点，过点O作交边于点F． （1）求证：； （2）直接写出与的数量关系； （3）如图2，连接． ①如图，若，求证：； ②如图，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌中学教育集团2024-2025学年下学期初二数学期中测试试卷 满分：120分 时长：120分钟 一、单选题（18分，每小题3分，共6小题） 1. 下列各式中，计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，熟悉掌握，是解题关键． 直接利用二次根式的性质分别化简，进而判断即可求解． 【详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故正确，符合题意； D、，故错误，不符合题意． 故选：C． 2. 下列各式是二次根式的有（ ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【详解】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 3. 已知点 ，点 ，则A，B两点间的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离公式，属于基础题，熟练掌握基本公式是解题关键． 由两点间的距离公式可得． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴三角形不是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴三角形不是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵， ∴三角形不是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴三角形是直角三角形，故D选项符合题意； 故选：D． 5. 下列性质中，矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 任意两个邻角互补 D. 对角互补 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和平行四边形的性质，根据矩形和平行四边形的性质逐一判断即可． 【详解】解；A、矩形和平行四边形的对边都互相平行且相等，故此选项不符合题意； B、矩形和平行四边形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意； C、矩形和平行四边形的任意两个邻角互补，故此选项不符合题意； D、矩形的对角互补，平行四边形的对角不一定互补，故此选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的个数是（ ） ①为等边三角形；②；③四边形是菱形；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据矩形的性质可得，先证明，再证明是等边三角形，即可判断①选项；由和是等边三角形，可得，即可判断②选项；由含角的直角三角形的性质即可判断③选项；先证明，可知，设，根据含角的直角三角形的性质，可得，根据，，可得，进一步即可判断④选项． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ，， 在等边中，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 平分， ，， 垂直平分， 如图，连接， 在矩形中，为的中点， ，，三点在同一直线上， 在线段的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形， 故①符合题意； 由①得和是等边三角形， ， 四边形是菱形； 故③符合题意； 是等边三角形， ， ， ∴ 是等边三角形， ， ， ∴ ∴，即故②符合题意； 在和中， ， ， ， 垂直平分， ， 设， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 故④不符合题意， 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：C 二、填空题（18分，每小题3分，共6小题） 7. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 8. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．先根据积的乘方与幂的乘方得到, 然后利用平方差公式计算. 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：. 9. 如图，在中，于点，，，．则___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理求出的长即可得出的长． 【详解】解：， ∴ 在中， ∵，， ∴， 又， ∴, 故答案为：12． 10. 如图，在矩形中，对角线相交于点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，由矩形的性质可得，进而可得为等边三角形，即得，据此即可求解，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在矩形中，，点E在上，．若平分，则的长为 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，由矩形的性质可得，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 12. 如图，在中，是上的中线，交于点，．若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点G，连接，，利用三角形中位线定理和勾股定理解答即可． 【详解】解：取的中点G，连接， ∵是上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的中位线定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握中位线定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（30分，每小题6分，共5小题） 13. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则化简，再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，涉及平方差公式应用，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先求出，，然后将变形，再整体代入求值即可； （2）先将变形，然后再代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ ． 15. 已知，分别为直角三角形的两条边长，且，满足，求此直角三角形的周长． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意求出，分当为直角边，当为斜边，两种情况讨论即可． 【详解】解：，满足， ， ， ； 当为直角边时，斜边长， 直角三角形的周长； 当为斜边时，另一条直角边长， 直角三角形的周长； 综上，此直角三角形的周长为或． 16. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，求的长． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用及用尺规画线段，解题的关键是正确认识尺规作图和熟练掌握勾股定理．先通过尺规作图确定，再利用勾股定理求出，从而利用线段之间的关系求出所需线段的长． 【详解】解：由题意，知， 在中， ， ， 17. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】 证明：如图，连接BC，设对角线交于点O． ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴OA=OD，OB=OC． ∵AE=DF， ∴OA﹣AE=OD﹣DF， ∴OE=OF． ∴四边形BECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论． 【详解】略 四、解答题（24分，每小题8分，共3小题） 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A均为格点．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图①中找一格点B，连接，使线段． （2）在图②中画出等腰，点B、C在格点上，使为顶角且． （3）在图③中画出等腰，点B、C在格点上，使为顶角且腰长为5． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定、勾股定理是解答本题的关键． （1）使为直角边分别是1和2的直角三角形的斜边即可． （2）结合等腰三角形的判定与性质，使边上的高为2即可． （3）使和都是直角边分别为3和4的直角三角形的斜边即可． 【小问1详解】 解：为直角边分别是1和2的直角三角形的斜边即可，如图所示：符合题意的点有4个，点B即为所求． 【小问2详解】 当边上的高为2时，得到如下3个符合题意的三角形，等腰即为所求． 【小问3详解】 当和都是直角边分别为3和4时，得到符合题意的3个三角形，等腰即为所求． 19. 已知：如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴ ∴四边形是矩形 （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得，再根据平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）证明四边形是平行四边形，然后由矩形的定义（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）即可得出结论； （2）由矩形的性质得，再根据菱形的性质可知，；在中，根据勾股定理可得的长，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴在中，根据勾股定理可得 ∴ 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定及勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 20. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． （1）求出该空地的面积； （2）该校计划在此空地上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【答案】（1）该空地的面积为； （2）此块空地全部种植花卉共需花费元． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，过点作于点，先求出的长，设，则，再根据勾股定理求出的长，即可求解； （2）每种植花卉需要花费200元，即可求解． 【小问1详解】 解：连接，过点作于点，如图： ∵，，， ∴， 设，则， 在中，， 在中，，即， 解得：， ∴， 该空地的面积， 答：该空地的面积． 【小问2详解】 解：（元）， 答：此块空地全部种植花卉共需花费元． 五、解答题（18分，每小题9分，共2小题） 21. 著名数学教育家G·波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料： 数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如：． 解决问题： （1）根据上述思路，试将予以化简； （2）根据上述思路，化简并求出的值； （3）当时，化简． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，绝对值，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键； （1）根据题意，，计算求解即可； （2）根据题意，将原式化简为，计算求解即可； （3）根据题意，将原式化简为，根据，计算求解即可； 【小问1详解】 解： ． ； 【小问2详解】 解：原式 ． ； 【小问3详解】 解：， . 22. 吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点向点行驶，已知点处为一所学校，点与直线上两点，的距离分别为和，，吊车周围以内为受噪声影响区域． （1）求的度数； （2）学校会受噪声影响吗？为什么？ （3）若吊车的行驶速度为每分钟，则噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 【答案】（1） （2）会受噪声影响， 理由如下： 如图，过点作于点． ， ． 吊车周围以内为受噪声影响区域，且， 学校会受噪声影响； （3）2.4分钟 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）依据勾股定理判定是直角三角形，然后得到度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出学校C是否会受噪声影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出吊车噪声影响该学校持续的时间． 【小问1详解】 解：， ， 是直角三角形，且； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在上取一点，使，连接， ， 当吊车在线段上时产生的噪声会影响学校． ， 在Rt中，， （分钟）． 答：吊车产生的噪声影响该学校持续的时间为2.4分钟． 六、解答题（12分） 23. 如图，在正方形中，E是边上一点，过点O作交边于点F． （1）求证：； （2）直接写出与的数量关系； （3）如图2，连接． ①如图，若，求证：； ②如图，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵在正方形中，O是的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）． （3）①证明：取中点H，连接． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵中，，H为中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． ② 【解析】 【分析】（1）证明，即可得证； （2）连接，勾股定理得到，，等量代换得到，即可得出结论； （3）①取中点H，连接，三角形的中位线定理，得到，进而推出四边形是平行四边形，得到，进而得到，斜边上的中线结合等边对等角，推出，等量代换即可得出结果； ②设，延长到点M，使，易得，得到，，进而推出，得到，进而得到，在中，利用勾股定理求出的值，再利用（2）中的结论进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 理由：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ①略 ②解：设，延长到点M，使，则：． ∵四边形是正方形，， 由（1）可知， ∴，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，斜边上的中线，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键． 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