上海海事大学附属北蔡高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

2024-2025学年海大附中高一下期末考试 一、填空题(3*12=36) 1.366°是第_____象限的角. 2.若,那么在方向上的数量投影为_____. 3.直线,若,,则的位置关系是_____. 4.函数的值域是_____. 5.已知平面向量,若,则_____. 6.已知为虚数单位,若,则的取值范围为_____. 7.函数的对称轴方程是_____ 8.若是关于的方程的根,则_____. 9.在中,角所对的边分别为,若,则_____. 由余弦定理得,可得. 10.已知直线与平面,给出下列命题: ①；②； ③；④. 其中正确的命题是_____.(填序号) 11.已知是外一点,过点的两条直线分别交于,交于,且,则的长为_____. 12.如图,是以为直径的半圆(不含端点)上一动点,,且.若,则的取值范围是_____. 二、单选题 13.已知为虚数单位,则（ ） A.3i B.i C. D. 14.已知是同一平面内所有向量的一个基底,则“”是“的夹角是钝角”的() A.充分非必要条件 B.充要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件 15.利用三角函数图象,求出中的取值范围（ ） A. B. C. D. 16.如图1,“六芒星”由两个全等的正三角形组成,中心重合于点且三组对边分别平行,点是“六芒星”(如图2)的两个顶点,动点在“六芒星”上(包含内部以及边界),若,则的取值范围是() A. B. C. D. 三、解答题(8+10+10+12+12) 17.已知复数,其中. (1)若是实数,求实数的值； (2)若是纯虚数,求实数的值； (3)若在复平面内对应的点在第四象限,求实数的取值范围. 18.如图,在四面体中,,点为线段的中点,且. (1)证明:直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 19.如图,某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌,其中为顶端,长35米,长80米.设、在同一水平面上,从、看的仰角分别为、. (1)设计中是铅垂方向,若要求,求的长(结果精确到0.01米): (2)施工完成后与铅垂方向有偏差,现实际测得,求的长和的大小(结果精确到0.01米和). 20.如图,长方体中,,点为的中点. (1)求证:直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小； (3)求点与平面的距离. 21.定义函数的“积向量”为,向量的“积函数”为 (1)若,求最大值及对应的取值集合； (2)若向量的“积函数”满足,求的值; (3)已知,设,且的“积函数”为,其最大值为,求的最小值,并判断此时的关系. 2024-2025学年海大附中高一下期末考试 一、填空题(3*12=36) 1.366°是第_____象限的角. 【答案】一 【解析】由, 故为第一象限角. 2.若,那么在方向上的数量投影为_____. 【答案】 【解析】因为, 所以,, 所以在方向上的数量投影为. 3.直线,若,,则的位置关系是_____. 【答案】相交、平行或异面 4.函数的值域是_____. 【答案】 5.已知平面向量,若,则_____. 【答案】 【解析】,且, ,解得, . 6.已知为虚数单位,若,则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】因为表示单位圆,表示单位圆上点到的距离。 距离计算:定点到原点的距离为5,结合单位圆半径1,直接得出距离范围为。 7.函数的对称轴方程是_____ 【答案】, 【解析】 由,,得,. 函数的对称轴方程是:,. 8.若是关于的方程的根,则_____. 【答案】4 9.在中,角所对的边分别为,若,则_____. 【答案】 【解析】根据,可得,结合,解得,. 中,, 由余弦定理得,可得. 10.已知直线与平面,给出下列命题: ①；②； ③；④. 其中正确的命题是_____.(填序号) 【答案】①② 【解析】考虑线在面内,所以③④错误 11.已知是外一点,过点的两条直线分别交于,交于,且,则的长为_____. 【答案】20或4 【解析】 如图所示,因为平面平面, 所以, , . 当在平面与平面之间时, . 故答案为:20或4. 12.如图,是以为直径的半圆(不含端点)上一动点,,且.若,则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】以所在直线为轴,所在直线为轴,建立直角坐标系. 设,,则,且. ,当且仅当时取等号,. 二、单选题 13.已知为虚数单位,则（ ） A.3i B.i C. D. 【答案】B 14.已知是同一平面内所有向量的一个基底,则“”是“的夹角是钝角”的() A.充分非必要条件 B.充要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】由题意,,是非零向量,且不共线, 当时,可得,即的夹角为钝角； 当的夹角为钝角时,有,即; 故“”是“”的夹角是钝角”的充要条件. 故选:. 15.利用三角函数图象,求出中的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由得, 由正切函数的性质得 使不等式的的取值范围是故选. 16.如图1,“六芒星”由两个全等的正三角形组成,中心重合于点且三组对边分别平行,点是“六芒星”(如图2)的两个顶点,动点在“六芒星”上(包含内部以及边界),若,则的取值范围是() A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】设,求的范围,只需考虑图中6个向量的情况即可,讨论如下: (1)若在点,因为,所以; (2)若在点,因为,所以; (3)若在点,因为,所以; (4)若在点,因为,所以,; (5)若在点,因为,所以; (6)若在点,因为,所以. 所以的最大值为. 根据对称性,可知的最小值为-5. 故的取值范围是. 三、解答题(8+10+10+12+12) 17.已知复数,其中. (1)若是实数,求实数的值； (2)若是纯虚数,求实数的值； (3)若在复平面内对应的点在第四象限,求实数的取值范围. 【解析】复数,其中. (I)若是实数,则,解得或； (II)若是纯虚数,则,解得； (III)若在复平面内对应的点在第四象限,则,解得, 故实数的取值范围为(0,2). 18.如图,在四面体中,,点为线段的中点,且. (1)证明:直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【解析】(1)证明:因为点为中点,且, 所以, 因为,即,, 所以平面,则, 在中,,, 则, 因为,, 所以,所以, 又,所以平面. (2)如图,过点作,垂足为,连接, 由(1)知平面,所以, 又, 所以平面,则为与平面所成的角, 因为,, 则. 19.如图,某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌,其中为顶端,长35米,长80米.设、在同一水平面上,从、看的仰角分别为、. (1)设计中是铅垂方向,若要求,求的长(结果精确到0.01米): (2)施工完成后与铅垂方向有偏差,现实际测得,求的长和的大小(结果精确到0.01米和). 【解析】(1)设CD的长为米,则,, 因为,所以tanα=tan2β>0,则, 即,解得:米. 故CD的长为28.28米. (2)由题设ADB=180°--β=120.7°, 由正弦定理得,即米, 所以,则米, 又,则 故CD的长为28.57米,. 20.如图,长方体中,,点为的中点. (1)求证:直线平面； (2)求异面直线与所成的角的大小； (3)求点与平面的距离. 【解析】(1)证明:设和交于点,则为的中点. 连结,又因为是的中点,所以. 又因为平面,平面 所以直线平面. (2)由(1)知,,所以即为异面直线与所成的角. 因为,所以，, 所以异面直线与所成的角的大小为. （3）点与平面的距离为. 21.定义函数的“积向量”为,向量的“积函数”为 (1)若,求最大值及对应的取值集合； (2)若向量的“积函数”满足,求的值; (3)已知,设,且的“积函数”为,其最大值为,求的最小值,并判断此时的关系. 【解析】(1)若,,则由题意, 可得, 当,,即,时, 函数有最大值2, 此时对应的取值集合为,； (2)由“积函数”满足, 可得, 令,则有, 所以,,即,, 所以; (3)因为, 所以 , 所以 , 此时存在满足,, 当且仅当时等号成立, 所以,即,, 所以 成立, 且,则, 所以, 当时,取得最小值为. 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$