精品解析：2025年广东省中山市纪中教育集团九年级三模联考 数学试题

2024-2025学年五校联盟教育教学质量监测 九年级数学学科 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义．根据俯视图是从上面看到的图形判断即可． 【详解】解：几何体的俯视图为： ， 故选：D． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的运算法则，完全平方公式处理． 【详解】解：A. ，原运算错误，本选项不合题意； B. ，原运算错误，本选项不合题意； C. ，符合运算法则，本选项符合题意； D. ，不能进一步运算化简，原运算错误，本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查乘法公式在整式乘法中的运用，幂的运算法则，掌握相关法则和公式是解题的关键． 4. 如图，坡角为的山坡上有一电线杆（与水平面垂直），电线杆与山坡所成锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由，则，再通过角度和差即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴电线杆与山坡所成锐角的度数为， 故选：． 5. 若分式的值等于0，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据分子为零，分母不为零计算判断即可． 【详解】解：∵分式的值等于0， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，根据条件列出符合题意的等式和不等式计算是解题的关键． 6. 在一个不透明的盒子里装有红、黄、白三种颜色的小球，其中红球5个，黄球3个，白球2个，这些小球除颜色外其余都相同，从盒子里随机摸出一个小球，摸到黄球的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用； 直接利用概率公式计算即可． 【详解】解：由题意得，摸到黄球的概率为：， 故选：B． 7. 如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方式是解题关键．先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解题． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∴， ∴的面积与积之比． 故选：C． 8. 下列对二次函数的图像的描述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 经过原点 D. 顶点在x轴的上方 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式得出二次函数图象的开口向上，对称轴为直线，函数的最小值为，顶点坐标为，当时，，由此即可得解． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， 顶点坐标为，在x轴的下方，故错误， 当时，，因此图象经过原点，故C正确； 故选：C． 9. 为弘扬广府饮食文化，某校开展“广东点心制作”实践活动．已知甲组同学平均每小时比乙组多做个虾饺，甲组制作个虾饺所用的时间与乙组制作个虾饺所用的时间相同．求甲、乙两组同学平均每小时各做多少个虾饺．若设乙组每小时做个虾饺，可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是找出题中的等量关系． 设乙组每小时做个虾饺，根据“甲组制作个虾饺所用的时间与乙组制作个虾饺所用的时间相同”列出方程． 【详解】解：设乙组每小时做个虾饺，则甲组同学平均每小时做个虾饺， 根据题意，得， 故选： A． 10. 将一个边长为的正方形与一个长、宽分别为的矩形重叠在一起．下列图形中，重叠部分的面积最大的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理、三角形面积的计算，找出重叠部分四边形的特征，得出倾斜度越大的面积越大，是解答本题的关键．分别计算出各个图形的重叠部分面积即可求解． 【详解】解：B．； C．设重叠的平行四边形的较短边为x，则较长边为，由正方形的面积重叠部分的面积个小直角三角形面积，可得， 解得（负值已舍去）， ∴， D．如图，由题意易得四边形为长方形，三角形为直角边长为的等腰直角三角形， 重叠部分是一个等腰梯形，梯形的较长底的长为，较短底的长为，高为， ∴； ∵， ∴图B，图C，图D中，图C重叠部分的面积最大， A．图A与图C对比，图A的倾斜度比图C的倾斜度小， ∴图A的底比图C的底小， ∵两图为等高不等底， ∴图A重叠部分的面积小于图C重叠部分的面积； 故选：C． 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟知分解因式的方法是解题的关键； 根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，由可得，进而可得，即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 13. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，P、Q、S共线且直线与河岸垂直，然后在过点S且与垂直的直线a上选择适当的点T，确定与过点Q且垂直的直线b的交点R．已测得，，， 则河宽 __________． 【答案】90 【解析】 【详解】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键．根据相似三角形的性质得出，进而代入求出即可． 【解答】解：根据题意得出：， 则， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴河的宽度为90米． 故答案为：90． 14. 如图，为圆的内接三角形，，将绕A点依顺时针方向旋转，B点恰好落在圆上，此时旋转角大小为_________° 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，圆内接四边形对角互补，三角形内角和性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用三角形内角和性质得，再根据圆内接四边形对角互补，得，因为旋转得，则，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵为圆的内接三角形，将绕A点依顺时针方向旋转，B点恰好落在圆上， ∴， ∴， ∴， 即旋转角大小为， 故答案为： 三．解答题（第15题5分，第16题5分，第17题7分，第18-19题每题8分，第20题9分，第21题10分，第22、23题每题13分） 15. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，平方运算，然后再计算乘法运算，最后再进行加减运算即可． 【详解】解： 16. 商家推出两种纪念品．已知购买个甲种纪念品和买个乙种纪念品的费用相同；每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多元．求每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价． 【答案】每个甲种纪念品的进价为元，每个乙种纪念品的进价为元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个甲种纪念品的进价为元，每个乙种纪念品的进价为元，根据题意得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设每个甲种纪念品的进价为元，每个乙种纪念品的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个甲种纪念品的进价为元，每个乙种纪念品的进价为元． 17. 已知整式． （1）化简该整式； （2）若该整式的值为正数，判断关于的方程的根的情况，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：由题可得， 解得：． 对于关于的方程， ． 因为， 所以． 所以该方程有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程根判别式和整式混合运算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据多项式乘多项式乘法法则和单项式乘多项式乘法法则去括号，再运算加减法即可； （2）根据该整式的值为正数，得出，求出，再根据一元二次方程根判别式解答即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 略 18. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 如图所示菱形即为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接，以为圆心，为半径作弧，交的垂直平分线于点，连接、，根据线段垂直平分线的性质可知，则四边形是菱形； （2）根据菱形的性质及解直角三角形求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴ ∴， ∴， 即菱形的面积为． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握基本作图、解直角三角形． 19. 为设计学校数学节活动，学校制定了，两种方案供老师和学生打分，再根据得分情况选择最终的活动方案，其中编号为老师评委打分，号为学生评委打分（满分分），打分结果如下： ．得分情况统计表： 评委编号 方案得分 方案得分 b．得分情况数据分析表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 方案 方案 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空： ， ； （填“”“”或“”）． （2）为减少极端值对数据的影响，如果将，两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分．下列对去掉一个最低分和一个最高分后的数据的描述正确的是 （填写序号）． 方案，得分的平均数均没有变化； 方案，得分的中位数均没有变化； 方案，得分的众数均没有变化； （3）既要考虑办学生喜爱的数学节，也要充分考虑老师的意见，学校决定不去掉最高分和最低分，但是赋予教师评委打分和学生评委打分的权重，请你计算方案的最终得分． 【答案】（1），，； （2）； （3）分． 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，众数，平均数，方差，熟练掌握以上知识是解题的关键． （）根据中位数，众数，方差的定义，进行分析，即可求解； （）根据题意，从中位数，众数，平均数，方差分析，即可求解； （）根据加权平均数即可求解． 【小问1详解】 解：种方案得分从小到大排序为：，，，，，，，， ∴中位数， ， ∵种方案得分出现次数最多， ∴众数， ∵种方案得分从小到大排序为：，，，，，，，，，， ∴ ， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：依题意，去掉一个最低分和一个最高分之前，两种方案平均分相同去掉一个最低分和一个最高分之后，，，，则种方案得分的平均数小于种方案得分的平均数，故错误； ，两种方案得分的中位数均没有变化； ，两种方案得分的众数均没有变化； 故答案为：； 【小问3详解】 解：教师评委的平均分为， 学生评委的平均分为， ∴方案最终得分为：， 答：方案最终得分为分． 20. 如图，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，连接，，求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数与几何综合，三角形相似的判定与性质． （1）先求出m的值，利用待定系数法求出k即可得解； （2）过点A作轴于点P，过点N作轴于点Q，证明，得，根据，得，根据，得，可得，即得． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过， ∴， ∴反比例函数的解析式为；； 【小问2详解】 解：过点A作轴于点P，过点N作轴于点Q， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵中, ∴只有， ∴， ∴， ∴， ∵轴， 当， ∴， 当， ∴， ∴， ∴． 21. 综合与实践 【主题】曲轴连杆机构的运动分析与设计 【素材】 在某小型发动机的机构中，曲轴连杆的工作原理如图1所示：O为连杆轴，B为圆柱形气缸中活塞的圆心，直线平行于气缸内壁，连杆在活塞的带动下绕O轴匀速转动，连杆拖动活塞做往复运动．连杆长，连杆长． 【实践操作】 模拟曲轴连杆机构的运动过程，研究不同位置下连杆与活塞的关系． 【实践探索】 （1）活塞在气缸内最大移动的距离是__________． （2）点C为直线与的交点，当连杆从位置按顺时针方向旋转时，求活塞移动的距离．（计算结果保留根号） （3）如图2，发动机气缸底部开口的宽度为（与活塞直径相等），开口圆心为P，曲轴支点O位于气缸外部．当连杆支点A进入气缸内部时，需满足点A到气缸内壁的距离至少为，且活塞运动时不能脱离气缸．请确定满足条件时O、P之间距离的取值范围（结果保留一位小数）． 【答案】（1）12 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据，可得当点A在线段上时，有最大值，最大值为，求出此时的长即可得到答案； （2）过A作于H，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而得到的长即可得到答案； （3）当与相交时，点A进入气缸内部，且离气缸内壁最近，此时，在中，求出当时，的长；再由活塞不能脱离气缸，得到当A与C重合时，，则，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当点A在线段上时，有最大值，最大值为， ∴活塞在气缸内最大移动的距离是； 【小问2详解】 解：如图所示，过A作于H， 当连杆从位置按顺时针方向旋转时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴BH， ∴， ∴， ∴活塞移动的距离是． 【小问3详解】 J解：∵P为的中点 ∴， 当与相交时，点A进入气缸内部，且离气缸内壁最近，此时， ∴， ∵， ∴ 在中，当时， ∴， ∴ ∵活塞不能脱离气缸， ∴当A与C重合时，， ∴， ∴ ， ∴． 22. 【问题情境】：在数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在等边中，点是的中点，将绕点顺时针旋转得到，与交于点，连接和．试猜想线段与的数量关系，并加以证明． （1）请你根据图的情况，解答老师提出的问题； （2）“善思小组”发现，如图，连接和，则直线垂直平分线段，请你根据图的情况加以证明； （3）“智慧小组”突发奇想，如图，当时，旋转角的余弦值是多少？请你思考此问题，并求出结果 【答案】（1）相等， 理由如下： 如图，连接和， ∵由旋转得到， ∴， ， ∵，点是中点， ∴， ∴， 同理，， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 由（）得，，由（）证明，得， ∴， ∵ ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴点和都在线段的垂直平分线上， ∴直线垂直平分； （3）． 【解析】 【分析】（）连接和，由旋转性质可知， ，通过等边三角形的性质可得，，证明即可； （）由（）得，，由（）证明，得，则，再证明，所以，根据线段垂直平分线的判定方法即可； （）连接，，过点作于点，则 ，同（）理得 ，则 ，设，则，，设，则，由勾股定理，得，即，解得 或 （舍去），然后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，，过点作于点， 则 ， 同（）理得 ， ∴ ， ∴ ， 设，则，，设，则， 由勾股定理，得， 即， 整理，得 ， ∴ 或 （舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，垂直平分线的判定，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． 23. 【问题背景】 如图，在直角坐标系中，一次函数图象分别直线和交于点A和点B，与y轴交于点C，且满足点A和点B都在x轴上方，． 【构建联系】 （1）求证：． （2）当点C是的中点时，求证：． 【深入探究】 （3）若满足，是否存在一个二次函数，使得此函数图象同时过点A、点B和点O，若存在，求此二次函数的表达式．若不存在，说明理由． 【答案】 （1）如图，过点A作轴，垂足为点M，过点B作轴，垂足为N． 则 ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）由（1）得，． 当点C位的中点时，得． ∵点A和点B都在直线l上， ∴ ，得，． （3）存在， 【解析】 【分析】此题考查了二次函数和一次函数综合题，熟练掌握一次函数和二次函数的性质是关键． （1）设点A坐标为，点B坐标为，过点A作轴，垂足为点M，过点B作轴，垂足为N．证明．则，即可得到结论； （2）根据点A和点B都在直线l上得到方程组，由方程组即可得到结论； （3）设此函数的表达式为．联立得．则．求出．得到．进一步即可求出答案． 【详解】解：设点A坐标为，点B坐标为． （1）略 （2）略 （3）存在，二次函数表达式为． ∵二次函数的图象过点O， ∴设此函数的表达式为． 联立， 得． ∴． 根据题意，得． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ 二次函数的表达式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年五校联盟教育教学质量监测 九年级数学学科 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，坡角为的山坡上有一电线杆（与水平面垂直），电线杆与山坡所成锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若分式的值等于0，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 6. 在一个不透明的盒子里装有红、黄、白三种颜色的小球，其中红球5个，黄球3个，白球2个，这些小球除颜色外其余都相同，从盒子里随机摸出一个小球，摸到黄球的概率（ ） A. B. C. D. 7. 如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 8. 下列对二次函数的图像的描述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 经过原点 D. 顶点在x轴的上方 9. 为弘扬广府饮食文化，某校开展“广东点心制作”实践活动．已知甲组同学平均每小时比乙组多做个虾饺，甲组制作个虾饺所用的时间与乙组制作个虾饺所用的时间相同．求甲、乙两组同学平均每小时各做多少个虾饺．若设乙组每小时做个虾饺，可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 将一个边长为的正方形与一个长、宽分别为的矩形重叠在一起．下列图形中，重叠部分的面积最大的是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 11. 因式分解：_______． 12. 比较大小：_____（填“”“”或“”）． 13. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，P、Q、S共线且直线与河岸垂直，然后在过点S且与垂直的直线a上选择适当的点T，确定与过点Q且垂直的直线b的交点R．已测得，，， 则河宽 __________． 14. 如图，为圆的内接三角形，，将绕A点依顺时针方向旋转，B点恰好落在圆上，此时旋转角大小为_________° 三．解答题（第15题5分，第16题5分，第17题7分，第18-19题每题8分，第20题9分，第21题10分，第22、23题每题13分） 15. 计算：． 16. 商家推出两种纪念品．已知购买个甲种纪念品和买个乙种纪念品的费用相同；每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多元．求每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价． 17. 已知整式． （1）化简该整式； （2）若该整式的值为正数，判断关于的方程的根的情况，并说明理由． 18. 如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． （1）请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，，求菱形的面积． 19. 为设计学校数学节活动，学校制定了，两种方案供老师和学生打分，再根据得分情况选择最终的活动方案，其中编号为老师评委打分，号为学生评委打分（满分分），打分结果如下： ．得分情况统计表： 评委编号 方案得分 方案得分 b．得分情况数据分析表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 方案 方案 根据以上信息，回答下列问题． （1）填空： ， ； （填“”“”或“”）． （2）为减少极端值对数据的影响，如果将，两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分．下列对去掉一个最低分和一个最高分后的数据的描述正确的是 （填写序号）． 方案，得分的平均数均没有变化； 方案，得分的中位数均没有变化； 方案，得分的众数均没有变化； （3）既要考虑办学生喜爱的数学节，也要充分考虑老师的意见，学校决定不去掉最高分和最低分，但是赋予教师评委打分和学生评委打分的权重，请你计算方案的最终得分． 20. 如图，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，连接，，求的面积． 21. 综合与实践 【主题】曲轴连杆机构的运动分析与设计 【素材】 在某小型发动机的机构中，曲轴连杆的工作原理如图1所示：O为连杆轴，B为圆柱形气缸中活塞的圆心，直线平行于气缸内壁，连杆在活塞的带动下绕O轴匀速转动，连杆拖动活塞做往复运动．连杆长，连杆长． 【实践操作】 模拟曲轴连杆机构的运动过程，研究不同位置下连杆与活塞的关系． 【实践探索】 （1）活塞在气缸内最大移动的距离是__________． （2）点C为直线与的交点，当连杆从位置按顺时针方向旋转时，求活塞移动的距离．（计算结果保留根号） （3）如图2，发动机气缸底部开口的宽度为（与活塞直径相等），开口圆心为P，曲轴支点O位于气缸外部．当连杆支点A进入气缸内部时，需满足点A到气缸内壁的距离至少为，且活塞运动时不能脱离气缸．请确定满足条件时O、P之间距离的取值范围（结果保留一位小数）． 22. 【问题情境】：在数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在等边中，点是的中点，将绕点顺时针旋转得到，与交于点 ，连接和．试猜想线段与的数量关系，并加以证明． （1）请你根据图的情况，解答老师提出的问题； （2）“善思小组”发现，如图，连接和，则直线垂直平分线段，请你根据图的情况加以证明； （3）“智慧小组”突发奇想，如图，当时，旋转角的余弦值是多少？请你思考此问题，并求出结果 23. 【问题背景】 如图，在直角坐标系中，一次函数图象分别直线和交于点A和点B，与y轴交于点C，且满足点A和点B都在x轴上方，． 【构建联系】 （1）求证：． （2）当点C是的中点时，求证：． 【深入探究】 （3）若满足，是否存在一个二次函数，使得此函数图象同时过点A、点B和点O，若存在，求此二次函数的表达式．若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $