精品解析：贵州省铜仁市部分学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题

高一联考数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占30%，必修第二册第六章至第八章第3节占70%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5 2. 下列命题正确的是（ ） A. 正四棱柱是正方体 B. 圆锥的截面是圆 C. 一个棱柱至少有5个面 D. 正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形 3. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 4. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知是函数的零点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 某工艺品加工厂收到一块底面棱长为厘米，侧棱长为厘米的正三棱锥形状的珍贵木材，现用这块木材制作一个独特的球形饰品，则这个球形饰品的表面积的最大值是（ ） A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选错的得0分． 9. 若复数是关于的方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，若满足条件的是唯一的，则的值可以是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 11. 对于任意的，函数满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 比较大小：______（填“<”或“>”）. 13. 某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图，这是要测量的一建筑物的高度，选择与该建筑物底部在同一水平面上的，两点，测得米，，，，则该建筑物的高度______米. 14. 已知不共线的三个平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，. （1）若是纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内所对应的点位于第四象限内，求的取值范围. 16. 如图1，这是某公园路灯的灯柱．该灯柱由上、下两部分组成，下部分是正四棱柱，上部分是正四棱台，正四棱柱的上底面与正四棱台的下底面重合，其直观图如图2所示．已知该灯柱上部分正四棱台的上底面棱长为60厘米，下底面棱长为40厘米，侧棱长为30厘米，下部分正四棱柱的高为250厘米． （1）求该灯柱的侧面积； （2）求该灯柱的体积． 17. 如图，在四边形中，，，是的中点，． （1）用向量，表示向量，； （2）若，，求的值． 18. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）求在上的值域； （3）若是锐角，且，求的值. 19. 如图，某社区有一块空白区域，其中射线，是该空白区域的两条边界，点在射线上，千米，且.该社区工作人员计划在射线上选择一点，修建一条道路，将区域改造成儿童娱乐场地. （1）已知. ①求道路的长度； ②求的面积. （2）某工程队通过竞标，获得该社区改造项目的资格，已知改造儿童娱乐场地的利润为4万元每平方千米，修建道路的利润为2万元每千米，且要求不能大于，求该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一联考数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册占30%，必修第二册第六章至第八章第3节占70%． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数模的公式直接求解. 【详解】依题意，. 故选：B 2. 下列命题正确的是（ ） A. 正四棱柱是正方体 B. 圆锥的截面是圆 C. 一个棱柱至少有5个面 D. 正三棱锥的所有面都是全等的等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据柱体和锥体的定义，即可判断选项. 【详解】正四棱柱是底面为正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱，不一定是正方体，也可能是长方体，故A错误. 圆锥的轴截面是三角形，只有平行于底面的截面才是圆，故B错误. 一个棱柱至少有5个面，比如三棱柱，故C正确. 正三棱锥的所有侧面都是全等的等腰三角形，底面是等边三角形，故D错误. 故选：C 3. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式及特殊值计算判断A，根据平移判断B，代入计算判断对称轴及对称中心判断C，D. 【详解】由题意可得，则A错误. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，即得到的图象，则B正确. 因为，所以的图象不关于直线对称，则C错误. 因为，所以的图象不关于点对称，则D错误. 故选：B. 4. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用斜二测画法可还原到原直角坐标系中，再计算边长即可 【详解】由题意可得还原后如下： ，，，则 故选：C. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角正切公式计算结合充分不必要条件定义判断即可. 【详解】由，得或， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知是函数的零点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】结合零点的定义及指数与对数的相互转化求解即可. 【详解】由题意可得，，则， 则，所以. 故选：D. 7. 若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量定理的推论得，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为是的边上的一点（不包含端点）且， 可得，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 8. 某工艺品加工厂收到一块底面棱长为厘米，侧棱长为厘米的正三棱锥形状的珍贵木材，现用这块木材制作一个独特的球形饰品，则这个球形饰品的表面积的最大值是（ ） A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米 【答案】B 【解析】 【分析】求出正三棱锥的表面积与体积，由题意可知，这个球形饰品为正三棱锥的内切球时，表面积最大，然后由球的表面积公式求解即可. 【详解】 如图，在正三棱锥中底面正三角形中，，， 所以， 在中，，，所以， 所以该木材的表面积平方厘米， ，所以， 所以体积立方厘米. 要使这个球形饰品的表面积最大，则这个球形饰品是该木材的内切球. 设内切球的半径为厘米，则，所以. 设这个球形饰品的半径为厘米，则，故这个球形饰品的表面积平方厘米. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选错的得0分． 9. 若复数是关于的方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据韦达定理，以及复数运算公式，即可求解. 【详解】由题意可得解得，则，，故A，B，C正确，D错误. 故选：ABC 10. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，若满足条件的是唯一的，则的值可以是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】ACD 【解析】 【分析】当或时是唯一的，即可判断. 【详解】因为，， 所以当或时，满足条件的是唯一的，故符合题意的有A、C、D. 故选：ACD 11. 对于任意的，函数满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令可判断A选项；令可判断B选项； 由，令可判断C选项，再利用，即可判断D选项. 【详解】令，得，解得，故A正确； 令，得，即， 因为，，所以，故B错误； 因，则， 令，则，故C正确； 又，， 则，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 比较大小：______（填“<”或“>”）. 【答案】 【解析】 【分析】平方计算判断大小. 【详解】因为，，所以，所以. 故答案为：<. 13. 某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图，这是要测量的一建筑物的高度，选择与该建筑物底部在同一水平面上的，两点，测得米，，，，则该建筑物的高度______米. 【答案】20 【解析】 【分析】设米，在和中，分别表示出和的长，在中，由余弦定理即可求出建筑物的高度. 【详解】设米，在中，因为，则米. 在中，因为，所以米. 在中，由余弦定理可得， 因为米，则， 即，解得，所以米. 故答案为：20 14. 已知不共线的三个平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定向量的夹角为，再根据数量积的运算律，即可求解. 【详解】由题意可得向量，，两两的夹角为，则，，， 所以，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，. （1）若是纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内所对应的点位于第四象限内，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先计算，再根据复数的特征，即可求解； （2）根据复数的几何意义，列不等式求解. 【小问1详解】 由题意可得. 因为是纯虚数， 所以，解得； 【小问2详解】 由题意可得， 解得，即的取值范围为. 16. 如图1，这是某公园路灯的灯柱．该灯柱由上、下两部分组成，下部分是正四棱柱，上部分是正四棱台，正四棱柱的上底面与正四棱台的下底面重合，其直观图如图2所示．已知该灯柱上部分正四棱台的上底面棱长为60厘米，下底面棱长为40厘米，侧棱长为30厘米，下部分正四棱柱的高为250厘米． （1）求该灯柱的侧面积； （2）求该灯柱的体积． 【答案】（1）平方厘米． （2）立方厘米． 【解析】 【分析】（1）根据棱柱、棱台的侧面积特征计算即可； （2）根据棱柱、棱台的体积公式计算即可. 【小问1详解】 由题意可得灯柱上部分正四棱台的斜高厘米， 则该正四棱台的侧面积平方厘米， 灯柱下部分正四棱柱的侧面积平方厘米， 故该灯柱的侧面积平方厘米． 【小问2详解】 由题意可得灯柱上部分正四棱台的高厘米， 则该正四棱台的体积立方厘米． 灯柱下部分正四棱柱的体积立方厘米． 故该灯柱的体积立方厘米． 17. 如图，在四边形中，，，是的中点，． （1）用向量，表示向量，； （2）若，，求的值． 【答案】（1）； （2）18. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得结果； （2）根据平面向量的线性运算，用向量，分别表示向量，再利用向量数量积的运算律求解即可. 【小问1详解】 因为是的中点，所以， 则． 因为，，所以， 则． 【小问2详解】 因为，所以， 则． 由（1）可知，，则， 故． 因为，，所以， 则． 18. 已知函数. （1）求的单调递减区间； （2）求在上的值域； （3）若是锐角，且，求的值. 【答案】（1）. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用辅助角公式化简再应用正弦单调区间计算求解； （2）应用正弦函数值域计算求解； （3）应用两角差的余弦公式计算求解. 【小问1详解】 由题意可得 . 令，， 解得，， 则的单调递减区间是. 【小问2详解】 因为，所以. 当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值. 故在上的值域为. 【小问3详解】 因为，所以，所以. 因为是锐角，所以. 因为，所以，所以， 则. 19. 如图，某社区有一块空白区域，其中射线，是该空白区域的两条边界，点在射线上，千米，且.该社区工作人员计划在射线上选择一点，修建一条道路，将区域改造成儿童娱乐场地. （1）已知. ①求道路的长度； ②求的面积. （2）某工程队通过竞标，获得该社区改造项目的资格，已知改造儿童娱乐场地的利润为4万元每平方千米，修建道路的利润为2万元每千米，且要求不能大于，求该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值. 【答案】（1）①千米；②平方千米. （2）万元. 【解析】 【分析】（1）①利用正弦定理计算可得结果；②利用两角和的正弦公式求出的正弦值，再由面积公式计算可得结果； （2）设，利用正弦定理求出的面积关于的表达式，再结合三角函数值域问题即可得出结果. 【小问1详解】 ①由正弦定理可得， 则千米. ②因为，，所以， 所以 则的面积平方千米. 【小问2详解】 设， 由正弦定理可得， 则，， 故的面积平方千米. 该工程队完成这项改造项目获得的利润万元. 因为，所以，所以， 所以，所以， 即该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值为万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $