2026届高中数学思想方法大合集-两角和与差的公式讲义

公式定理17  两角和与差的三角公式 【地位作用】两角和与差的三角函数公式是给值求角、给角求值、化简三角函数式以及证明三角恒等式的有力工具． 【内容展示】两角和与差的三角公式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【证明过程】． 如图，当时，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴的非负半轴为始边作角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，． 连接，．若把扇形绕点按逆时针方向旋转角，则点，分别与点，重合．根据圆的旋转对称性可知，． 根据两点间的距离公式得， 化简得．当时，上式显然成立． 所以对于任意的，，有． 说明  其他公式都可以用两角差的余弦公式和诱导公式证明． 【内涵外延】当α=β时，由和角公式可以推导出二倍角公式. 例如，. 三倍角公式：如) 灵活应用一 两角和与差的正用 典例1 已知，，且，求的值． 【详细解析】因为，，所以． 由得． 因为，所以， 所以． 因为，所以． 【题后反思】利用公式求角时，需运用角的变换，考察角的取值范围． 【举一反三】 1． 已知､，且，. (1) 求的值； (2) 令，设，是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值，否则，请说明理由. 灵活应用二 两角和与差的逆用 典例2 化简求值： （1） ；（2）． 【详细解析】（1）原式 （2） 原式 ． 【题后反思】逆向使用公式时，可通过诱导公式、同角三角函数关系等变换三角函数名，使代数式符合公式形式，从而顺利使用公式． 【举一反三】 2． 化简求值： (1) ； (2) ． 灵活应用三 两角和与差的变形用 典例3 求值：． 【详细解析】因为， 所以， 所以， 同理， 所以． 【题后反思】通过去分母等手段进行公式变形，适当进行角的变换，最终求得结果． 【举一反三】 3． 设，，且，则（   ） A． B． C． D． 灵活应用四 两角和与差的综合用 典例4  已知为锐角，且，，则的最小值为（ ） A．    B．    C．    D． 【详细解析】由可得， 即， 因此 即可得， 令，则， 令，则， 由可得， 因此可知当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 因此可得当时，取得极小值，也是最小值， 即， 因此的最小值为. 故选：C 【题后反思】本题关键在于利用三角恒等变换以及二倍角公式得出关于的表达式，再通过构造函数并利用导数得出其单调性，即可求得最小值. 【举一反三】 4． 在中，若，则的最大值为 . （公式正用） 5． 已知角α的终边经过点，则的值为 ． （公式逆用） 6． （    ） A． B． C． D． （公式灵活用） 7． 已知，，则（   ） A． B． C． D． （公式灵活用） 8． 已知，，则（ ） A． B． C． D． （公式逆用） 9． 若 ，且 ，则下列结论正确的是（ ） A． B． B． D． （公式灵活用） 10． 已知，，则（    ） A． B． C． D． （公式正用） 11． 若，，则（    ） A． B． C． D． （公式正用） 12． 已知，，则（   ） A． B． C． D． （公式综合用） 13． 已知，，且满足，则最小值为（   ） A． B． C． D． （公式综合用） 14． 在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 公式定理17  两角和与差的三角公式 【地位作用】两角和与差的三角函数公式是给值求角、给角求值、化简三角函数式以及证明三角恒等式的有力工具． 【内容展示】两角和与差的三角公式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【证明过程】． 如图，当时，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴的非负半轴为始边作角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，． 连接，．若把扇形绕点按逆时针方向旋转角，则点，分别与点，重合．根据圆的旋转对称性可知，． 根据两点间的距离公式得， 化简得．当时，上式显然成立． 所以对于任意的，，有． 说明  其他公式都可以用两角差的余弦公式和诱导公式证明． 【内涵外延】当α=β时，由和角公式可以推导出二倍角公式. 例如，. 三倍角公式：如) 灵活应用一 两角和与差的正用 典例1 已知，，且，求的值． 【详细解析】因为，，所以． 由得． 因为，所以， 所以． 因为，所以． 【题后反思】利用公式求角时，需运用角的变换，考察角的取值范围． 【举一反三】 1． 已知､，且，. (1)求的值； (2)令，设，是否存在实数，使得的最小值为？若存在，求出的值，否则，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】(1)根据cos(α＋β)的值求的大小； (2)利用换元法求解，令即可﹒ 【详解】（1）∵､，且，， ∴，， 则， ∵，∴； （2）由(1)得，则， 设， ∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴， 令，， 当时，，(舍)， 当时，函数图像的对称轴方程为， ∴(舍)， 当时，此时函数图像的开口向下， ∴，又， ∴，解得，符合题意， ∴存在，使得的最小值. 灵活应用二 两角和与差的逆用 典例2 化简求值： （1） ；（2）． 【详细解析】（1）原式 （2） 原式 ． 【题后反思】逆向使用公式时，可通过诱导公式、同角三角函数关系等变换三角函数名，使代数式符合公式形式，从而顺利使用公式． 【举一反三】 2． 化简求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】根据同角三角函数基本关系切化弦及两角和差的正弦公式、二倍角公式即可化简计算. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 灵活应用三 两角和与差的变形用 典例3 求值：． 【详细解析】因为， 所以， 所以， 同理， 所以． 【题后反思】通过去分母等手段进行公式变形，适当进行角的变换，最终求得结果． 【举一反三】 3． 设，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题给条件和同角三角函数基本关系、两角差的正弦公式及诱导公式可得，再讨论及的范围，即可得解. 【详解】因为，所以，即， 即． 因为，，所以，， 则，即， 故选：C． 灵活应用四 两角和与差的综合用 典例4  已知为锐角，且，，则的最小值为（ ） A．    B．    C．    D． 【详细解析】由可得， 即， 因此 即可得， 令，则， 令，则， 由可得， 因此可知当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 因此可得当时，取得极小值，也是最小值， 即， 因此的最小值为. 故选：C 【题后反思】本题关键在于利用三角恒等变换以及二倍角公式得出关于的表达式，再通过构造函数并利用导数得出其单调性，即可求得最小值. 【举一反三】 4． 在中，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】依题意，，化简得，令，则，构造函数，借助导数求出最大值，进而得到答案. 【详解】因为，即，即， 即，即， 两边同时除以，得， 即， 令，，则， 则， 令，则， 令，则或， 当时，，所以在上单调递增， 当或时，，所以在上单调递减， 所以当时，，当时，， 所以的最大值为, 故答案为：. （公式正用） 5． 已知角α的终边经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的定义，结合和角的正弦公式计算得解. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： （公式逆用） 6． （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式可得，再结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为， 所以原式 . 故选：C. （公式灵活用） 7． 已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角和差余弦公式结合同角三角函数关系计算求解. 【详解】已知，， 所以，， 所以 . 故选：B. （公式灵活用） 8． 已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件，结合两角差正切公式可得，结合消去可求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 由，可得， 所以 所以， 所以， 故选：C. （公式逆用） 9． 若 ，且 ，则下列结论正确的是（ ） A． B． B． D． 【答案】D 【分析】先利用倍角公式以及两角和差公式化简得出，再结合，即可得出. 【详解】由 ，可得 ， 因为，所以 ，则 ， 所以 ， 所以 ， 因为，所以 ，且， 所以 ，即 ，故 . 故选：D. （公式灵活用） 10． 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用两角和与差的正弦公式，结合已知条件即可求解. 【详解】 ，即 故选：D. （公式正用） 11． 若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角的三角函数关系结合已知建立方程，解出的正余弦，再由两角和的正弦公式求解即可. 【详解】，即， 整理可得， 因为，，所以， 所以. 故选：A （公式正用） 12． 已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和与差的正弦余弦公式将展开，两边同时除以，再利用两角差的正切公式计算即可. 【详解】， ， 两边同时除以， ， ， ， ，解得，. 故选：C （公式综合用） 13． 已知，，且满足，则最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知得出，化简得出，结合基本不等式可求出的最小值. 【详解】因为，，所以，，，， 因为， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时，即， 因为，，则，即，则， 此时， 因为，所以，则或， 故当或时，等号成立， 因此，最小值为. 故选：D. （公式综合用） 14． 在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换可得，结合三角形形状可得，将所求表达式化简并利用对勾函数性质计算可得结果. 【详解】依题意，由正弦定理可得，即； 所以， 又因为为锐角三角形，所以，即， 又，且， 可得，； 易知 ； 显然，由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以可得. 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$