专题1.2 全等三角形（高效培优讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题1.2 全等三角形 教学目标 1.能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边和对应角； 2.熟练运用全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质解决几何问题； 3.理解全等三角形的对应高、中线、角平分线相等（‌延伸），且周长和面积相等； 4.通过平移、翻折、旋转等变换，理解全等三角形性质与图形位置变化的关系。 教学重难点 1.重点 （1）全等三角形的‌对应关系的理解； （2）对全等三角形‌基本性质的灵活运用。 2.难点 （1）能规范书写几何证明过程，用数学语言表述全等性质与结论的逻辑关系； （2）从实际问题中抽象出全等三角形模型，分析性质的应用价值。 知识点01 全等三角形概念 1、全等图形：能够完全 的两个图形（即形状、大小相同的图形）叫做全等图形。 2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫 。 注意：一个图形经过 、 、 后，位置变化了，但 、 都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 【即学即练】 1．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）下列各组图形中，是全等形的是（   ） A． B．C． D． 2．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 3．（24-25八年级上·天津河西·期中）下列说法正确的是（  ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形 知识点02 全等三角形的性质 1. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫 ，重合的边叫 ，重合的角叫 。 注意：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。 如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2、全等三角形的性质 全等三角形的 相等；全等三角形的 相等； 拓展：全等三角形对应边上的高 ，对应边上的中线 ，对应边上的角平分线 ；全等三角的周长 ，面积 。全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具。 【即学即练】 1．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 2．（24-25八年级上·山东聊城·开学考试）已知A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为： ． 3．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）下列说法中不正确的是（   ） A．全等三角形的周长相等 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形一定是等边三角形 D．全等三角形的对应角相等 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，点B、C、D在同一直线上，若，则 ． 5．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，点在上，与相交于点，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 题型01 全等图形的概念 【典例1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）下图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”，它的座右铭是“独行快，众行远”，下列与该图片是全等的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024八年级上·江苏·专题练习）下列图案中，属于全等形的是（ ） A． B． C． D． 题型02 将已知图形分割成几个全等图形 【典例1】（2025七年级下·重庆·专题练习）手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试． 【变式1】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）利用无刻度的直尺画图： (1)将图1中的长方形分割成4个全等图形；(2)将图2中的直角三角形分割成4个全等三角形；    【变式2】（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）：    【变式3】（23-24八年级·江苏·假期作业）在3×3的方格纸中，试用格点连线将方格纸分割成两个大小、形状都相同的多边形．试画出四种不同的分割方法：    题型03 全等三角形的对应元素的判断 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）等。 【典例1】（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图所示，，C，D是对应点，下列结论错误的是（　　） A．与是对应角 B．与是对应角C．与是对应边 D．与是对应边 【变式1】（24-25八年级上·广西崇左·阶段练习）如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·成都·随堂练习）如图，已知，试找出对应边，对应角． 题型04 全等三角形的概念与性质 【典例1】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法中，正确的有(　　) ①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）下列说法正确的是（　　） A．两个等边三角形全等 B．三角形的三条高都在三角形内部 C．全等三角形的中线相等 D．全等三角形的对应高相等 【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 题型05 全等三角形的性质-动点问题 【典例1】（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与全等，则t的值为 ． 【变式1】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知．点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．若运动过程中存在与全等，则点的运动速度为每秒 个单位长度． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为 米． 题型06 运用全等三角形的性质求角度 【典例1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为 ． 【变式3】（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图已知点在上， 点在上，．若， 则（     ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，，点D在边上．若，，则 °． 题型07 运用全等三角形的性质求长度 【典例1】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，点，在线段上，，若，，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【变式1】（24-25八年级上·重庆万州·期末）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为 ． 【变式3】（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，四边形中，、、、．若四边形四边形，则 ． 【变式4】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，，若，则等于（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 题型08 运用全等三角形的性质作多结论判断 【典例1】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，，是中，上的点，，，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，，三点共线，则下列结论中：①； ②；③；④；正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2025·天津西青·一模）如图，在中，，把绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 题型09 运用全等三角形的性质证明 【典例1】（2025七年级下·成都·专题练习）如图，A，D，E三点在同一直线上，且． (1)求证：；(2)请你猜想满足什么条件时，． 【变式1】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点．(1)试说明：． (2)若，，求的长． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·课后作业）如图，，点E在边上，与交于点F．(1)试说明：；(2)，求的度数． 【变式3】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图：在中，、分别是、两边上的高． (1)求证：；(2)当时，与的位置关系如何，请说明理由． 题型10 运用全等三角形的性质探究边角关系 【典例1】（24-25八年级上·河南焦作·阶段练习）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE． (1)线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由． (2)请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明． 【变式1】（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级下·广东·专题练习）如图，已知，，与交于点，试探究与有怎样的大小关系和位置关系，并说明理由． 【变式3】（24-25七年级下·河北·阶段练习）如图所示，已知于点，． (1)若，，求的长．(2)试判断和的关系，并说明理由    【变式4】（24-25七年级下·成都·期中）如图所示，已知于D． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)已知，求的长． 1．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A．B．C．D． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期中）下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个三角形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 3．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   4．（23-24八年级上·山东滨州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）         ①全等三角形的对应边相等，对应角相等；②全等三角形的周长相等，面积相等； ③面积相等的三角形全等；④周长相等的三角形全等 A．②③ B．③④ C．①② D．①②③ 5．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（    ）． A． B． C． D．以上都有可能 6．（24-25七年级下·浙江·期中）如图所示的网格中，每个小正方形的边长都相等，若，则点可能是图中的（   ） A．点A B．点B C．点 D．点 7．（2025·山东淄博·一模）如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）4月6日，以“筝春色，享春趣”为主题的2025龙亭风筝大赛在开封龙亭公园举行，吸引了无数游客与风筝爱好者共赴这场春日盛宴．如图是小雪制作的风筝模型，已知，且，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 9．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，，，且，，三点在一条直线上，，，，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2025七年级下·广东·专题练习）如图，已知图中两个三角形全等，则与的和为（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 12．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，，，三点共线，则下列结论中：①； ②；③；④；正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图所示，，下列四个结论中，不正确的是（   ） A． B．，且 C．和的面积相等 D．和的周长相等 14．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 15．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1C1B1是全等（合同）三角形，且点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图①所示）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图②所示），两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个进行翻折． 下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（　　） A． B． C． D． 16．（2025·四川成都·二模）如图，，，点在边上，则的度数为 ． 17．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数等于 ． 18．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，若的面积为，的面积为2，则的面积为 ． 19．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图，在中，厘米，厘米，且，点D为的中点．如果点P在线段上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点在线段上由C点向A点运动．若点的运动速度为4厘米/秒，则当与全等时，v的值为 ． 20．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形． 21．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，连接，与交于点，，，．(1)求的度数；(2)求的度数． 22．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，，且点B，D，C在一条直线上，点F在上，延长交于点E．(1)试说明：．(2)若，，求的长． 23．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且．(1)求证：是等腰直角三角形；(2)若，，求四边形的面积． 24．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，A，E，C三点在同一直线上，且． (1)求证：；(2)猜想：当满足什么条件时？并证明你的猜想．    2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 全等三角形 教学目标 1.能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边和对应角； 2.熟练运用全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质解决几何问题； 3.理解全等三角形的对应高、中线、角平分线相等（‌延伸），且周长和面积相等； 4.通过平移、翻折、旋转等变换，理解全等三角形性质与图形位置变化的关系。 教学重难点 1.重点 （1）全等三角形的‌对应关系的理解； （2）对全等三角形‌基本性质的灵活运用。 2.难点 （1）能规范书写几何证明过程，用数学语言表述全等性质与结论的逻辑关系； （2）从实际问题中抽象出全等三角形模型，分析性质的应用价值。 知识点01 全等三角形概念 1、全等图形：能够完全 重合 的两个图形（即形状、大小相同的图形）叫做全等图形。 2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形 。 注意：一个图形经过 平移 、 翻折 、 旋转 后，位置变化了，但 形状 、 大小 都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 【即学即练】 1．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）下列各组图形中，是全等形的是（   ） A． B．C． D． 【答案】A 【详解】观察发现：B，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形； A选项中两个图形能完全重合，是全等形，故选：A． 2．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【答案】D 【详解】解：两个面积相等的图形，不一定是全等图形，A错误，故不符合要求； 若两个图形周长相等，则它们不一定是全等图形，B错误，故不符合要求； 两个等边三角形不一定是全等图形，C错误，故不符合要求； 能够完全重合的两个图形是全等图形，D正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 3．（24-25八年级上·天津河西·期中）下列说法正确的是（  ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形 【答案】D 【详解】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； D、边长为的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意；故选：D． 知识点02 全等三角形的性质 1. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫 对应顶点 ，重合的边叫 对应边 ，重合的角叫 对应角 。 注意：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。 如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2、全等三角形的性质 全等三角形的 对应边 相等；全等三角形的 对应角 相等； 拓展：全等三角形对应边上的高 相等 ，对应边上的中线 相等 ，对应边上的角平分线 相等 ；全等三角的周长 相等 ，面积 相等 。全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具。 【即学即练】 1．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【详解】解：由得：①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意；③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意；故正确的有②③，故选：B． 2．（24-25八年级上·山东聊城·开学考试）已知A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为： ． 【答案】 【详解】解：A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）下列说法中不正确的是（   ） A．全等三角形的周长相等 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形一定是等边三角形 D．全等三角形的对应角相等 【答案】C 【详解】解：A、全等三角形的周长相等，正确，不符合题意； B、全等三角形的面积相等，正确，不符合题意； C、全等三角形不一定是等边三角形，原说法错误，符合题意； D、全等三角形的对应角相等，正确，不符合题意；故选C． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，点B、C、D在同一直线上，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，， ∴，∴，故答案为：． 5．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，点在上，与相交于点，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ，， ，， ，，故选：A． 题型01 全等图形的概念 【典例1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）下图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”，它的座右铭是“独行快，众行远”，下列与该图片是全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得，与题中图片形状、大小都相同的全等图形的是D，故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意； D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；故选：C． 【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； C、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；故选：B． 【变式3】（2024八年级上·江苏·专题练习）下列图案中，属于全等形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察各选项：只有选项中的两个图案能够完全重合，选项、、中的两个图案不能够完全重合；故选：A． 题型02 将已知图形分割成几个全等图形 【典例1】（2025七年级下·重庆·专题练习）手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试． 【答案】见详解 【详解】解：先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，可以分别得出下图所示的四种分法： 【变式1】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）利用无刻度的直尺画图：    (1)将图1中的长方形分割成4个全等图形；(2)将图2中的直角三角形分割成4个全等三角形； 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图1所示为所求：       （2）解：如图2所示为所求： 【变式2】（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）：    【答案】见解析 【详解】解：如图所示：    【变式3】（23-24八年级·江苏·假期作业）在3×3的方格纸中，试用格点连线将方格纸分割成两个大小、形状都相同的多边形．试画出四种不同的分割方法：    【答案】见解析 【详解】解：如图：    题型03 全等三角形的对应元素的判断 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）等。 【典例1】（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图所示，，C，D是对应点，下列结论错误的是（　　） A．与是对应角 B．与是对应角C．与是对应边 D．与是对应边 【答案】C 【详解】解：∵，∴，，， ∴选项正确，不符合题意，故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·广西崇左·阶段练习）如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察图形可知：，，∴和是对应边， 而显然和是两个三角形中最短的边，是对应边， ∴边的对应边为．故选D． 【变式2】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴的对应角是，故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·成都·随堂练习）如图，已知，试找出对应边，对应角． 【答案】见解析 【详解】解：对应边是与，与，与． 对应角是与，与，与． 题型04 全等三角形的概念与性质 【典例1】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法中，正确的有(　　) ①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法错误；全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确； 若，的对应角为，所以，故④说法正确； 说法正确的有③④，共2个．故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）下列说法正确的是（　　） A．两个等边三角形全等 B．三角形的三条高都在三角形内部 C．全等三角形的中线相等 D．全等三角形的对应高相等 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高、全等三角形的中线和三角形的外角，根据以上定义逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； 、三角形的三条高可能在三角形的内部、外部或边上，该选项说法错误，不合题意； 、全等三角形的对应中线相等，该选项说法错误，不合题意； 、全等三角形的对应高相等，是真命题，符合题意；故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等 C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】B 【详解】解：A、形状相同的两个图形不一定全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意；B、完全重合的两个图形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个图形全等，说法错误，不符合题意； D、所有的等边三角形全等，说法错误，不符合题意．故选：B． 题型05 全等三角形的性质-动点问题 【典例1】（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与全等，则t的值为 ． 【答案】或或 【详解】解：∵，∵， ∴当时，，， ∴点重合，点在点右侧，此时，，∴，解得：； 当时，， 当点在点左侧时，此时，，∴，解得：； 当点在点右侧时，此时，，∴，解得：； 综上：则t的值为或或时，与以点，，为顶点的三角形全等，故答案为：或或． 【变式1】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，， 设能够使与全等的时间为，则，，， 分两种情况考虑：①时，，即，解得， 此时，时能够使与全等； ②，，即，解得， 此时，，即，与矛盾（舍去）； 综上，能够使与全等的时间为．故选：． 【变式2】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知．点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．若运动过程中存在与全等，则点的运动速度为每秒 个单位长度． 【答案】1或 【详解】解：设运动时间为t，由题意知，， 与全等，，∴分两种情况求解： ①当时，，即，解得； ②当时，，即,解得， ，即6，解得；综上所述，x的值是1或，故答案为：1或． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为 米． 【答案】或/24或45 【详解】解：根据题意，设运动时间为，则，， ①点是中点，时，，， ∵，∴，∴，∴； ②时，，，∴，即，解得，， ∴；综上所述，线段的长度为或，故答案为：或． 题型06 运用全等三角形的性质求角度 【典例1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，，， ，故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，已知，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∴，∴．故选B． 【变式2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴．故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图已知点在上， 点在上，．若， 则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，，，，， ，， 在中，由三角形内角和定理可得， ，， ∴，， ∴．故选：A． 【变式4】（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，，点D在边上．若，，则 °． 【答案】80 【详解】解：∵，，，∴， ∵，∴，故答案为：80 题型07 运用全等三角形的性质求长度 【典例1】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，点，在线段上，，若，，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【答案】B 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴，故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·重庆万州·期末）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【详解】∵，∴，， ∵，∴，∴．故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∴，∴， ∵的面积比的面积大25，∴， 设点P到线段和线段的距离分别为，连接， ∵，∴，∴， ∴点到线段和线段的距离之和为，故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，四边形中，、、、．若四边形四边形，则 ． 【答案】4 【详解】解：∵四边形四边形，∴， 又∵，∴，故答案为：． 【变式4】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，，若，则等于（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，∴，故选：C 题型08 运用全等三角形的性质作多结论判断 【典例1】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，，是中，上的点，，，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：，，，，，故①④正确； ，，，，， ，故②③正确； 综上，正确的有①②③④，共个，故选：A． 【变式1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，，三点共线，则下列结论中：①； ②；③；④；正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】延长交于H，延长交于F，    ∵，∴∴， ∴， ∴故①②正确，∴，故③是错误的， ∵， ∴，故④是正确的，故选：C． 【变式2】（2025·天津西青·一模）如图，在中，，把绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由已知得：，则， ∵，并没有必然的相等关系，找不到能证明两边相等的依据，∴故A错误； ∵绕点顺时针旋转得到，， 但与并没有必然的相等关系，找不到能证明两角相等的依据，∴故B错误； 由已知得：，则，，∴，故C错误； ∵，∴．又∵，∴， ∴，∴，故D正确．故选：D． 题型09 运用全等三角形的性质证明 【典例1】（2025七年级下·成都·专题练习）如图，A，D，E三点在同一直线上，且． (1)求证：；(2)请你猜想满足什么条件时，． 【答案】(1)见解析(2)满足时，． 【详解】（1）证明：∵，∴，， ∵A，D，E三点在同一直线上，∴，∴； （2）解：当时，， ∵，∴，∴∴． 【变式1】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点．(1)试说明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：∵，∴，． ∵点，，在一条直线上，∴． ∴．∴．∴．∴．∴． （2）解：∵，，∴，，又， ∴．∴．∴的长为7． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·课后作业）如图，，点E在边上，与交于点F． (1)试说明：；(2)，求的度数． 【答案】(1)怎么见解析(2) 【详解】（1）∵，∴， ∴，即． （2）∵，∴． ∵，∴． 【变式3】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图：在中，、分别是、两边上的高． (1)求证：；(2)当时，与的位置关系如何，请说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见详解 【详解】（1）解：∵、分别是、两边上的高．∴， ∵，∴∴； （2）解：，理由如下：∵，∴， ∵是两边上的高．∴，∴， 即，∴，∴． 题型10 运用全等三角形的性质探究边角关系 【典例1】（24-25八年级上·河南焦作·阶段练习）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE． (1)线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由． (2)请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明． 【答案】(1)DE＝CE+BC，理由见解析(2)当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．证明见详解 【详解】（1）解：DE＝CE+BC． 理由：∵△ABC≌△DAE，∴AE＝BC，DE＝AC． ∵A，E，C三点在同一直线上，∴AC＝AE+CE，∴DE＝CE+BC． （2）猜想：当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC． 证明：∵△ABC≌△DAE，∴∠AED＝∠C， 又∵DEBC，∴∠C＝∠DEC，∴∠AED＝∠DEC． 又∵∠AED+∠DEC＝180°，∴∠AED＝∠DEC＝90°， ∴当△ADE满足∠AED＝90°时，DEBC． 【变式1】（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴，， ∴，∴， ∵，∴，∴，整理得，故选：B． 【变式2】（2025七年级下·广东·专题练习）如图，已知，，与交于点，试探究与有怎样的大小关系和位置关系，并说明理由． 【答案】且，理由见详解 【详解】解：且，理由如下： ，，设与交于点， ，，，， ，，即． 【变式3】（24-25七年级下·河北·阶段练习）如图所示，已知于点，．    (1)若，，求的长．(2)试判断和的关系，并说明理由 【答案】(1)3(2)，，理由见解析 【详解】（1）解：∵，∴， ， ∵，，∴，∴； （2）∵∴，， ∵，∴ ∴∴，且． 【变式4】（24-25七年级下·成都·期中）如图所示，已知于D． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)已知，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)3 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，∴，∵，∴， 又∵，， ∴，即。 （2）解：∵，∴，， ∵，，∴， ∴，∴． 1．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意； B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意； C、两个图形能完全重合，是全等图形，故本选项符合题意； D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；故选：C． 2．（23-24七年级下·广东深圳·期中）下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个三角形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 【答案】C 【详解】解：A、形状相等的两个图形不一定全等，可能图形的大小不同，本选项说法错误； B、两个三角形不一定全等，三角形的形状和大小不能确定，本选项说法错误； C、两个全等的图形面积是一定相等的，本选项说法正确； D、两个正方形不一定全等，因为两个正方形的边长可能不等，本选项说法错误；故选：C． 3．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   【答案】B 【详解】解：∵，点C和点B是对应顶点，∴边的对应边是，故选：B． 4．（23-24八年级上·山东滨州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）         ①全等三角形的对应边相等，对应角相等；②全等三角形的周长相等，面积相等； ③面积相等的三角形全等；④周长相等的三角形全等 A．②③ B．③④ C．①② D．①②③ 【答案】C 【详解】解：①全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确； ②全等三角形的周长相等，面积相等，正确；③面积相等的三角形形状不一定相同，故错误； ④周长相等的三角形形状不一定相同，故错误．所以①②正确，故选：C． 5．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（    ）． A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【详解】解：由图可知：是边长为的边的一个邻角，∵两个三角形全等，∴；故选A． 6．（24-25七年级下·浙江·期中）如图所示的网格中，每个小正方形的边长都相等，若，则点可能是图中的（   ） A．点A B．点B C．点 D．点 【答案】D 【详解】解：∵，∴因点M、P在方格正方形的两个对角顶点上，故点M、Q也应在方格正方形的两个对角顶点上．所以点Q是图中点D的位置，如下图：故选：D． ， 7．（2025·山东淄博·一模）如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∴，故选：C． 8．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）4月6日，以“筝春色，享春趣”为主题的2025龙亭风筝大赛在开封龙亭公园举行，吸引了无数游客与风筝爱好者共赴这场春日盛宴．如图是小雪制作的风筝模型，已知，且，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【详解】解∶∵，，∴，， ∵，∴，故选∶D． 9．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，，，且，，三点在一条直线上，，，，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ，，，，故选项C正确，不符合题意； ，；故选项A正确，不符合题意； ，， 故选项D错误，符合题意；故选项B正确，不符合题意；故选：D． 10．（2025七年级下·广东·专题练习）如图，已知图中两个三角形全等，则与的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：图中两个三角形全等，，，．故选：C． 11．（23-24八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成，∴．故选：B． 12．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，，，三点共线，则下列结论中：①； ②；③；④；正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】延长交于H，延长交于F，    ∵，∴ ∴， ∴，∴故①②正确， ∴，故③是错误的， ∵，∴，故④是正确的，故选：C． 13．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图所示，，下列四个结论中，不正确的是（   ） A． B．，且 C．和的面积相等 D．和的周长相等 【答案】A 【详解】解：∵，∴，， ∴，，故选项A不正确，符合题意； ，和的周长相等，和的面积相等，故选项B、C、D正确，不符合题意；故选：A． 14．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 【答案】D 【详解】解：根据题意，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…第个图中，有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形．故选：D． 15．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1C1B1是全等（合同）三角形，且点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图①所示）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图②所示），两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个进行翻折． 下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据真正合同三角形的定义可知，选项A，C，D是真正合同三角形，选项B是镜面合同三角形， 故选：B． 16．（2025·四川成都·二模）如图，，，点在边上，则的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：∵，，∴∴， ∴，故答案为：． 17．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数等于 ． 【答案】/度 【详解】解：∵∴， ∴ 由题意可得，， 又∵∴故答案为； 18．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，若的面积为，的面积为2，则的面积为 ． 【答案】7 【详解】解：∵，∴，， ∴，∴，故答案为：． 19．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图，在中，厘米，厘米，且，点D为的中点．如果点P在线段上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点在线段上由C点向A点运动．若点的运动速度为4厘米/秒，则当与全等时，v的值为 ． 【答案】3或4 【详解】解：中，厘米，点为的中点，厘米， 若，则需厘米，（厘米）， 点的运动速度为4厘米秒，点的运动时间为：，（厘米秒）； 若，则需厘米，，，解得：； 的值为3或4．故答案为：3或4． 20．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形． 【答案】见解析 【详解】解：分割线如图所示： 21．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，连接，与交于点，，，．(1)求的度数；(2)求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，∴， ∴，∴，∵，∴． （2）解：∵，，，∴，， ∵，∴， ∴，由（1）已得：， ∴． 22．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，，且点B，D，C在一条直线上，点F在上，延长交于点E．(1)试说明：．(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，∴，， ∵点B，D，C在一条直线上，∴， ∵，∴，∴； （2）解：∵，∴，， ∵，∴，∴． 23．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且．(1)求证：是等腰直角三角形；(2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析(2)6 【详解】（1）证明：，，， ，，是等腰直角三角形； （2）解：，，， ，，四边形的面积． 24．（23-24八年级上·山东济宁·期中）如图，A，E，C三点在同一直线上，且．    (1)求证：；(2)猜想：当满足什么条件时？并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析(2)当中时，． 【详解】（1）解：∵，∴，，∴； （2）解：猜想，时，，∵，∴， ∵，∴，∴， 又，∴，∴当是直角三角形时，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$