专题5.5 一次函数与二元一次方程（高效培优讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题5.5 一次函数与二元一次方程 教学目标 1.‌理解函数与方程的关系‌：掌握一次函数图像与二元一次方程解之间的对应关系，即一次函数图像上的点坐标均为对应二元一次方程的解，反之亦然； 2.‌掌握转化方法‌：能将二元一次方程（如 2x-y-3=0）转化为一次函数形式（如 y=2x-3），并反之； 3.‌应用数形结合思想‌：通过图像法求二元一次方程组的解，理解交点坐标与方程组解的对应关系； 4.‌解决实际问题‌：综合运用函数、方程等知识解决行程问题等实际应用。 教学重难点 1.重点 （1）一次函数与二元一次方程的互化及对应关系‌； （2）利用函数图像求方程组的解（如通过交点坐标确定解）。 2.难点 （1）数形结合思想的深入理解，尤其是从代数式到几何图像的抽象过程； （2）综合运用方程、函数知识解决复杂实际问题（如动态行程问题）。 知识点01 一次函数与二元一次方程组 1．一次函数与二元一次方程组 一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。（如图1） 图1 图2 图3 2．一次函数与一元一次方程 直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标a，所以对应方程kx+b=0的解为x=a。（如图2） 3．一次函数与一元一次不等式 当k>0时，要求一元一次不等式kx+b>0的解集，从y=kx+b的图象上可以看出是图象位于横轴上方的部分对应的x，所以其解集是x>a；反之，kx+b<0的解集是x<a。（如图2） 当k<0时，要求一元一次不等式kx+b>0的解集，从y=kx+b的图象上可以看出是图象位于横轴上方的部分对应的x，所以其解集是x<a；反之，kx+b<0的解集是x>a。（如图3） 【即学即练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点， ，∴，∴ 则关于、的方程组的解为．故选：B． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）直线过原点和点，直线过点和点，则直线和的交点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：假设的解析式为，将代入得，，解得，∴； 假设的解析式为，将点和点代入得， ，解得，∴，联立，解得， 所以，交点的坐标为，故答案为：． 3．（24-25八年级下·天津南开·期末）如图，一次函数与（均为常数，且）的图象相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，有如下结论：①方程组的解为；②不等式的解集为， ③当时，；④关于的方程的解为．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：由图象可得方程组的解为， 即方程组的解为， 故①符合题意； 由图象可得不等式的解集为，故②符合题意； 由图可知，一次函数的图象与轴的交点在，可知当时，，故③符合题意； 由函数图象可知，一次函数与轴交于， 方程的解为，故④符合题意； 综上：符合题意的有①②③④，共4个．故选：D． 题型01 一次函数与一次方程的解 【典例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若一次函数的图象经过两点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：由图象可知一次函数与x轴的交点坐标为， ∴关于x的方程的解为；故答案为． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线经过点，则方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，∴当时，， ∴关于x的一元一次方程的解为．故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，点是一次函数图象上的一点，则方程的解是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，当时，，∴方程的解是．故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，直线是一次函数的图象，点，在直线上．请根据图象写出方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程．运用图象法即可解答问题． 【详解】解：由图可知：函数图象与直线交于点， 所以，即为方程的解，故答案为：． 题型02 一次函数与二元一次方程组的解 【典例1】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线与的图象交于，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一次函数与的图象交于， ∴一次函数与的图象向下平移1个单位长度得到函数的解析式为，， 则一次函数与的图象的交点也相应的向下平移一个单位长度为， ∴关于x，y的方程组的解为，故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，直线与直线交于点，那么关于x，y的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：直线与直线交于点 关于的二元一次方程组的解就是点坐标 方程组的解为，故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图所示，直线与分别是二元一次方程和在平面直角坐标系中的图像，求此方程组的解为 ． 【答案】 【详解】解：由图像得 此方程组的解为，故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·广西崇左·阶段练习）直线 和直线的图象交于点M．点M坐标为： ． 【答案】 【详解】解：解方程组，得，∴交点M坐标为，故答案为：． 【变式4】（25-26八年级上·全国·课后作业）以方程和的解为坐标的点一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：联立，解得，， A、当在第一象限，则，解得，存在这样的使在第一象限，不符合题意； B、当在第二象限，则，解得，存在这样的使在第二象限，不符合题意； C、当在第三象限，则，不等式组无解，不存在这样的使在第三象限，符合题意； D、当在第四象限，则，解得，存在这样的使在第四象限，不符合题意；故选：C． 【变式5】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）通过课本数学活动--二元一次方程的“图象”的探究，我们学习到：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是直线，根据以上信息，解决如下问题：在平面直角坐标系中，关于的二元一次方程的图象和关于的二元一次方程的图象的交点坐标为，则关于的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，方程组的解为：， ∵，∴， ∴的解为：，∴；故选B． 题型03 一次函数与不等式 【典例1】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察图象知，不等式的解集为，故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 【答案】C 【详解】解：由函数的图像可知， 当时，，故A选项错误，不符合题意； 方程的解是，故B选项错误，不符合题意； 当时，，故C正确，符合题意； 不等式的解集是，故D错误，不符合题意．故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数（是常数且）的图象交轴、轴分别于点、，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】B 【详解】解：A、由图象可知，一次函数的图象交轴于点，则方程的解是，原结论错误，不符合题意； B、由图象可知，一次函数的图象交轴于点，则方程的解是，原结论正确，符合题意； C、根据图象可知，不等式的解集是，而当时，不等式的解必为小于0的数，故原结论错误，不符合题意； D、由图象可知，当时，一次函数图象在直线的上方，则不等式的解集是，原结论错误，不符合题意；故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·广西崇左·阶段练习）画出函数的图像，并结合图像求： (1)方程的解；(2)不等式的解集；(3)不等式组的解集． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：列表： x 0 3 0 描点并连线： 由图像可得，一次函数的图像与x轴的交点为，∴方程的解为． （2）解：由图像可得，不等式的解集为． （3）解：当时，，解得，当时，，解得， 由图像可得，不等式的解集为． 【变式4】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）画出一次函数数的图象，并利用图像完成下列问题： (1)方程的解是________；(2)当________时，；当时，相应的取值范围是________． 【答案】(1)(2)； 【详解】（1）解：列表如下： x ⋯⋯ 2 0 ⋯⋯ y ⋯⋯ 0 4 ⋯⋯ 描点，连线得， 由图象可得时，，所以方程的解是；故答案为：； （2）解：由图象可得时，，由图象可得当时，．故答案为：；． 题型04 一次函数与函数大小比较 【典例1】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线与直线相交于点，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵过点，∴，解得，∴， 由图可得，当时，，故选A． 【变式1】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察图象得：当时，正比例函数的图象在一次函数的图象的下方， ∴关于的不等式的解集是．故选：A 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，直线相交于点与轴分别交于点和，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：直线相交于点与轴交于点， 根据函数图象可得当时，自变量的取值范围是故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可知，一次函数和的交点坐标为， 当时，图象在下方，则关于x的不等式的解集是，故选：A． 【变式4】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标；(2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入，得，解得：， 把代入，得，解得：，∴直线：， 当时，则 ，解出，∴； （2）∵直线：，，∴当时，x的取值范围是； （3），即， 根据图象，此时的不等式的解集为． 题型05 一次函数与方程、不等式综合 【典例1】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数与的图象如下图所示，其交点的坐标为，直线与轴的交点坐标为，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程组的解是 C．关于的不等式的解集是 D．的解集为 【答案】C 【详解】解：∵直线与轴的交点坐标为， ∴当时，，∴方程的解是，故A选项错误； ∵一次函数与的图象交于点， ∴方程组的解是，故B选项错误； 观察图象得：当时，一次函数的图象在的图象的上方， ∴关于的不等式的解集是，故C选项正确； 观察图象得：当时，函数的图象在x轴的上方， ∴的解集为．故D选项错误．故选：C 【变式1】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）一次函数和在同一坐标系中的图像如图所示，则下列结论：①它们的交点在直线上；②；③不等式的解集为； ④它们与x轴围成的三角形的面积为．其中，正确的序号是 ．     A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【详解】一次函数和交于一点， ，解得：，①正确； 一次函数和交点在第一象限，且交点横坐标为1， 把代入得：故②正确； 函数图象它们的交点在直线上，有函数图象可知的解集为，故③正确； 把代入得：，当代入得：，当代入得：， 与x轴围成的三角形的面积为：，故④错误； 综上所述：正确的有①②③；故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，一次函数和图象的交点坐标为，其中，均为常数，且．点，分别在函数和的图象上，且，在下列结论中： ①；②；③；④原点到直线的距离为． 正确的是 ． 【答案】①④ 【详解】解：∵一次函数和图象的交点坐标为， 联立解得：∴ ∵∴∴，故①正确； ∵，，为常数，的符号不确定，∴不一定成立，故②错误； ③点，分别在函数和的图象上， ∴，∴，故③错误； ④设与轴的交点分别为， 当时，，当时，∴， ∴∴ 设原点到直线的距离为， ∴，故④正确 故答案为：①④． 【变式3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知直线过点﹒则以下结论：①；②若当时，，则；③方程组的解为；④若直线向右平移2个单位后过点，且不等式的解集为，则，其中正确的有 ．（请填写序号） 【答案】①④ 【详解】解：直线过点， ，，故①正确，符合题意； 当时，， 随着的增大而减小，，，故②错误； 当时，方程组有无数个解，故③不正确； 将直线向右平移2个单位后解析式为：， 直线向右平移2个单位后过点，， ，不等式可变为：，整理得：， 不等式的解集为，，且， 解得：，故④正确；综上所述，正确的为：①④，故答案为：①④． 题型06 一次函数与面积综合问题 【典例1】（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． (1)若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案．方程的解是______．方程组的解是______．不等式的解集是______．不等式的解集是______． (2)若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； (3)在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 【答案】(1)；；；；(2)； (3)或或或． 【详解】（1）解：∵直线与轴的交点为， ∴方程的解为，故答案为：； ∵直线与直线的交点为， ∴方程组的解为，故答案为：； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解集是，故答案为：； 由函数图象可得，当时，， ∴不等式的解集是，故答案为：； （2）解：把代入得，，解得， ∴直线的函数解析式为， 由得，，∴，∴； （3）解：设点的坐标为∵，∴， 当点为顶点时，，∴，∴或， ∴点的坐标为或； 当点为顶点时，，∴点的坐标为； 当点为顶点时，则，∴，解得，∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 【变式1】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ；（2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【答案】 10 1或 【详解】（1）解：联立，解得：，所以， 令，则0，解得，所以，所以的面积是； （2）因为点在直线上，所以，所以， 因为的面积是面积的，所以的面积是， 设，因为，所以 ． 因为，即，则或， 当时，解得，所以；当时，解得，所以． 当时，得出，解得； 当时，得出，解得；所以的值为1或，故答案为：10；1或． 【变式2】（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，已知直线 与x轴、y轴的交点分别为A、B，请在图中作出直线 ．(1)直接写出二元一次方程组 的解______； (2)直线 上是否存在点 C，使 与 的面积相等，若存在，求出C 点坐标；否则，说明理由． 【答案】(1)画图见解析，(2)或． 【详解】（1）解：列表如下： 描点连线如下： ∵方程组即方程组，∴由图象可得方程组的解为：； （2）∵，当，，当，则，∴， ∴，，∴， ∵在上，∴，∴， ∴，∴，∴或． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，直线：经过点，，且与轴交于点． (1)求直线的表达式；(2)直线与直线交于点，在同一直角坐标系中画出直线的图象，并根据图象，直接写出方程组的解为______；(3)直线与轴交于点，求两直线与坐标轴围成的四边形的面积． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）解：将，代入得 ，解得，直线的表达式为； （2）解：直线的图象如图所示： 由图象可知其交点坐标为， 方程组的解为，故答案为：； （3）解：设与轴交于点，令，解得，. 令，解得，，， . 【变式4】（24-25八年级上·江苏无锡·月考）已知如图：在平面直角坐标系中，有三点 、、 ，(1)如图1：当时，求证：；(2)如图2：将延长到D，如果D点坐标是，则 ， 此时如果 的面积等于12，则m 的值又是多少？ 【答案】(1)证明见解析(2)        的值是：或 【详解】（1）解：如图所示：过点C作交的角平分线于点M，与相交于E， ∵平分，，∴，，∴，∴， ∵，，，∴， ∴，∴设直线：，∵，， ∴，解得：，∴直线：， ， ， ∵，，∴同理可求出直线的解析式：， ∴联立：，解得：，∴， ∴，， ∴，从而：，∴； （2）∵由（1）可知直线解析式：，将代入得：， 如图所示：连接，∴， ∴，∴或． 【变式5】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，点，，且，满足，将直线沿轴向右平移个单位长度交轴于点，交轴于点． (1)求三角形的面积；(2)如图1，若，求的值；(3)如图2，当时，过点作轴的平行线交直线于点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿射线运动，设运动时间为秒，连接交轴于点，若三角形的面积不大于三角形的面积的一半，求的取值范围． 【答案】(1)6(2)(3) 【详解】（1）解：∵，满足， ∴，∴，， ∴，，∴，，∴， ∴；∴三角形的面积为6； （2）解：设直线解析式为， 把，代入得：，解得，∴直线解析式为， ∴将直线沿轴向右平移个单位长度后解析式为， 当时，，把代入得，解得； （3）解：∵，∴，， ∵，∴，∴， ∴，，， ∵三角形的面积不大于三角形的面积的一半，∴，解得， 当在左侧，且时，∵，∴， 由，得直线解析式为，令得， ∴；此时，∴（秒）； 当在右侧，且时，∵，∴， 由，得直线解析式为， 令得，∴；此时，∴（秒）； ∴三角形的面积不大于三角形的面积的一半，t的取值范围是． 题型07 一次函数与新定义、探究规律 【典例1】（24-25八年级下·重庆渝中·期末）定义：在同一平面直角坐标系中有三条直线，，，我们把在某一范围内位于另外两条直线之间的直线称为该范围的中位线，记作．如图，：，：，：，若，则，其表达式为．若，则x的取值范围是 ；若是过点且平行于轴的直线，与直线有4个交点，则b的取值范围是 ． 【答案】 或 【详解】解：，得，则；即直线，交于点； 又直线，交于点，所以若，则； 当时，，即交点为；同理交点为； 若，则对应线段（不包括两个端点），如图；此时； 若，则对应线段（不包括两个端点），如图；此时； 若，则对应射线与射线，如图；此时或； ∴的图象为射线，线段，线段及射线组成，但不包括A、M、B三点； 如图，与直线有4个交点， 当射线：与线段相交时，则交点数为4个； 当经过点B时，，则；当经过点M时，，则； 故当时有4个交点； 当射线：与线段相交时，则交点数为4个，如图； 当经过点A时，，则；当经过点M时，，则； 故当时有4个交点； 综上，与直线有4个交点，则b的取值范围为或． 故答案为：；或． 【变式1】（2025·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 ． 【答案】或 【详解】设点在直线上，其友好点也在直线l上， 设直线l的解析式为，将点和代入解析式得： ，解得，∴直线l的表达式为， 当时，，即直线l与y轴交点为， 当时， ，解得，即直线l与x轴交点为，∴，∴， ∴直线的表达式或．故答案为：或． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，……，依次进行下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，在直线上，∴在中，当时，，则， ∵在直线上，∴在中，当时，，则， 同理可得：，，，，，， ∴，，，（为自然数）， ∵，∴的坐标为，即，故选：D． 【变式3】（24-25八年级上江苏·期末）在平面直角坐标系中，解析式为的直线a，解析式为的直线b如图所示，直线a交y轴于点A，以为边作第一个等边三角形，过点B作y轴的平行线交直线a于点，以为边作第二个等边三角形顺次这样作下去，第2020个等边三角形的边长为（　　） A． B． C．4038 D．4040 【答案】A 【详解】解：如图，延长交轴于点， 当时，，∴，即第1个等边三角形的边长为； ∵是等边三角形，∴，∴， ∵轴，∴，∴，∴， 当时，，∴，∴，∴， 即第2个等边三角形的边长为2； 延长交轴于点，同理可得，即第3个等边三角形的边长为； 同理得，即第4个等边三角形的边长为； 可得第2020个等边三角形的边长为，故选：A． 1．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：根据题意，当时，，∴方程的解是．故选：B． 2．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图象可知，的解集为，在数轴上表示解集为： 故选B． 3．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线和交于P，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据图象可知，当时，x的取值范围是．故选：D． 4．（24-25八年级下·河北衡水·期末）在直线、直线与轴所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，则“美点”的个数为（   ） A．300 B．400 C．360 D．320 【答案】B 【详解】解：令，解得：，把代入得：， ∴两条直线的交点为， 把分别代入，得：，， ∴直线与直线与y轴的交点坐标分别为：，， ∴y轴上的“美点”有； 对于，当x为偶数时，为整数，当时，最大偶数为，因此在上有“美点”的个数为：（个）， 对于，当x整数时，为整数，当时，最大整数为，因此在上有“美点”的个数为：个，∴“美点”的个数为：（个）．故选：B． 5．（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知方程的解与下列选项中两个函数图象的交点相对应的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，解得：，∴两个函数图象的交点坐标为， ∴交点在第一象限且纵坐标大于横坐标，即A选项符合题意．故选A． 6．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·期末）关于一次函数与，下列说法： ①两函数的图象关于轴对称；②两函数的图象和轴围成的三角形的面积为24； ③函数（是常数，且）的图象一定过点．其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】一次函数与的图象如图所示， 由图象可得，两函数的图象关于轴对称，故①正确；的面积，故②错误； 函数 当时， ∴函数（是常数，且）的图象一定过点，故③正确． 综上所述，其中正确的个数是2个．故选：B． 7．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：把代入得：，∴， 联立，解得∴点的坐标为， 当直线经过点，则，解得， 当直线经过点，则，解得：， ∵直线与线段有交点，∴的取值范围为或．故选：D． 8．（24-25八年级上·江苏·专题练习）如图所示，直线与x轴交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：由图知：直线与轴交于点，即当时，； 因此关于的方程的解为：．故答案为：． 9．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于A，B两点，已知点的坐标为，点的坐标为，则当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，故答案为：． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知直线：经过，两点，直线． （1）若，则a的值为 ； （2）当时，总有，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：（1）∵直线经过，两点 ∴解得：∴：∵∴，故答案为：； （2）联立，解得，∴直线与直线的交点坐标为, ∵当时，总有，∴解得：．故答案为：． 11．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②；③不等式的解集是；④当时，． 其中正确的是 ．    【答案】②③④ 【详解】①由图象可知正比例函数的图象从左到右下降，根据正比例函数的性质，当时，图象从左到右下降，所以，故①错误； ②一次函数的图象与轴的交点在轴正半轴，根据一次函数的性质，当时，图象与轴交于正半轴，所以，故②正确； ③不等式的解集是就是正比例函数的图象在一次函数图象上方部分对应的的取值范围，由图象可知，此时，故③正确； ④当时，，，根据有理数乘法法则，异号得负，所以，故④正确； 故答案为：②③④． 12．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，函数和的图象相交于点． （1）不等式的解集为 ．（2）不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】解：（1）当时，， 由题图可知，当时，； （2）的图象经过点，∴， 当时，，即在函数的图象上 又∵在的图象上∴与相交于点 则函数图象如图， 则不等式的解集为．故答案为：；． 13．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，，，，点D为线段上的一个点，点E是线段上一点，若点C和点E关于所在直线对称，则D点的坐标为 ． 【答案】/ 【详解】解：在中，根据勾股定理，得， 点C和点E关于所在直线对称，是的垂直平分线， 又点E是线段（轴）上一点，，的中点坐标为， 设直线的解析式为，将的中点坐标和分别代入， 得到，解得，直线的解析式为． 设直线的解析式为，将，，分别代入， 得到，解得，直线的解析式为．联立直线与直线的解析式， 得到，解得．D点的坐标为．故答案为：． 14．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知一次函数    (1)补充完整下列表格，并画出这个函数的图象． x … 0 1 … … 0 … (2)结合函数图象，方程的解为______． (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)表格见解析，图见解析(2)(3) 【详解】（1）解：当时，； 当时，；当时，，解得：．列表如下： x … 0 1 … … 3 1 0 … 描点： ，， 连线，画出函数图象，如图所示．    （2）观察图象可知：当时，一次函数的图象与x轴相交， 方程的解是，故答案为：； （3）观察图象可知：当时， 15．（24-25八年级上·江苏南京·月考）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式，在下列坐标系中画出函数图像； (2)结合图像，写出当时自变量的取值范围：_____． 【答案】(1)，见解析(2) 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， ∵当时，，∴，∴，∴，即； 函数图象如下所示： （2）解：在中，当时，， ∵，∴y随x增大而减小，∴当时自变量的取值范围． 16．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象经过点． (1)求的值；(2)画出函数的图象；(3)结合图象，直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)(2)画图见解析(3) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点∴，∴； （2）解：∵，∴，当时，， ∴一次函数图象与轴的交点坐标为，过点和画函数图象如下： （3）解：由函数图象可知，当时，， ∴不等式组的解集为． 17.（25-26八年级上·广西崇左·月考）直线与x轴交于点A ，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，与直线 m 交于点 P ，若点P的横坐标为1 ． (1)求A，B两点的坐标；(2)直接写出方程组的解；(3)求a，b的值；(4)求的面积． 【答案】(1)，(2)(3)(4) 【详解】（1）解：对于直线， 当时，，解得；当时，，解得，∴，； （2）解：∵直线与直线 m 交于点 P ，若点P的横坐标为1， ∴将代入，则，解得，∴， ∴方程组的解为； （3）解：将，代入直线，则，解得； （4）解：∵，，，∴， ∴． 18．（24-25七年级下·重庆江北·期末）阅读以下材料，解决问题：我们知道，二元一次方程有无数组解，我们把一组解中x，y对应的数值看作一个有序数对．在平面坐标系中，标出以这个方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点，就会发现这些点在同一条直线上．例如：二元一次方程． 有无数组解，方程的解 对应点，对应点 ，同理得到点、我们把这些点用平滑的曲线连接正好是一条直线，如图所示．反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也对应方程的解，所以我们把这条直线就叫做方程的图象． 结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，任意一个二元一次方程的图象都是一条直线． (1)以下选项中在方程的图像上的点有________． ①    ②    ③    ④ (2)已知是关于、方程和图像的交点上，求的值． (3)已知无论为何值，关于、的二元一次方程的图象都经过某一定点，求这个点的坐标． 【答案】(1)①④(2)(3) 【详解】（1）解：①当时，则，，故在方程的图象上； ②当时，则，，故不在方程的图象上； ③当时，则，，故不在方程的图象上； ④当时，则，，故在方程的图象上； 在方程的图象上的点有①④．故答案为：①④； （2）由题意，是关于、方程和图象的交点上， ①，且②，得，， 答：的值为； （3）由题意，，， 当时，，即当时，， 无论为何值，关于、的二元一次方程的图象都经过定点． 19．（24-25七年级下·云南昆明·期末）将方程的解写成有序数对的形式，对应平面直角坐标系中点的坐标，如方程的解，对应点，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象． 【探索发现】按照下列步骤画出二元一次方程的图象： 列表：利用表格列举二元一次方程的部分解： … 0 1 3 … … 1 2 3 4 … ①填空：______，_______；描点、连线：②在下面的平面直角坐标系中描出表中的这些点，并过其中任意两点画直线，该直线即为二元一次方程的图象． ③下列四个点在方程的图象上的是（   ）（多选） A．    B．    C．    D． 【学以致用】④根据上述方法，直接在上面的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象； ⑤由图象直接写出二元一次方程组的解是_______； 【拓展提升】⑥若，试确定的取值范围． 【答案】①，；②见解析；③C，D；④见解析；⑤；⑥ 【详解】解：①将代入得：，解得：，即； 将代入得：，解得：，即．故答案为：0，2． ②在平面直角坐标系中描出这些点；并过其中任意两点作出直线； ③将代入得：，即A选项不符合题意； 将代入得：，即B选项不符合题意； 将代入得：，即C选项符合题意； 将代入得：，即D选项符合题意；故答案为：C，D． ④画出直线的图象如下： ⑤由④的函数图象可得方程组的解为． ⑥a．当，即时，不等式化为，解得：；所以不等式的解集为 b．当，时，不等式化为，解得：，∴不等式的解集为． 综上所述，． 20．（24-25七年级下·广东东莞·期末）探究与应用：二元一次方程的为“图象” 【知识结构】我们知道二元一次方程有无数组解，每一组解就是一组有序数对，而一组有序数对在平面直角坐标系中以坐标的点呈现． 【操作提炼】 （1）操作填表：使上下每对x，y的值是方程的解，并将以这些解为坐标的点在平面直角坐标系（图1）中描出来． … -2 0 … … 0 1 2 … （2）提炼1：所有满足“任意一个实数，与该实数的2倍组成的有序数对就是的一组解”，即是的一组解，以其所有的解为坐标的点能形成连续不断的图形． （3）提炼2：一般地，以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是一条____________（填“线段”“射线”或“直线”）． 【拓展应用】（4）根据以上结论，在同一平面直角坐标系（图2）中画出二元一次方程组两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解． （5）若二元一次方程的图象与另一个二元一次方程的图象的交点的横坐标是，请直接写出一个符合条件的二元一次方程． 【答案】（1）见解析；（2）2a；（3）直线；（4）见解析，；（5） 【详解】解：（1）符合方程的解的每对x，y的值如下表所示； … -2 0 1 … … -4 -1 0 1 2 … 以这些解为坐标的点的位置如图1所示；（2）2a；（3）直线；（4）两个方程的图象如图2所示， 该方程组的解是 （5）（答案不唯一，除外写一个关于x，y且一组解是的二元一次方程即可．） 21．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），我们称一次函数为“原函数”，一次函数为“原函数”的“相关函数”．例如：“原函数”的“相关函数”为． 【理解运用】（1）直接写出当“原函数”为的“相关函数”的表达式； （2）若一次函数的“原函数”的图象与它的“相关函数”的图象相交于点， ①求点的坐标；②若直线与一次函数的“原函数”的图象和它的“相关函数”的图象分别交于点，点在轴上，当的面积为6时，求点的坐标． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，将“原函数”的图象位于轴上方部分与它的“相关函数”的图象位于轴上方部分记作图形，当图形与线段的交点有且只有1个时，的最大值为_____，的最小值为_____． 【答案】（1）；（2）①；②点的坐标为或；（3）； 【详解】解：（1）原函数为，根据定义，其相关函数为答案：； （2）①原函数与相关函数的交点， 解得：，代入原函数得，故A点坐标为． ②原函数与直线联立：，解得：代入得，故点B为． 相关函数与直线联立： ，解得：代入得，故点C为 设．∵的面积为6，∴ 代入， ， ： 解得：; 或 解得：或 故点的坐标为或． （3）“原函数”的“相关函数”为， 当时，，∴和都经过点， 如图，当经过点时，取得最小值，∴，解得： 当经过点时，取得最大值，∴，解得：故答案为：；． 22．（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）一次函数图像经过和两点． (1)求这个一次函数的解析式；(2)当时，求的值．(3)将的图像向下平移3个单位长度得到的图像，求的解析式． (4)若的图像与y轴交于点C，求的面积. 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为：，把和代入得： ，解得：，∴一次函数的解析式为：； （2）解：把代入得：； （3）解：∵将的图像向下平移3个单位长度得到的图像， ∴的解析式为； （4）解：把代入得：，∴点C的坐标为， 把代入得： ∴的函数图象与y轴的交点坐标为， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.5 一次函数与二元一次方程 教学目标 1.‌理解函数与方程的关系‌：掌握一次函数图像与二元一次方程解之间的对应关系，即一次函数图像上的点坐标均为对应二元一次方程的解，反之亦然； 2.‌掌握转化方法‌：能将二元一次方程（如 2x-y-3=0）转化为一次函数形式（如 y=2x-3），并反之； 3.‌应用数形结合思想‌：通过图像法求二元一次方程组的解，理解交点坐标与方程组解的对应关系； 4.‌解决实际问题‌：综合运用函数、方程等知识解决行程问题等实际应用。 教学重难点 1.重点 （1）一次函数与二元一次方程的互化及对应关系‌； （2）利用函数图像求方程组的解（如通过交点坐标确定解）。 2.难点 （1）数形结合思想的深入理解，尤其是从代数式到几何图像的抽象过程； （2）综合运用方程、函数知识解决复杂实际问题（如动态行程问题）。 知识点01 一次函数与二元一次方程组 1．一次函数与二元一次方程组 一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。（如图1） 图1 图2 图3 2．一次函数与一元一次方程 直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标a，所以对应方程kx+b=0的解为x=a。（如图2） 3．一次函数与一元一次不等式 当k>0时，要求一元一次不等式kx+b>0的解集，从y=kx+b的图象上可以看出是图象位于横轴上方的部分对应的x，所以其解集是x>a；反之，kx+b<0的解集是x<a。（如图2） 当k<0时，要求一元一次不等式kx+b>0的解集，从y=kx+b的图象上可以看出是图象位于横轴上方的部分对应的x，所以其解集是x<a；反之，kx+b<0的解集是x>a。（如图3） 【即学即练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）直线过原点和点，直线过点和点，则直线和的交点的坐标为 ． 3．（24-25八年级下·天津南开·期末）如图，一次函数与（均为常数，且）的图象相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，有如下结论：①方程组的解为；②不等式的解集为， ③当时，；④关于的方程的解为．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型01 一次函数与一次方程的解 【典例1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若一次函数的图象经过两点，则关于x的方程的解为 ． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线经过点，则方程的解为 ． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，点是一次函数图象上的一点，则方程的解是 ． 【变式3】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，直线是一次函数的图象，点，在直线上．请根据图象写出方程的解为 ． 题型02 一次函数与二元一次方程组的解 【典例1】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线与的图象交于，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，直线与直线交于点，那么关于x，y的二元一次方程组的解是（） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图所示，直线与分别是二元一次方程和在平面直角坐标系中的图像，求此方程组的解为 ． 【变式3】（24-25八年级上·广西崇左·阶段练习）直线 和直线的图象交于点M．点M坐标为： ． 【变式4】（25-26八年级上·全国·课后作业）以方程和的解为坐标的点一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）通过课本数学活动--二元一次方程的“图象”的探究，我们学习到：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是直线，根据以上信息，解决如下问题：在平面直角坐标系中，关于的二元一次方程的图象和关于的二元一次方程的图象的交点坐标为，则关于的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 题型03 一次函数与不等式 【典例1】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（   ） A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数（是常数且）的图象交轴、轴分别于点、，则下列结论正确的是（    ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【变式3】（25-26八年级上·广西崇左·阶段练习）画出函数的图像，并结合图像求： (1)方程的解；(2)不等式的解集；(3)不等式组的解集． 【变式4】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）画出一次函数数的图象，并利用图像完成下列问题： (1)方程的解是________；(2)当________时，；当时，相应的取值范围是________． 题型04 一次函数与函数大小比较 【典例1】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线与直线相交于点，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，直线相交于点与轴分别交于点和，则当时，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标；(2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 题型05 一次函数与方程、不等式综合 【典例1】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数与的图象如下图所示，其交点的坐标为，直线与轴的交点坐标为，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程组的解是 C．关于的不等式的解集是 D．的解集为 【变式1】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）一次函数和在同一坐标系中的图像如图所示，则下列结论：①它们的交点在直线上；②；③不等式的解集为； ④它们与x轴围成的三角形的面积为．其中，正确的序号是 ．     A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②④ 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，一次函数和图象的交点坐标为，其中，均为常数，且．点，分别在函数和的图象上，且，在下列结论中： ①；②；③；④原点到直线的距离为． 正确的是 ． 【变式3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知直线过点﹒则以下结论：①；②若当时，，则；③方程组的解为；④若直线向右平移2个单位后过点，且不等式的解集为，则，其中正确的有 ．（请填写序号） 题型06 一次函数与面积综合问题 【典例1】（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于两点． (1)若点的坐标分别为．直接写出下列各小题答案．方程的解是______．方程组的解是______．不等式的解集是______．不等式的解集是______． (2)若点的坐标分别为，直线的表达式为，求的面积； (3)在（）的基础上，点是轴上的一点，且使得是等腰三角形，直接写出所有符合条件条件的点的坐标． 【变式1】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ；（2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【变式2】（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图，已知直线 与x轴、y轴的交点分别为A、B，请在图中作出直线 ．(1)直接写出二元一次方程组 的解______； (2)直线 上是否存在点 C，使 与 的面积相等，若存在，求出C 点坐标；否则，说明理由． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，直线：经过点，，且与轴交于点． (1)求直线的表达式；(2)直线与直线交于点，在同一直角坐标系中画出直线的图象，并根据图象，直接写出方程组的解为______；(3)直线与轴交于点，求两直线与坐标轴围成的四边形的面积． 【变式4】（24-25八年级上·江苏无锡·月考）已知如图：在平面直角坐标系中，有三点 、、 ，(1)如图1：当时，求证：；(2)如图2：将延长到D，如果D点坐标是，则 ， 此时如果 的面积等于12，则m 的值又是多少？ 【变式5】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，点，，且，满足，将直线沿轴向右平移个单位长度交轴于点，交轴于点． (1)求三角形的面积；(2)如图1，若，求的值；(3)如图2，当时，过点作轴的平行线交直线于点，点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿射线运动，设运动时间为秒，连接交轴于点，若三角形的面积不大于三角形的面积的一半，求的取值范围． 题型07 一次函数与新定义、探究规律 【典例1】（24-25八年级下·重庆渝中·期末）定义：在同一平面直角坐标系中有三条直线，，，我们把在某一范围内位于另外两条直线之间的直线称为该范围的中位线，记作．如图，：，：，：，若，则，其表达式为．若，则x的取值范围是 ；若是过点且平行于轴的直线，与直线有4个交点，则b的取值范围是 ． 【变式1】（2025·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 ． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，……，依次进行下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上江苏·期末）在平面直角坐标系中，解析式为的直线a，解析式为的直线b如图所示，直线a交y轴于点A，以为边作第一个等边三角形，过点B作y轴的平行线交直线a于点，以为边作第二个等边三角形顺次这样作下去，第2020个等边三角形的边长为（　　） A． B． C．4038 D．4040 1．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线和交于P，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北衡水·期末）在直线、直线与轴所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，则“美点”的个数为（   ） A．300 B．400 C．360 D．320 5．（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知方程的解与下列选项中两个函数图象的交点相对应的是（   ） A．B．C． D． 6．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·期末）关于一次函数与，下列说法： ①两函数的图象关于轴对称；②两函数的图象和轴围成的三角形的面积为24； ③函数（是常数，且）的图象一定过点．其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 7．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 8．（24-25八年级上·江苏·专题练习）如图所示，直线与x轴交于点，则关于x的方程的解为 ． 9．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于A，B两点，已知点的坐标为，点的坐标为，则当时，自变量的取值范围是 ． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知直线：经过，两点，直线． （1）若，则a的值为 ； （2）当时，总有，则a的取值范围是 ． 11．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②；③不等式的解集是；④当时，． 其中正确的是 ．    12．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，函数和的图象相交于点． （1）不等式的解集为 ．（2）不等式的解集为 ． 13．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，，，，点D为线段上的一个点，点E是线段上一点，若点C和点E关于所在直线对称，则D点的坐标为 ． 14．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）已知一次函数    (1)补充完整下列表格，并画出这个函数的图象． x … 0 1 … … 0 … (2)结合函数图象，方程的解为______． (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 15．（24-25八年级上·江苏南京·月考）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式，在下列坐标系中画出函数图像； (2)结合图像，写出当时自变量的取值范围：_____． 16．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象经过点． (1)求的值；(2)画出函数的图象；(3)结合图象，直接写出不等式组的解集． 17.（25-26八年级上·广西崇左·月考）直线与x轴交于点A ，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，与直线 m 交于点 P ，若点P的横坐标为1 ． (1)求A，B两点的坐标；(2)直接写出方程组的解；(3)求a，b的值；(4)求的面积． 18．（24-25七年级下·重庆江北·期末）阅读以下材料，解决问题：我们知道，二元一次方程有无数组解，我们把一组解中x，y对应的数值看作一个有序数对．在平面坐标系中，标出以这个方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点，就会发现这些点在同一条直线上．例如：二元一次方程． 有无数组解，方程的解 对应点，对应点 ，同理得到点、我们把这些点用平滑的曲线连接正好是一条直线，如图所示．反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也对应方程的解，所以我们把这条直线就叫做方程的图象． 结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，任意一个二元一次方程的图象都是一条直线． (1)以下选项中在方程的图像上的点有________． ①    ②    ③    ④ (2)已知是关于、方程和图像的交点上，求的值． (3)已知无论为何值，关于、的二元一次方程的图象都经过某一定点，求这个点的坐标． 19．（24-25七年级下·云南昆明·期末）将方程的解写成有序数对的形式，对应平面直角坐标系中点的坐标，如方程的解，对应点，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象． 【探索发现】按照下列步骤画出二元一次方程的图象： 列表：利用表格列举二元一次方程的部分解： … 0 1 3 … … 1 2 3 4 … ①填空：______，_______；描点、连线：②在下面的平面直角坐标系中描出表中的这些点，并过其中任意两点画直线，该直线即为二元一次方程的图象． ③下列四个点在方程的图象上的是（   ）（多选） A．    B．    C．    D． 【学以致用】④根据上述方法，直接在上面的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象； ⑤由图象直接写出二元一次方程组的解是_______； 【拓展提升】⑥若，试确定的取值范围． 20．（24-25七年级下·广东东莞·期末）探究与应用：二元一次方程的为“图象” 【知识结构】我们知道二元一次方程有无数组解，每一组解就是一组有序数对，而一组有序数对在平面直角坐标系中以坐标的点呈现． 【操作提炼】 （1）操作填表：使上下每对x，y的值是方程的解，并将以这些解为坐标的点在平面直角坐标系（图1）中描出来． … -2 0 … … 0 1 2 … （2）提炼1：所有满足“任意一个实数，与该实数的2倍组成的有序数对就是的一组解”，即是的一组解，以其所有的解为坐标的点能形成连续不断的图形． （3）提炼2：一般地，以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是一条____________（填“线段”“射线”或“直线”）． 【拓展应用】（4）根据以上结论，在同一平面直角坐标系（图2）中画出二元一次方程组两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解． （5）若二元一次方程的图象与另一个二元一次方程的图象的交点的横坐标是，请直接写出一个符合条件的二元一次方程． 21．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），我们称一次函数为“原函数”，一次函数为“原函数”的“相关函数”．例如：“原函数”的“相关函数”为． 【理解运用】（1）直接写出当“原函数”为的“相关函数”的表达式； （2）若一次函数的“原函数”的图象与它的“相关函数”的图象相交于点， ①求点的坐标；②若直线与一次函数的“原函数”的图象和它的“相关函数”的图象分别交于点，点在轴上，当的面积为6时，求点的坐标． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，将“原函数”的图象位于轴上方部分与它的“相关函数”的图象位于轴上方部分记作图形，当图形与线段的交点有且只有1个时，的最大值为_____，的最小值为_____． 22．（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）一次函数图像经过和两点． (1)求这个一次函数的解析式；(2)当时，求的值．(3)将的图像向下平移3个单位长度得到的图像，求的解析式． (4)若的图像与y轴交于点C，求的面积. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $