专题06 有理数的乘法与除法-2025年小升初数学无忧衔接（苏科版2024）

专题06.有理数的乘法与除法 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新课轻松学…………………………………………………………………………………………………………..2 新知速通……………………………………………………………………………………………………………..3 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..4 题型1、有理数的乘法运算 4 题型2、有理数乘法法则的辨析 5 题型3、有理数乘法运算律 7 题型4、倒数的概念与运用 10 题型5、有理数的除法运算 11 题型6、有理数除法法则的辨析 13 题型7、有理数除法的简算 14 题型8、有理数乘除法的混合运算 17 题型9、有理数乘除法的实际应用 19 题型10、有理数乘除法的新定义问题 24 基础通关 28 拓展提优 36 1. 理解有理数乘、除法的意义，掌握有理数乘、除法的法则，正确进行有理数的乘、除法运算； 2. 理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数； 3. 掌握几个有理数相乘时，积的符号的确定方法，并能熟练的进行几个有理数的乘法运算； 4. 能利用有理数的乘除法解决生活中的实际问题； 5. 熟练掌握有理数乘除运算及相关运算律，培养运算能力及良好的习惯； 6. 体会“分类”、“归纳”、“转化”的数学思想，培养严谨的科学态度。 【思考1】 2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会。为了备战运动会，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑。记该运动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O的哪个方向？相距多少米？ 提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负。 【思考2】江苏南京2025年春节一周的最低气温的平均值是多少？ 【思考4】能否根据除法的乘法逆运算，以及小学学习过的除法运算的经验，计算江苏南京2025年春节一周的最低气温的平均值吗？ 【乘除号的历史】你知道吗，以符号“×”代表乘是谁创造的呢？对了，他就是英国数学家奥特雷德首创的。奥特雷德对数学符号的发展产生很大的影响，他大量的运用符号代替冗杂的算数描述。他是在其著作《数学之钥》中首次以“×”表示两数相乘，即现代的乘号，后日渐流行。 在四种运算符号中，最复杂的就是除法的符号“÷”了，除法符号“÷”率先是英国的沃利斯最初使用的，后来在英国和全世界得到了推广。 【除法的高光时刻】在古代，人们还没有像我们现在这样便捷的计算器和电脑，在进行除法运算时则显得略有困难。于是，古代的智者们便开始钻研除法，发明了许多算法来简化除法运算。其中的代表算法之一，就是辗转相除法，也称欧几里得算法，是数学中一个求解最大公约数的重要方法，也可以用来执行简单的除法运算。首次被详细描述在欧几里得的《几何原本》第七卷，早在中国东汉时期的《九章算术》中也有所体现。辗转相除法的历史悠久，起源于公元前300年左右的欧几里得时代，它不仅限于自然数，19世纪后被推广至高斯整数和一元多项式等领域，推动了现代抽象代数的发展，如欧几里得整环。它在音乐节奏生成、密码学（如RSA算法）中起着关键作用，还能解丢番图方程，寻找满足中国剩余定理的数，以及在有限域的倒数计算和连分数构造等领域得到应用。 1.有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；0与任何数相乘都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；=-ab；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：； 乘法结合律： ； 乘法分配律：。 注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略；2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果。 3.倒数 1）倒数的概念：如果，那么和互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可；带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 注意：（1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来；（2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的；（3）倒数等于本身的数有：1、-1。 4.有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两个不等于0数相除，同号得正，异号得负，且把绝对值相除。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 题型1、有理数的乘法运算 【解题技巧】根据有理数乘法的法则计算即可。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 例1．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级上·江苏·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 变式1．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 变式2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）绝对值大于1.5且小于4的所有整数之积是 ． 变式3．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）在这六个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是 ，最小的是 ． 题型2、有理数乘法法则的辨析 【解题技巧】有理数乘法的法则 1）①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；②任何数同零相乘，都得0；    2）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个 时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。 例1．（24-25七年级上·河南商丘·期中）如果3个有理数的乘积为负数，那么这3个有理数中正数有（   ） A．0个或1个 B．1个或2个 C．0个或2个 D．2个或3个 例2．（2024·湖北·七年级期中）现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式1．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知，则a b（填“”“”“”号）． 变式2.（2024•浙江七年级期中考）下列说法中正确的有（　　） ①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在军训期间，701班43名学生做游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点m个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令（同一名学生可以多次被点名），则n次点名后（n，m为正整数），下列说法正确的是（   ） A．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 B．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 C．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 D．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 题型3、有理数乘法运算律 【解题技巧】运用运算律的一些技巧： ①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：。 ②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：1.2×。 ③带分数应先化为假分数的形式。如：。 ④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；。 ⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：12×（）。 例1．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）下面各题，怎样算简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 例2．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： 变式1．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 变式3．（2023·广东·七年级校考期中）用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 题型4、倒数的概念与运用 【解题技巧】倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 （1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．（2）没有倒数。 （3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然。 例1．（2025·江苏扬州·二模）实数2025的倒数是（    ） A． B． C．-2025 D．2025 变式1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）的倒数是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25六年级上·山东淄博·期末）与互为倒数的数是（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 题型5、有理数的除法运算 【解题技巧】有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 例1．（2025·江苏南通·一模）计算的结果是（   ） A．3 B．4 C． D． 例2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 例3．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）将转化为乘法运算正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算等于（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）某同学在计算时，误将“”看成“+”而算得结果是，则的正确结果是 ． 变式3．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）下列运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 题型6、有理数除法法则的辨析 【解题技巧】有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右。 例1．（24-25·浙江·七年级统考期末）如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 例2．（24-25·江苏·七年级阶段练习）已知a，b为有理数，则下列说法正确的个数为（          ） ①若，，则，．②若，，则，且． ③若，，则，．④若，，则，且． A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）的变形依据是 ． 变式2．（24-25·广东·七年级校考期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是（    ） A．这两数的和为正数 B．这两数的差为正数 C．这两数的积为正数 D．这两数的和、差、积的正负都不能确定 变式3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型7、有理数除法的简算 【解题技巧】同有理数的乘法运算技巧类似。 例1．（24-25·成都市七年级课时练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 例2．（24-25七年级上·重庆·期中）阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 变式1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小英的解法：． 小李的解法：原式的倒数为…第一步， …第二步， …第三步， …第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 变式3．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）计算： (1) (2) (3) 题型8、有理数乘除法的混合运算 【解题技巧】有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．分数可以理解为分子除以分母。 例1．（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 例2．（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第________步，错误原因是______； 第二处是第________步，正确步骤的依据是______； (2)请写出正确的结果________． 变式1．（24-25七年级上·广东广州·期末）计算： ． 变式2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算：(1) (2) 变式3．（24-25·山东·七年级专题练习）计算： (1)；(2)；(3)． 题型9、有理数乘除法的实际应用 【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。 例1．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）大雄和冬冬在哈尔滨冰雪大世界游玩，他们先后步测一个底面为圆形的冰雕的周长，他俩的起点和走的方向完全相同．冬冬每步长45厘米，大雄每步长55厘米．由于两人的脚印有重合因此冰雕周围只留下95个脚印．这个冰雕的底面周长大约是（   ）米．（结果保留整数） A．100 B．50 C．30 D．25 例2．（23-24七年级上·江苏南京·期中）基础代谢率（）是身体为了要维持基本运行所需要的热量，影响基础代谢率的主要因素有体重、年龄、肌肉量，且男性、女性的计算方式不同，小明是男生，今年岁，身高，体重，根据表中的信息，他的基础代谢率是 ． 基础代谢率（）计算公式 男性 体重（）+5×身高（）年龄（岁） 女性 体重（）+1.8×身高（）年龄（岁） 例3．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）越来越多的人在用支付宝付款、转账，把支付宝账户里的钱转到银行卡叫做提现，每个支付宝账户享有累计不超过2万元的免费提现额度，当累计提现金额超过2万元时，超出的部分需支付的手续费，且以后每次提现支付的手续费均为提现金额的． (1)王老师使用支付宝至今，用自己的支付宝账户共提现两次，提现金额均为3万元，则王老师这两次提现共需支付手续费多少元？ (2)小余使用支付宝至今，用自己的支付宝账户共提现三次，提现手续费如下表： 第一次 第二次 第三次 手续费/元 0 32 24 ①小余第三次提现金额为 元； ②若小余第三次提现金额恰好等于前两次提现金额的差，求小余第一次提现的金额． 变式1．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形成一种运算（加、减、乘，除），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为 ． 变式2．（2024·江苏南京·模拟预测）现有一条铁路连接A、C两地，其中点B为途经站点，一辆的高速列车从A处发出向C行驶，到达C处后再原速返回A处，途中不停靠B处，同时，一辆的低速列车从C处发出向A处行驶，到达A处后再原速返回C处，往返途中都需要停靠B处站点，停靠时间为1个小时，两车同时发出1小时后，B处站点也有一辆普通列车发出，速度为，原速前往C处后再前往A处最后回到B处，若A处与C处相隔，B处距离A处，则截至所有列车都完成行驶任务，任意两车同时相遇的次数为 ． 变式3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）辆大卡车和辆小卡车小时可运货吨，现在有一批货物，辆大卡车和辆小卡车用小时可运完，运了小时后，辆大卡车和 辆小卡车被调走执行其他任务．剩下的货物 小时可运完． 变式4．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负．超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况如下表所示： 周 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是周 ，最高单价是 元．(2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？(3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一开始推出两种促销方案： 方案一：每斤售价10元；方案二：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打8折． 某果茶店想买35斤百香果，请通过计算说明选择哪种方案购买更省钱． 题型10、有理数乘除法的新定义问题 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。 例1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）数学上，为了简便把到的连续个自然数的和记作，即；把到的连续个自然数的乘积记作，即；则的值为（   ） A． B． C．2020 D．2021 例2．（23-24七年级上·山东滨州·期末）对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25七年级上·广东广州·期中） （其中表示不超过的最大整数，如，等等）． 变式1．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．对下列三个人的说法判断正确的是（　　） 小嘉说：247是13的“和倍数”    小淇说：441是9的“和倍数” 小华说：214、357均不是“和倍数” A．三人说法都对 B．只有一人说法不对 C．小华说的不对 D．只有一人说法对 变式2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）．①，；②，； (2)计算：．(3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算： ． 变式3．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）先阅读下列材料，然后解答问题： 材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为.一般地，从个不同元素中选取个元素的组合数记作，． 例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作． (1)为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览，王老师在班级7幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？ (2)探索发现：计算：_____，______，______，________，________，________． 由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由） (3)请你直接利用（2）中猜想的结论计算：． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）计算大长方形面积时（如图），下面右边竖式中虚线框这一步计算（     ） A．长方形甲的面积 B．长方形乙的面积 C．长方形甲和乙的面积差 D．长方形甲和乙的面积和 2．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）李芳在计算160乘一个数时，把160错看成了16，要使原来的积不变，另一个因数应该（     ） A．减144 B．加144 C．除以10 D．乘10 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）计算，最合理的方法是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏扬州·二模）若，则“”内应填的实数是（    ） A． B． C． D．2 6．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25·成都市七年级校联考课时练习）计算：_______ ． 9．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，某学校“桃李餐厅”把密码做成了数学题．小刚在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络，他输入的密码是 ． 10．（2025·江苏南京·二模）的倒数是 ． 11．（24-25七年级上·江苏南京·期中）把化成小数是 ． 12．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）小慧在某平台上按“八五折”的优惠价格购买了4张《志愿军：存亡之战》电影票，若每张电影票的原价是元，则小慧需支付 元． 13．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我列的算式是______，乘积的最大值为______． (2)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的积最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是______，乘积的最小值为______． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是______，商的最小值为______． 14．（24-25·吉林长春·七年级校考阶段练习）计算.(1)；(2). 15．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）乘除计算： (1)；(2)； (3)； (4) 16．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 17．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 18．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3) (4) (5) (6) 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）我校航模社团利用若干台无人机操作，按照某种规律摆出家乡盐城的拼音缩写．按照这种规律，需要越来越多的无人机，则第5次需要的无人机数量为（   ） A．28架 B．31架 C．33架 D．47架 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）小慧用计算器计算，她误操作输入了．若想得到正确结果，则小慧接下来应输入（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）在有理数3，，0，4，中，任意两个数相乘，最大的数为a，则 ． 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）若个互不相等的正整数的倒数和等于，那么的最小值为 ． 6．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）小明在计算除法时，把被除数472错看成427，结果商比原来小5，但余数恰好相同，则该题的余数是 ． 7．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读下列材料，计算： 解法一：原式 解法二：原式的倒数为 所以，原式 (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______正确． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算： 8．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）阅读以下材料： 【材料一】，即     ① ，即     ②… 【材料二】，即① ，即②… 【材料三】， 即     ① ， 即     ② 解决下列问题：(1)写出【材料一】中的第个等式为________________． (2)根据以上材料，直接写出下列各式的值： ①________． ②________． (3)已知，求的值． (4)计算：． 9．（24-25.七年级上江苏·课后作业）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： ① ②． 10．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】（1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】根据上面获得的经验完成下面的计算：（2）； （3）． 11．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）如图（1），有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”，在每个“○”中填入一个数，使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都相等． (1)将，，，，，，1，3，5，7，9，11这12个数填入图（1）恰当的位置（每个数只能用一次），则每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都是______； (2)如果将这12个数改为，，，，，，2，4，6，8，10，12，使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和与（1）中相同，能满足要求吗？如果不满足，请说明理由． (3)若将满足条件的12个数填入图（2）中（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都相等．则______． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06.有理数的乘法与除法 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新课轻松学…………………………………………………………………………………………………………..2 新知速通……………………………………………………………………………………………………………..3 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..4 题型1、有理数的乘法运算 4 题型2、有理数乘法法则的辨析 5 题型3、有理数乘法运算律 7 题型4、倒数的概念与运用 10 题型5、有理数的除法运算 11 题型6、有理数除法法则的辨析 13 题型7、有理数除法的简算 14 题型8、有理数乘除法的混合运算 17 题型9、有理数乘除法的实际应用 19 题型10、有理数乘除法的新定义问题 24 基础通关 28 拓展提优 36 1. 理解有理数乘、除法的意义，掌握有理数乘、除法的法则，正确进行有理数的乘、除法运算； 2. 理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数； 3. 掌握几个有理数相乘时，积的符号的确定方法，并能熟练的进行几个有理数的乘法运算； 4. 能利用有理数的乘除法解决生活中的实际问题； 5. 熟练掌握有理数乘除运算及相关运算律，培养运算能力及良好的习惯； 6. 体会“分类”、“归纳”、“转化”的数学思想，培养严谨的科学态度。 【思考1】 2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会。为了备战运动会，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑。记该运动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O的哪个方向？相距多少米？ 提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负。 【思考2】江苏南京2025年春节一周的最低气温的平均值是多少？ 【思考4】能否根据除法的乘法逆运算，以及小学学习过的除法运算的经验，计算江苏南京2025年春节一周的最低气温的平均值吗？ 【乘除号的历史】你知道吗，以符号“×”代表乘是谁创造的呢？对了，他就是英国数学家奥特雷德首创的。奥特雷德对数学符号的发展产生很大的影响，他大量的运用符号代替冗杂的算数描述。他是在其著作《数学之钥》中首次以“×”表示两数相乘，即现代的乘号，后日渐流行。 在四种运算符号中，最复杂的就是除法的符号“÷”了，除法符号“÷”率先是英国的沃利斯最初使用的，后来在英国和全世界得到了推广。 【除法的高光时刻】在古代，人们还没有像我们现在这样便捷的计算器和电脑，在进行除法运算时则显得略有困难。于是，古代的智者们便开始钻研除法，发明了许多算法来简化除法运算。其中的代表算法之一，就是辗转相除法，也称欧几里得算法，是数学中一个求解最大公约数的重要方法，也可以用来执行简单的除法运算。首次被详细描述在欧几里得的《几何原本》第七卷，早在中国东汉时期的《九章算术》中也有所体现。辗转相除法的历史悠久，起源于公元前300年左右的欧几里得时代，它不仅限于自然数，19世纪后被推广至高斯整数和一元多项式等领域，推动了现代抽象代数的发展，如欧几里得整环。它在音乐节奏生成、密码学（如RSA算法）中起着关键作用，还能解丢番图方程，寻找满足中国剩余定理的数，以及在有限域的倒数计算和连分数构造等领域得到应用。 1.有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；0与任何数相乘都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；=-ab；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：； 乘法结合律： ； 乘法分配律：。 注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略；2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果。 3.倒数 1）倒数的概念：如果，那么和互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可；带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 注意：（1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来；（2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的；（3）倒数等于本身的数有：1、-1。 4.有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两个不等于0数相除，同号得正，异号得负，且把绝对值相除。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 题型1、有理数的乘法运算 【解题技巧】根据有理数乘法的法则计算即可。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 例1．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，故选：D． 例2．（24-25七年级上·江苏·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)0(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 变式1．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 变式2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）绝对值大于1.5且小于4的所有整数之积是 ． 【答案】 【详解】解：绝对值大于1.5且小于4的所有整数有：，，，， 绝对值大于1.5且小于4的所有整数之积是：，故答案为：． 变式3．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）在这六个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是 ，最小的是 ． 【答案】 【详解】解：乘积最大的是，最小的是，故答案为：，． 题型2、有理数乘法法则的辨析 【解题技巧】有理数乘法的法则 1）①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；②任何数同零相乘，都得0；    2）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个 时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。 例1．（24-25七年级上·河南商丘·期中）如果3个有理数的乘积为负数，那么这3个有理数中正数有（   ） A．0个或1个 B．1个或2个 C．0个或2个 D．2个或3个 【答案】C 【详解】解：根据多个有理数相乘，奇数个负数时，乘积为负数， 得3个有理数的乘积为负数时有1个或3个负数，即有2个正数或0个正数，故选：C． 例2．（2024·湖北·七年级期中）现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：①两个非负数的乘积一定是0或正数，原说法错误；故原命题错误； ②若两个数（非0）互为相反数，则它们相乘的积是负数；故原命题错误； ③任何一个有理数都可以在数轴上表示；故原命题正确； ④两个数的和为正数，则这两个数可能异号，故原命题正确； ⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误．∴正确的有2个；故选：A． 变式1．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知，则a b（填“”“”“”号）． 【答案】 【详解】解：因为， ，所以．故答案为：． 变式2.（2024•浙江七年级期中考）下列说法中正确的有（　　） ①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①同号两数相乘，符号为正号，不是符号不变，该小题说法错误； ②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该小题说法正确； ③数a、b互为相反数，它们的积不一定为负，如a、b都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该小题说法错误；④四个有理数（0除外）相乘，若有三个负因数，则积为负，故该小题说法错误； 故选：A． 变式3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在军训期间，701班43名学生做游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点m个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令（同一名学生可以多次被点名），则n次点名后（n，m为正整数），下列说法正确的是（   ） A．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 B．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 C．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 D．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 【答案】C 【详解】解：假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时个“”，其乘积为“”． 每次改变其中的个数，经过次点名， ①当为偶数时，若有偶数个“”偶数个“”，变为偶数个“”偶数个“”，其积的符号不变； 若有奇数个“”奇数个“”，变为奇数个“”奇数个“”，其积的符号不变； 故当为偶数时，每次改变其中的m个数，其积的符号不变，那么n次点名后，乘积仍然是“”， 故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； ②当为奇数时，若有偶数个“”奇数个“”，变为偶数个“”奇数个“”，其积的符号改变； 若有奇数个“”偶数个“”，变为奇数个“”偶数个“”，其积的符号改变； 故当为奇数时，每次改变其中的个数，其积的符号改变， 那么次点名后，若为偶数，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； 若为奇数，乘积最后是“”，故最后出现的“”的个数为奇数，即蹲下的人数为奇数； 综上所述，选项C正确，选项A、B、D均错误；故选：C． 题型3、有理数乘法运算律 【解题技巧】运用运算律的一些技巧： ①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：。 ②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：1.2×。 ③带分数应先化为假分数的形式。如：。 ④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；。 ⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：12×（）。 例1．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）下面各题，怎样算简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： 例2．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： 【答案】 【详解】解：原式， ， ， ． 变式1．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，乘法和加法不能结合，错误，符合题意．故选：D． 变式2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3．（2023·广东·七年级校考期中）用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2(2)(3)0(4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型4、倒数的概念与运用 【解题技巧】倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 （1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数．（2）没有倒数。 （3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然。 例1．（2025·江苏扬州·二模）实数2025的倒数是（    ） A． B． C．-2025 D．2025 【答案】A 【详解】解：实数2025的倒数是．故选A． 变式1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，的倒数是，故选：B． 变式2．（24-25六年级上·山东淄博·期末）与互为倒数的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，的倒数为，的倒数为， A. ，和不互为倒数，故该选项不符合题意； B. ，和不互为倒数，故该选项不符合题意； C. ，和不互为倒数，故该选项不符合题意； D. ，和互为倒数，故该选项符合题意；故选：D ． 变式3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 【答案】B 【详解】解：因为，所以和是倒数，故选：B． 题型5、有理数的除法运算 【解题技巧】有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 例1．（2025·江苏南通·一模）计算的结果是（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解：，故选：C． 例2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【详解】解：，故答案为：． 例3．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）将转化为乘法运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 故选：C． 变式1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，故选：C． 变式2．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）某同学在计算时，误将“”看成“+”而算得结果是，则的正确结果是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得，解得，所以，故答案为：． 变式3．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）下列运算，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故计算错误； B、，故计算错误；C、，故计算正确； D、，故计算错误；故选：C． 题型6、有理数除法法则的辨析 【解题技巧】有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右。 例1．（24-25·浙江·七年级统考期末）如果，则的值与0的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】解：，，故选：B． 例2．（24-25·江苏·七年级阶段练习）已知a，b为有理数，则下列说法正确的个数为（          ） ①若，，则，．②若，，则，且． ③若，，则，．④若，，则，且． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①若，，则，，故①结论正确； ②若，，则a＞0，b＜0且|a|＞|b|或a＜0，b＞0且|a|＜|b|，故②结论错误； ③若，，则a＜0，b＜0，故③结论正确； ④若，，则a＞0，b＜0且|b|＞|a|或a＜0，b＞0且|b|＜|a|，故结论错误． 故正确的有2个．故选：B． 变式1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）的变形依据是 ． 【答案】除以一个数等于乘以一个数的倒数 【详解】解：的变形依据是有理数的除法法则，除以一个数等于乘以一个数的倒数． 故答案为：除以一个数等于乘以一个数的倒数． 变式2．（24-25·广东·七年级校考期中）若两个数的商是正数，则下列选项中一定成立的是（    ） A．这两数的和为正数 B．这两数的差为正数 C．这两数的积为正数 D．这两数的和、差、积的正负都不能确定 【答案】C 【详解】解：A．当两个数都为负数时，这两个数的商是正数，这两个数的和为负数，故A选项不符合题意；B．当两个数都为负数时，这两个数的商是正数，这两个数的差可能为负数，故B选项不符合题意； C．若两个数的商是正数，则这个两数为同号，这两个数的积为正数，故C选项符合题意； D．若两个数的商是正数，这两数的和、积的正负不能确定，积的正负能确定，故D选项不符合题意． 故选：C． 变式3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：，，，, ，，，， 当时，，则；当时，，则；当时，，则； 综上可知，，，中正数的个数为2个，故选：C． 题型7、有理数除法的简算 【解题技巧】同有理数的乘法运算技巧类似。 例1．（24-25·成都市七年级课时练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1);(2);(3);(4)1;(5)－2;(6)－14 【详解】(1). (2). (3). (4). (5). (6). 例2．（24-25七年级上·重庆·期中）阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 【答案】(1)小云的方法不对，正确做法见解析；(2)． 【详解】（1）解：小云的方法不对， 正确做法： ； （2）解： ． 变式1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、除法不具有分配律，不符合题意． B、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． C、，可以使用分配律，且运算更简便，符合题意． D、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意．故选：C． 变式2．（24-25七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小英的解法：． 小李的解法：原式的倒数为…第一步， …第二步， …第三步， …第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 【答案】(1)小李(2)乘法分配律(3) 【详解】（1）解：因为除法没有分配律，所以小李的解法正确，故答案为：小李； （2）解：小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律，故答案为：乘法分配律； （3）解：， 原式的倒数为：， ， ， ， 原式． 变式3．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)；(2)．(3)64 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 题型8、有理数乘除法的混合运算 【解题技巧】有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．分数可以理解为分子除以分母。 例1．（24-25七年级下·山东青岛·开学考试）下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①，故原计算错误；②，故原计算错误； ③，故计算正确；④，故计算正确； 综上，计算正确的有：，共个，故选：． 例2．（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第________步，错误原因是______； 第二处是第________步，正确步骤的依据是______； (2)请写出正确的结果________． 【答案】(1)二，运算顺序错误或者（先算了乘法）；三，两数相除同号得正，异号得负并把绝对值相除或者（有理数除法法则） (2)或 【详解】（1）第一处是第二步，错误原因是运算顺序错误，应该先计算除法，再计算乘法； 第二处是第三步，正确的步骤的依据是：两数相除同号得正，并把绝对值相除； 故答案为：二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，并把绝对值相除； （2）． 变式1．（24-25七年级上·广东广州·期末）计算： ． 【答案】 【详解】解：．故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算：(1) (2) 【答案】(1)3(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 变式3．（24-25·山东·七年级专题练习）计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型9、有理数乘除法的实际应用 【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。 例1．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）大雄和冬冬在哈尔滨冰雪大世界游玩，他们先后步测一个底面为圆形的冰雕的周长，他俩的起点和走的方向完全相同．冬冬每步长45厘米，大雄每步长55厘米．由于两人的脚印有重合因此冰雕周围只留下95个脚印．这个冰雕的底面周长大约是（   ）米．（结果保留整数） A．100 B．50 C．30 D．25 【答案】D 【详解】解：45和55的最小公倍数为，（步），（步）， （个），，， 即这个冰雕的底面周长大约是，故选：D． 例2．（23-24七年级上·江苏南京·期中）基础代谢率（）是身体为了要维持基本运行所需要的热量，影响基础代谢率的主要因素有体重、年龄、肌肉量，且男性、女性的计算方式不同，小明是男生，今年岁，身高，体重，根据表中的信息，他的基础代谢率是 ． 基础代谢率（）计算公式 男性 体重（）+5×身高（）年龄（岁） 女性 体重（）+1.8×身高（）年龄（岁） 【答案】 【详解】解：根据题意可知，小明的基本代谢率为．故答案为：． 例3．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）越来越多的人在用支付宝付款、转账，把支付宝账户里的钱转到银行卡叫做提现，每个支付宝账户享有累计不超过2万元的免费提现额度，当累计提现金额超过2万元时，超出的部分需支付的手续费，且以后每次提现支付的手续费均为提现金额的． (1)王老师使用支付宝至今，用自己的支付宝账户共提现两次，提现金额均为3万元，则王老师这两次提现共需支付手续费多少元？ (2)小余使用支付宝至今，用自己的支付宝账户共提现三次，提现手续费如下表： 第一次 第二次 第三次 手续费/元 0 32 24 ①小余第三次提现金额为 元； ②若小余第三次提现金额恰好等于前两次提现金额的差，求小余第一次提现的金额． 【答案】(1)小新这两次提现共需支付手续费40元(2)①24000；②小余第一次提现的金额为14000元 【详解】（1）解：依题意，（元）， 答：小新这两次提现共需支付手续费40元； （2）解：依题意，①（元），故答案为：24000； ②设小余第一次提现的金额为y元， 由题意得：， 解得：． 答：小余第一次提现的金额为14000元． 变式1．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形成一种运算（加、减、乘，除），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为 ． 【答案】 【详解】根据题意，得．故答案为：． 变式2．（2024·江苏南京·模拟预测）现有一条铁路连接A、C两地，其中点B为途经站点，一辆的高速列车从A处发出向C行驶，到达C处后再原速返回A处，途中不停靠B处，同时，一辆的低速列车从C处发出向A处行驶，到达A处后再原速返回C处，往返途中都需要停靠B处站点，停靠时间为1个小时，两车同时发出1小时后，B处站点也有一辆普通列车发出，速度为，原速前往C处后再前往A处最后回到B处，若A处与C处相隔，B处距离A处，则截至所有列车都完成行驶任务，任意两车同时相遇的次数为 ． 【答案】9 【详解】解：①高速列车和低速列车第1次相遇，如图： 时间为， ②高速列车到达C站需要，此时低速列车距离C站，高速列车要追到它需要，而，大于低速列车到达B站的时间，显然低速列车先到达B站，而高速列车没有追到它，如图， 此时高速列车距离C站：，距离B站：，低速列车1小时后离开B站，此时高速列车距离B站：，则追到低速列车需要时间为：，显然此时低速列车还没有到达A站，如图： 此后低速列车到达A站，两车都在A站第3次相遇，故高速列车与低速列车共相遇3次； ③高速列车与低速列车第1次相遇，如图，， 高速列车先出发1小时，距离B站：，两车此时都向C站走，高速列车需要追到普通列车；④高速列车到达C站返回后与普通列车第2次相遇，如图： ， 高速列车到达C站需要，此时普通列车距离C站，两车还需要相遇，此后高速列车向A站走，此后普通列车到达A站，两车都在A站第3次相遇，故高速列车与普通列车共相遇3次； ⑤普通列车与低速列车第1次相遇，如图： 普通列车出发时，两车相距，两车相遇需，⑥低速列车第1次出B站的时间是，此时普通列车在距离B站处，要追到低速列车需要大于低速列车到达A站的时间，低速列车从A站返回后与普通列车相遇，如图： 低速列车从A站返回时，普通列车距离A站：，两车还需要第2次相遇，⑦普通列车到达A站用时：，低速列车到达A站需要：，故此时低速列车从A站离开了，走了，则它第2次离开B站还需要，此时普通列车距离B站，则刚好到达B站，两车第3次相遇，此后普通列车不再行驶，故普通列车与低速列车相遇3次，故共相遇9次，故答案为：9． 变式3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）辆大卡车和辆小卡车小时可运货吨，现在有一批货物，辆大卡车和辆小卡车用小时可运完，运了小时后，辆大卡车和 辆小卡车被调走执行其他任务．剩下的货物 小时可运完． 【答案】 【详解】解：∵辆大卡车和辆小卡车小时可运货吨， ∴辆大卡车和辆小卡车小时可运货（吨）， ∴辆大卡车和辆小卡车小时可运货（吨）， ∴辆大卡车和辆小卡车小时可运货（吨）， 由辆大卡车和辆小卡车小时可运货（吨），则剩余货物：（吨）， ∵辆大卡车和辆小卡车被调走执行其他任务， ∴剩下大卡车数量为（辆），剩下小卡车数量为（辆）， ∴辆大卡车和辆小卡车运货吨，∴需要的时间为：（小时），故答案为：． 变式4．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负．超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况如下表所示： 周 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是周 ，最高单价是 元．(2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？(3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一开始推出两种促销方案： 方案一：每斤售价10元；方案二：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打8折． 某果茶店想买35斤百香果，请通过计算说明选择哪种方案购买更省钱． 【答案】(1)六，15(2)盈利135元(3)方案二 【详解】（1）解：这一周超市售出的百香果单价最高的是周六，最高单价是（元）； （2）解：根据题意可得这一周每天每斤百香果的利润分别为3元，0元，5元，1元，4元，7元，元， 则（元）， 即这一周超市出售此种百香果的收益为盈利135元； （3）解：方案一：（元）；方案二：（元）； ∵，∴选择方案二购买更省钱． 题型10、有理数乘除法的新定义问题 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。 例1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）数学上，为了简便把到的连续个自然数的和记作，即；把到的连续个自然数的乘积记作，即；则的值为（   ） A． B． C．2020 D．2021 【答案】A 【详解】解：∵，∵， ∵， ∴，故选：A． 例2．（23-24七年级上·山东滨州·期末）对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴ 故选：D 例3．（24-25七年级上·广东广州·期中） （其中表示不超过的最大整数，如，等等）． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 变式1．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．对下列三个人的说法判断正确的是（　　） 小嘉说：247是13的“和倍数”    小淇说：441是9的“和倍数” 小华说：214、357均不是“和倍数” A．三人说法都对 B．只有一人说法不对 C．小华说的不对 D．只有一人说法对 【答案】A 【详解】解∶∵，∴247是13的“和倍数”，故小嘉的说法正确； ∵，∴441是9的“和倍数”，故小淇的说法正确； ∵，∴214不是“和倍数”， ∵，∴357不是“和倍数”，故小华的说法正确；故选：A． 变式2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，．若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）．①，；②，； (2)计算：．(3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算： ． 【答案】(1)①(2)(3) 【详解】（1）解：①； ∵，，∴，则①是“隔一数对”； ②；∵，， ∴，则②不是“隔一数对”；故答案为：①； （2）解： ； （3）解： ． 变式3．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）先阅读下列材料，然后解答问题： 材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为.一般地，从个不同元素中选取个元素的组合数记作，． 例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作． (1)为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览，王老师在班级7幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？ (2)探索发现：计算：_____，______，______，________，________，________． 由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由） (3)请你直接利用（2）中猜想的结论计算：． 【答案】(1)共有35种选法(2)3；1；4；10；5；15；(3)220 【详解】（1）解：根据公式，答：共有35种选法． （2）＝3，＝1，＝4，＝10，＝5，＝15， ∵，， ∴，     故答案为3；1；4；10；5；15； （3） ． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）计算大长方形面积时（如图），下面右边竖式中虚线框这一步计算（     ） A．长方形甲的面积 B．长方形乙的面积 C．长方形甲和乙的面积差 D．长方形甲和乙的面积和 【答案】B 【详解】解：由题意得虚线框的结果是的结果 ∴竖式中虚线框这一步计算的是长方形乙的面积；故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）李芳在计算160乘一个数时，把160错看成了16，要使原来的积不变，另一个因数应该（     ） A．减144 B．加144 C．除以10 D．乘10 【答案】D 【详解】解：由分析可知，李芳在计算160乘一个数时，把160错看成了16，要使原来的积不变，另一个因数应该乘10故选：D 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点A，B，C对应的有理数分别为a，b，c，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由数轴可知， A、因为，则，该选项正确，不符合题意； B、因为，所以；又因为，所以，该选项正确，不符合题意； C、|a|的取值范围是的取值范围是的取值范围是，则，且，所以，该选项错误，符合题意； D、由可得；由可得；由可得，所以，该选项正确，不符合题意．故选：C． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）计算，最合理的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：计算最简便的方法是，故选：C． 5．（2025·江苏扬州·二模）若，则“”内应填的实数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：由题意，“”内应填的实数是；故选A． 6．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，故选项A运算错误，不符合题意； B. ，故选项B运算错误，不符合题意； C. ，故选项C运算错误，不符合题意； D. ，运算错误，符合题意．故选：D． 7．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 使运算结果最小的是 故选：D． 8．（24-25·成都市七年级校联考课时练习）计算：_______ ． 【答案】 【详解】=，得_______ 根据 除数=被除数商=（-16）（-15）=. 9．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，某学校“桃李餐厅”把密码做成了数学题．小刚在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络，他输入的密码是 ． 【答案】122436 【详解】解：∵，，；，，； ，，；∴，，； 他输入的密码是：122436，故答案为：122436． 10．（2025·江苏南京·二模）的倒数是 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴的倒数是，故答案为：． 11．（24-25七年级上·江苏南京·期中）把化成小数是 ． 【答案】 【详解】解：，故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）小慧在某平台上按“八五折”的优惠价格购买了4张《志愿军：存亡之战》电影票，若每张电影票的原价是元，则小慧需支付 元． 【答案】 【详解】解：元故答案为：． 13．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我列的算式是______，乘积的最大值为______． (2)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的积最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是______，乘积的最小值为______． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是______，商的最小值为______． 【答案】(1)；40(2)；(3)； 【详解】（1）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，应该取和，，即乘积的最大值为15．故答案为：；40； （2）解：从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应该取、和，，即乘积的最小值为．故答案为：；； （3）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，应该取和，．即商的最小值为．故答案为：；． 14．（24-25·吉林长春·七年级校考阶段练习）计算. (1)；(2). 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： （2）解： ． 15．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）乘除计算： (1)；(2)； (3)； (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． （4） ． 16．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)1(6)(7)(8) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ； （7）解：原式 ； （8）解：原式 ． 17．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 18．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）计算： (1)； (2)． (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】解：∵，∴的符号为2正1负，或者2负1正， ∴，，为2个1，1个或1个，2个 ∵最大，∴，， ∴ 的最大值为；故选C． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）我校航模社团利用若干台无人机操作，按照某种规律摆出家乡盐城的拼音缩写．按照这种规律，需要越来越多的无人机，则第5次需要的无人机数量为（   ） A．28架 B．31架 C．33架 D．47架 【答案】B 【详解】解：依题意，第一次：（架），第二次：（架）， 第三次：（架），第四次：（架）， 第五次：（架），第五次需要的无人机数量为架，故选：B． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）小慧用计算器计算，她误操作输入了．若想得到正确结果，则小慧接下来应输入（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：故选：B． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）在有理数3，，0，4，中，任意两个数相乘，最大的数为a，则 ． 【答案】15 【详解】解：∵两个数相乘，积最大，∴这两个数必须是同号，且绝对值较大， ∵，∴选择和两个数相乘，积最大，∴，故答案为：15． 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）若个互不相等的正整数的倒数和等于，那么的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴的最小值为，故答案为：． 6．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）小明在计算除法时，把被除数472错看成427，结果商比原来小5，但余数恰好相同，则该题的余数是 ． 【答案】4 【详解】因为把被除数472错看成427，结果商比原来小5，但余数恰好相同， 所以是商的5倍，所以原来的商为， 所以原来的余数为，故答案为：4． 7．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读下列材料，计算： 解法一：原式 解法二：原式的倒数为 所以，原式 (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______正确． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算： 【答案】(1)二(2) 【详解】（1）解：观察解题过程可知，解法一是有误的，原因是除法没有分配律，解法二，先转化为倒数，再利用乘法的分配律简化计算，过程正确；故答案为：二． （2）解：原式的倒数为 所以，原式． 8．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）阅读以下材料： 【材料一】，即     ① ，即     ②… 【材料二】，即① ，即②… 【材料三】， 即     ① ， 即     ② 解决下列问题：(1)写出【材料一】中的第个等式为________________． (2)根据以上材料，直接写出下列各式的值： ①________． ②________． (3)已知，求的值． (4)计算：． 【答案】(1)(2)①；②(3)(4) 【详解】（1）解：由【材料一】可知：第个等式为；故答案为； （2）解：①； ② ；故答案为；； （3）解： ； （4）解：原式． 9．（24-25.七年级上江苏·课后作业）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式．请用上面方法计算： ① ②． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：①设为，为， 原式； ②设为，为， 原式． 10．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】（1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】根据上面获得的经验完成下面的计算：（2）； （3）． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【详解】解：（1）由题知，；；；；……所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，，所以．即是第11个数．故答案为：，11． （2）原式． （3）原式 ． 11．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）如图（1），有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”，在每个“○”中填入一个数，使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都相等． (1)将，，，，，，1，3，5，7，9，11这12个数填入图（1）恰当的位置（每个数只能用一次），则每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都是______； (2)如果将这12个数改为，，，，，，2，4，6，8，10，12，使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和与（1）中相同，能满足要求吗？如果不满足，请说明理由． (3)若将满足条件的12个数填入图（2）中（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都相等．则______． 【答案】(1)(2)不满足，理由见解析(3) 【详解】（1）解：，， 所以每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都是，故答案为：． （2）解：不满足，理由如下：， ，所以每个正方形的4个顶点处“○”中的数的和都是2，与（1）中不相同． （3）解：由题意得：， ∴，∴，， ∴，故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$