专题05 有理数的加法与减法-2025年小升初数学无忧衔接（苏科版2024）

专题05.有理数的加法与减法 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新课轻松学…………………………………………………………………………………………………………..2 新知速通……………………………………………………………………………………………………………..3 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..4 题型1、有理数的加法运算 3 题型2、有理数加法法则的辨析 5 题型3、有理数加法的运算律 6 题型4、有理数的减法运算 9 题型5、有理数减法法则的辨析 10 题型6、有理数加减法统一成加法 11 题型7、有理数的加减混合运算 12 题型8、有理数加减混合运算中的简便计算 14 题型9、有理数加减法混合运算的实际应用 18 题型10、有理数加减混合运算的新定义 21 基础通关 24 拓展提优 31 1．理解有理数加减法的意义，掌握有理数加减法法则，正确进行有理数加减法运算； 2．理解有理数加法运算律，并能运用运算律简化运算； 3．经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数加法法则的合理性； 4．理解省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式，并会计算； 5．会进行有理数的加减混合运算并解决一些实际问题； 6. 感知数学知识源于生活，并应用于生活，渗透“化归”等数学思想。 【思考1】一间0°C冷藏室连续两次改变温度： (1) 第一次上升4°C，接着再上升2°C； (2) 第一次下降4°C，接着再下降2°C； (3) 第一次下降4°C，接着再上升2°C； (4) 第一次下降4°C，接着再上升2°C。 问：连续两次变化使温度共上升了多少摄氏度? 注意： (1)上升：下降4°C，即上升-4°C；下降2C，即上升- 2°C；(2)共：对连续两次温度变化进行求和； （3）可借助温度计（或数轴）理解。 【思考2】下列是江苏南京连续四天的天气情况，请问哪一天的温差最大？ 7月11日 11月12日 11月13日 11月14日 多云，南风级 阵雨，北风级 阵雨，北风级 晴，西北风级 【加减号的历史】加减法最早出现在人类社会的早期阶段，但是，加减法的符号真正被广泛运用是在十七世纪，在那之前运算符号都是比较麻烦的。1514年，荷兰的赫克首次用“＋”表示加法，用“-”表示减法。1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”和“- ”表示加减，后来又经过法国数学家韦达（Vieta）的宣传和提倡，才开始普及，直到1630年，才得到大家的公认，并被广泛采用。 1.有理数加法的定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。 2.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，且把绝对值相加；（2）异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，且用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数。 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则；3）如果a+b＝0，那么b，a互为相反数。 3.运算律： 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 4. 有理数减法的定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 5. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 6. 有理数的加减混合运算步骤：1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；3）再根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 7．省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式 可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。 题型1、有理数的加法运算 【解题技巧】1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则； 例1．（24-25七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 例2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1表示算式，则图2表示的算式为 ． 变式1．（2025·江苏泰州·一模）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）比大3的数是 ． 题型2、有理数加法法则的辨析 【解题技巧】有理数加法的法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数． 例1．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）如果两个有理数的和是负数那么这两个数（   ） A．一定都是负数 B．一定是0与一个负数 C．一定是一个正数与一个负数 D．可能是一个正数与一个负数，可能都是负数，也可能是0和一个负数 变式1．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的个数有：①两个有理数相加，它们的和一定大于每一个加数；②一个正数与一个负数相加一定得0；③绝对值是它本身的数是非负数；④表示的数一定是负数． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 变式2．（24-25七年级上·重庆·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 变式3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 题型3、有理数加法的运算律 【解题技巧】有理数常见简算方法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 例1．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是嘉淇计算的过程，现在运算步骤后的括号内填写运算依据，其中不正确的是（    ） 解：原式（①） （②） （③） （④） ． A．①是有理数减法法则 B．②是分配律 C．③是加法结合律 D．④是有理数加法法则 例2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：(1)； (2)；(3)． 变式1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算最好的方法是（    ） A．按顺序进行 B．运用乘法交换律 C．运用加法结合律 D．运用加法交换律和结合律 变式2．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)；(2)． 变式3．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式4．（23-24七年级上·广东·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 题型4、有理数的减法运算 【解题技巧】几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 例1．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）计算 (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9) 变式1．（24-25七年级上·广东·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2025·吉林长春·一模）计算的结果是（　　） A．2 B． C．8 D． 变式3．（24-25七年级上·广东·期中）比小1的数是（    ） A． B． C．4 D．2 变式4．（24-25七年级上·江苏·期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4) 题型5、有理数减法法则的辨析 【解题技巧】有理数减法的法则：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 例1．（24-25·山东淄博·七年级统考期中）下列说法中，正确的是（    ） A．减去一个数，等于加上这个数的相反数 B．被减数的绝对值大于减数的绝对值，其差必为正数 C．零减去一个有理数，差一定是负数 D．两个数的差必小于零 变式1．（24-25·广东·七年级期末）（多选题）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2.（24-25·广东·七年级校联考阶段练习）下面说法中，正确的是（    ） A．两个有理数的和一定比这两个有理数的差大； B．两个有理数的差一定小于被减数； C．零减去一个有理数等于这个有理数的相反数； D．绝对值相等的两数之差为零． 题型6、有理数加减法统一成加法 【解题技巧】省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式 可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。 有理数加减法统一成加法的两种方法：①先把加减法统一成加法，再省略括号和加号；②利用同号得正，异号得负口诀省略括号和加号的形式。 例1.（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）把写成省略加号的代数和的形式是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）把改写成只含加法的式子为 ． 变式2．（24-25七年级上·河北邢台·期中）算式“”的正确读法是（   ） A．5､6､7､2的和 B．减5加6减7减2 C．负5､正6､减7､减2的和 D．负5､正6､负7､负2的和 题型7、有理数的加减混合运算 【解题技巧】有理数的混合运算步骤： 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 例1．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）计算： (1)，(2) 变式1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 变式2．（24-25七年级上·重庆·期中）计算：(1)；(2) 变式3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算 (1)； (2) 题型8、有理数加减混合运算中的简便计算 【解题技巧】运用运算律简化计算常见方法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 例1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6)； (7)； (8) 变式1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） (第三步) (第四步) 根据小敏的计算过程，回答下列问题： (1)小敏在进行第二步计算时，运用了加法的______律、______律； (2)请指出她从第______步开始出现错误；(3)请你写出正确的解题过程． 变式2．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)． (4)． 变式3．（24-25·广西·七年级月考中）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型9、有理数加减法混合运算的实际应用 【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可。 例1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图是我市一月份某一天的天气预报，该天最高气温比最低气温高（　　） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，16，，24，，32分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（   ） A．或 B．或 C．4或 D．4或 例3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）生活中，通常用24时计时法表示具体时间与之相关，全球共分为24个时区，相邻两个时区的时间相差1小时，以英国格林威治所在的本初子午线为基准，在格林威治以东的地区，时差以“”标记，在格林威治以西的地区，时差以“”标记，下表是各城市与格林威治的时差： 城市 北京 纽约 悉尼 莫斯科 与格林威治时差（时） 例如：格林威治12时，对应北京当地时间20时，对应纽约当地时间8时． (1)莫斯科和纽约的时差是多少小时？(2)若在悉尼的小明22时打电话给在纽约的小亮，则纽约当地时间是几时？(3)小明将在11月14日21时乘坐北京直飞悉尼的飞机，经过12小时抵达，此时悉尼当地时间为11月几日的几时？ 变式1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）甲地的平均海拔为，乙地平均海拔比甲地高，则乙地的平均海拔为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）小王在便利店买东西，他离开时发现便利店的时钟指向3点55分．回到家，小王发现家里的时钟已经是4点10分，但他同时发现把手机忘在便利店了，他立即以同样的速度返回去拿．到便利店时，他发现店内的时钟指向4点15分．若小王家里的时钟是准确的，则便利店的时钟的走时情况是（   ） A．快了5分钟 B．慢了5分钟 C．快了10分钟 D．慢了10分钟 变式3．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）现将10个数字按图所示排成一个圈，并设置了一种数字信息的加密规则：加密钥匙为“”它代表把明文n换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字．例如明文是3，对应的密文是9．若收到的密文是2024，那么通过解密，它对应的明文是 ．（明文是0~9之间的数字） 题型10、有理数加减混合运算的新定义 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题. 例1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）定义：对于一个数x，我们把称作x的相伴数，若，则；若，则，例：。根据理解，解答下列问题：(1) ；(2)当时，有，试求的值；(3)化简：． 例2．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）对于有理数a、b定义一种新运算“”，例如：．(1)填空：______，______，(2)若，则______； (3)判断“”运算是否满足交换律，请说明理由． 变式1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）规定表示不超过a的最大整数，例如：，，若，，则在此规定下的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 变式2．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）阅读下列内容，并完成相关的问题． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）”，然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行了运算的算式：；；；；；； 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)模仿计算：________；_______；________；_______； (2)拓展计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） 我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你选择加法结合律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举一个例子验证． 1．（2025·江苏苏州·一模）计算（   ） A．1 B． C．0 D． 2．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）若，且，则的值是（　　） A．10或 B．3或4 C．4或10 D．3或 3．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，数轴上的A、B两点分别表示有理数a、b，下列式子中不正确的是（   ） A． B． C． D． 4.（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列各式的值等于5的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，，为有理数，且，，则，，满足的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 7．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）小磊在解题时，将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 8．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图是2024年扬州市广陵区连续的5天的天气情况，12月 日最高温度和最低温度的差距最大． 9．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）设【x】表示不超过x的整数中的最大的整数，如：【】＝1，【】＝，则【】-【】＝ ． 10．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）计算：(1)；(2)； (3)；(4)．(5) 11．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 12．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）【阅读理解】小明发现，不计算结果，也可根据绝对值的性质去掉绝对值符号，如：；；；． 【尝试应用】根据上述规律，去掉下列各式的绝对值符号： （1）______；（2）______； 【深入研究】有理数、在数轴上的位置如图所示，则______； 【解决问题】用简便的方法计算： 14．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路学生改编了下列几题： (1)计算： ①__________；②__________． (2)蚂蚁在数轴的原点O处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位…按照这个规律，第2024次爬行后蚂蚁在数轴什么位置？ 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，将，，，，，，，，分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在，，分别表示其中的一个数，则的值为(   ) A．1 B． C．0 D． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）有这样一类三位数，它们的各位数字之和等于，如的各位数字之和是，像这样的三位数共有 个． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 4．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）材料：式子“ ”由于较长，书写不方便，为了简便，可以表示为 ，这里“”是求和的符号．例如“ ”用“”可以表示为，“ ”用“”可以表示为．(1)“ ”用“”可以表示为 ； (2)把写成加法的形式是 ；(3)根据材料，计算：； (4)根据材料，探究：若为常数，请问，这个结论正确吗，请说明理由． 5.（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数． (1)______；______．(2)计算： (3)如果是有理数，求的值． 6．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为上沿着网格线运动．它从A处出发去看望、、处的其他甲虫．规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．如从A到记为：，从到A记为：，括号内第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中， (1) ， ； ， ．(2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程； (3)若这只甲虫从A处去甲虫处的行走路线一次为，，，，请在图中标出的位置，并计算该甲虫走过的路程． 7．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 8．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换 (1)平移运动:①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______． A、       B、 C、       D、 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)翻折变换①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示______的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示的数是__________，点表示的数是__________． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05.有理数的加法与减法 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新课轻松学…………………………………………………………………………………………………………..2 新知速通……………………………………………………………………………………………………………..3 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..4 题型1、有理数的加法运算 3 题型2、有理数加法法则的辨析 5 题型3、有理数加法的运算律 6 题型4、有理数的减法运算 9 题型5、有理数减法法则的辨析 10 题型6、有理数加减法统一成加法 11 题型7、有理数的加减混合运算 12 题型8、有理数加减混合运算中的简便计算 14 题型9、有理数加减法混合运算的实际应用 18 题型10、有理数加减混合运算的新定义 21 基础通关 24 拓展提优 31 1．理解有理数加减法的意义，掌握有理数加减法法则，正确进行有理数加减法运算； 2．理解有理数加法运算律，并能运用运算律简化运算； 3．经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数加法法则的合理性； 4．理解省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式，并会计算； 5．会进行有理数的加减混合运算并解决一些实际问题； 6. 感知数学知识源于生活，并应用于生活，渗透“化归”等数学思想。 【思考1】一间0°C冷藏室连续两次改变温度： (1) 第一次上升4°C，接着再上升2°C； (2) 第一次下降4°C，接着再下降2°C； (3) 第一次下降4°C，接着再上升2°C； (4) 第一次下降4°C，接着再上升2°C。 问：连续两次变化使温度共上升了多少摄氏度? 注意： (1)上升：下降4°C，即上升-4°C；下降2C，即上升- 2°C；(2)共：对连续两次温度变化进行求和； （3）可借助温度计（或数轴）理解。 【思考2】下列是江苏南京连续四天的天气情况，请问哪一天的温差最大？ 7月11日 11月12日 11月13日 11月14日 多云，南风级 阵雨，北风级 阵雨，北风级 晴，西北风级 【加减号的历史】加减法最早出现在人类社会的早期阶段，但是，加减法的符号真正被广泛运用是在十七世纪，在那之前运算符号都是比较麻烦的。1514年，荷兰的赫克首次用“＋”表示加法，用“-”表示减法。1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”和“- ”表示加减，后来又经过法国数学家韦达（Vieta）的宣传和提倡，才开始普及，直到1630年，才得到大家的公认，并被广泛采用。 1.有理数加法的定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。 2.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，且把绝对值相加；（2）异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，且用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数。 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则；3）如果a+b＝0，那么b，a互为相反数。 3.运算律： 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 4. 有理数减法的定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 5. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 6. 有理数的加减混合运算步骤：1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；3）再根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 7．省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式 可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。 题型1、有理数的加法运算 【解题技巧】1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则； 例1．（24-25七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【详解】（1）解：=+（20-12）； （2）解：=-（8+32）； （3）解：=-（）； （4）解：=-（）； （5）解：； （6）解：==-（3+54）+=-57+=-（57-）； 例2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1表示算式，则图2表示的算式为 ． 【答案】 【详解】解：由图得，．故答案为：． 变式1．（2025·江苏泰州·一模）根据有理数加法法则，计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：；，故A选项错误不符合题意； ，故B选项错误不符合题意；，故C选项错误不符合题意； ，故D选项正确，符合题意；故选：D． 变式2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）比大3的数是 ． 【答案】1 【详解】解：根据题意可知：，故答案为：1． 题型2、有理数加法法则的辨析 【解题技巧】有理数加法的法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数． 例1．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）如果两个有理数的和是负数那么这两个数（   ） A．一定都是负数 B．一定是0与一个负数 C．一定是一个正数与一个负数 D．可能是一个正数与一个负数，可能都是负数，也可能是0和一个负数 【答案】D 【详解】解：如果两个有理数的和是负数那么这两个数可能是一个正数与一个负数，例如，可能都是负数，例如，也可能是0和一个负数，例如，故D正确．故选：D． 变式1．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的个数有：①两个有理数相加，它们的和一定大于每一个加数；②一个正数与一个负数相加一定得0；③绝对值是它本身的数是非负数；④表示的数一定是负数． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【详解】解：①，和2不大于加数3，①是错误的； 从上式还可看出一个正数与一个负数相加不一定得0，②是错误的． 绝对值是它本身的数是0和正数，即是非负数，③是正确的； 表示的数可以是负数，也可以是0或正数，④是错误的； 综上所述：正确的是③，共1个．故选：C 变式2．（24-25七年级上·重庆·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 变式3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列叙述正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：A、若，且，则，而，故此选项不符题意； B、当，，则，但，故此选项不符题意； C、若，，则，故此选项符题意； D、若，，则，但，故此选项不符题意；故选：C． 题型3、有理数加法的运算律 【解题技巧】有理数常见简算方法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 例1．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是嘉淇计算的过程，现在运算步骤后的括号内填写运算依据，其中不正确的是（    ） 解：原式（①） （②） （③） （④） ． A．①是有理数减法法则 B．②是分配律 C．③是加法结合律 D．④是有理数加法法则 【答案】B 【详解】解：由题目中的解答过程可知，第二步的依据是加法的交换律，而不是分配律．故选：B． 例2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：(1)； (2)；(3)． 【答案】(1)10(2)(3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 变式1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算最好的方法是（    ） A．按顺序进行 B．运用乘法交换律 C．运用加法结合律 D．运用加法交换律和结合律 【答案】D 【详解】解：计算最好的方法是运用加法交换律和结合律变形为 计算．故选∶ D． 变式2．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)2(4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 变式4．（23-24七年级上·广东·阶段练习）阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型4、有理数的减法运算 【解题技巧】几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 例1．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）计算 (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)． 【详解】（1）解：；（2）解：； （3）解：；（4）解：； （5）解：；（6）解：； （7）解：；（8）解：；（9）解：； 变式1．（24-25七年级上·广东·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算正确，故符合题意； 故选：D ． 变式2．（2025·吉林长春·一模）计算的结果是（　　） A．2 B． C．8 D． 【答案】D 【详解】解：原式；故选：D． 变式3．（24-25七年级上·广东·期中）比小1的数是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【详解】解：由题意可得：，即比小1的数是，故选：B． 变式4．（24-25七年级上·江苏·期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：=； （2）解；=； （3）解：； （4）解；． 题型5、有理数减法法则的辨析 【解题技巧】有理数减法的法则：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 例1．（24-25·山东淄博·七年级统考期中）下列说法中，正确的是（    ） A．减去一个数，等于加上这个数的相反数 B．被减数的绝对值大于减数的绝对值，其差必为正数 C．零减去一个有理数，差一定是负数 D．两个数的差必小于零 【答案】A 【详解】A.减去一个数，等于加上这个数的相反数，正确； B.如，-7-2=-9是负数，所以被减数的绝对值大于减数的绝对值，其差必为正数错误； C.如0-(-5)=5，所以零减去一个有理数，差一定是负数错误； D.如5-3=2>0，所以两个数的差必小于零错误；故选A． 变式1．（24-25·广东·七年级期末）（多选题）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】解：如图可知，，，且离原点更近一些，故： A、正确，符合题意；B、由图知，故错误，不符合题意； C、因为，所以，故C错误，不符合题意； D、因为，所以，且离原点更近一些，则，故，符合题意；故选AD． 变式2.（24-25·广东·七年级校联考阶段练习）下面说法中，正确的是（    ） A．两个有理数的和一定比这两个有理数的差大； B．两个有理数的差一定小于被减数； C．零减去一个有理数等于这个有理数的相反数； D．绝对值相等的两数之差为零． 【答案】C 【详解】解：A、两个有理数的和不一定比这两个有理数的差大，故本选项说法错误，不符合题意； B、两个有理数的差一定不小于被减数，故本选项说法错误，不符合题意； C、零减去一个有理数等于这个有理数的相反数，故本选项说法正确，符合题意； D、绝对值相等的两数之差不一定为零，如3与﹣3的绝对值相等，但3－（﹣3）=6，故本选项说法错误，不符合题意 ．故选：C． 题型6、有理数加减法统一成加法 【解题技巧】省略加号和括号的有理数加减混合运算的算式 可以把加号和括号省略，改写成几个正数或负数的形式（利用法则）。 例如：（－2）+（+3）+（－5）+（+4）=－2+3－5+4 这个算式可以读作“负2、正3、负5、正4的和”，或读作“负2加3加负5加4”。 有理数加减法统一成加法的两种方法：①先把加减法统一成加法，再省略括号和加号；②利用同号得正，异号得负口诀省略括号和加号的形式。 例1.（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）把写成省略加号的代数和的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知，把写成省略括号的和的形式是，故选：A． 变式1．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）把改写成只含加法的式子为 ． 【答案】 【详解】解：．故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·河北邢台·期中）算式“”的正确读法是（   ） A．5､6､7､2的和 B．减5加6减7减2 C．负5､正6､减7､减2的和 D．负5､正6､负7､负2的和 【答案】D 【详解】解：算式正确读法为负5，正6，负7，负2的和．故选：D． 题型7、有理数的加减混合运算 【解题技巧】有理数的混合运算步骤： 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 例1．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）计算： (1)，(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2．（24-25七年级上·重庆·期中）计算：(1)；(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变式3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算 (1)；(2) 【答案】(1)(2)1.5 【详解】（1）解： ； （2）解： . 题型8、有理数加减混合运算中的简便计算 【解题技巧】运用运算律简化计算常见方法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 例1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6)； (7)； (8) 【答案】(1)8(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 变式1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） (第三步) (第四步) 根据小敏的计算过程，回答下列问题： (1)小敏在进行第二步计算时，运用了加法的______律、______律； (2)请指出她从第______步开始出现错误；(3)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)交换；结合(2)三(3)见解析 【详解】（1）解：小敏在进行第二步计算时，运用了加法的交换律、结合律；故答案为：交换；结合． （2）解：她从第三步开始出现错误；故答案为：三． （3）解：原式 ． 变式2．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1） （2） （3） （4） 变式3．（24-25·广西·七年级月考中）计算（能简算的要简算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型9、有理数加减法混合运算的实际应用 【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可。 例1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图是我市一月份某一天的天气预报，该天最高气温比最低气温高（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：；故选A． 例2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，16，，24，，32分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（   ） A．或 B．或 C．4或 D．4或 【答案】A 【详解】解：∵， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为8，∴由横线得：，∴， 如图，设空白位置两个数分别为a、b, ∴由内圈得：，解得： ∵，即∴或， 当时，，此时， 当时，，此时．∴的值为或．故选：A． 例3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）生活中，通常用24时计时法表示具体时间与之相关，全球共分为24个时区，相邻两个时区的时间相差1小时，以英国格林威治所在的本初子午线为基准，在格林威治以东的地区，时差以“”标记，在格林威治以西的地区，时差以“”标记，下表是各城市与格林威治的时差： 城市 北京 纽约 悉尼 莫斯科 与格林威治时差（时） 例如：格林威治12时，对应北京当地时间20时，对应纽约当地时间8时． (1)莫斯科和纽约的时差是多少小时？(2)若在悉尼的小明22时打电话给在纽约的小亮，则纽约当地时间是几时？(3)小明将在11月14日21时乘坐北京直飞悉尼的飞机，经过12小时抵达，此时悉尼当地时间为11月几日的几时？ 【答案】(1)莫斯科和纽约的时差是7小时 (2)纽约当地时间是7时 (3)经过12小时抵达，此时悉尼当地时间为11月15的12时 【详解】（1）解：（小时），答：莫斯科和纽约的时差是7小时； （2）解：悉尼和纽约的时差为（小时），（时）答：纽约当地时间是7时； （3）解：11月14日21时乘坐北京直飞悉尼的飞机，经过12小时后是北京时间11月15日9时，北京和悉尼的时差为（小时），∴（时）， 答：经过12小时抵达，此时悉尼当地时间为11月15的12时． 变式1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）甲地的平均海拔为，乙地平均海拔比甲地高，则乙地的平均海拔为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得，乙地的平均海拔为．故选：B． 变式2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）小王在便利店买东西，他离开时发现便利店的时钟指向3点55分．回到家，小王发现家里的时钟已经是4点10分，但他同时发现把手机忘在便利店了，他立即以同样的速度返回去拿．到便利店时，他发现店内的时钟指向4点15分．若小王家里的时钟是准确的，则便利店的时钟的走时情况是（   ） A．快了5分钟 B．慢了5分钟 C．快了10分钟 D．慢了10分钟 【答案】B 【详解】解：按照便利店的时间，小王从便利店到家再返回便利店共用时20分钟， 所以小王从便利店到家用时10分钟，所以小王到家的时间应是4点5分， 而小王家准确时间是4点10分，且（分钟），所以便利店的时间比准确时间慢了5分钟；故选：B． 变式3．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）现将10个数字按图所示排成一个圈，并设置了一种数字信息的加密规则：加密钥匙为“”它代表把明文n换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字．例如明文是3，对应的密文是9．若收到的密文是2024，那么通过解密，它对应的明文是 ．（明文是0~9之间的数字） 【答案】6468 【详解】解：∵“”代表“把明文n换成图中从它开始顺时针跳过5个数字的那个数字”， ，，，． 故它对应的明文是6468．故答案为：6468． 题型10、有理数加减混合运算的新定义 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题. 例1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）定义：对于一个数x，我们把称作x的相伴数，若，则；若，则，例： 根据理解，解答下列问题：(1) ；(2)当时，有，试求的值；(3)化简：． 【答案】(1)(2)(3)x或或 【详解】（1）解：，故答案为：； （2）解：当时，有．因为，所以，即． （3）解：当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，的值为x或或． 例2．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）对于有理数a、b定义一种新运算“”，例如：． (1)填空：______，______，(2)若，则______； (3)判断“”运算是否满足交换律，请说明理由． 【答案】(1)，6(2)(3)满足交换律，理由见解析 【详解】（1）解：． ．故答案为：，6． （2）解：∵，∴，∴，故答案为：． （3）解：满足交换律，理由如下： ①当时，则，， ∴，， ∴，此时“”运算满足交换律； ②当时，∴， ，∴，此时“”运算满足交换律； ③当时，则，，∴， ，∴， 此时“”运算满足交换律；综上，“”运算满足交换律． 变式1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）规定表示不超过a的最大整数，例如：，，若，，则在此规定下的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】解：∵，，∴，，∴，故答案为：． 变式2．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）阅读下列内容，并完成相关的问题． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）”，然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行了运算的算式：；；；；；； 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了”． 聪明的你也明白了吗？ (1)模仿计算：________；_______；________；_______； (2)拓展计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） 我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你选择加法结合律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举一个例子验证． 【答案】(1)；；12；(2)；加法的交换律仍然适用；结合律不适用；验证见解析 【详解】（1）解：根据题意可得：两数进行（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的绝对值， ∴；； ；； （2）解：； 加法的交换律仍然适用， 例如：，，∴，故加法的交换律仍然适用． 结合律不适用， 举例：，，，∴结合律不适用． 1．（2025·江苏苏州·一模）计算（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【详解】解：，故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）若，且，则的值是（　　） A．10或 B．3或4 C．4或10 D．3或 【答案】C 【详解】解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 当时，，当时，， 综上所述，的值为4或10．故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，数轴上的A、B两点分别表示有理数a、b，下列式子中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由数轴得，且，∴，，， 故选A选项错误，符合题意，故选：A． 4.（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列各式的值等于5的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意．故选：C． 5．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知，，为有理数，且，，则，，满足的条件是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：∵，∴，，，∴， 又∵，∴，故选：C． 6．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 【答案】D 【详解】解：A、两个有理数的差为正数，则被减数一定大于减数，两个数中不一定有正数，比如；原说法错误，不符合题意；B、，不一定小于，例如：，；原说法错误，不符合题意；C、a为任何有理数，则必为非正数；原说法错误，不符合题意； D、若，则a为非正数；原说法正确，符合题意；故选D． 7．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）小磊在解题时，将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 【答案】B 【详解】解：将式子先变成，再计算结果，则小磊运用了加法交换律和加法结合律，故选：． 8．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图是2024年扬州市广陵区连续的5天的天气情况，12月 日最高温度和最低温度的差距最大． 【答案】9 【详解】解：，，，， ∵，∴12月9日最高温度和最低温度的差距最大，故答案为：． 9．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）设【x】表示不超过x的整数中的最大的整数，如：【】＝1，【】＝，则【】-【】＝ ． 【答案】 【解答】解：【】【】，故答案为：． 10．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）计算：(1)；(2)； (3)；(4)．(5) 【答案】(1)3(2)(3)(4)1 (5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． (5)解：原式 11．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)0(2)(3)6(4)(5)8(6)(7)(8) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 12．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3(2)(3)(4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式＝ ＝ ； （3）原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （4）原式＝ ＝ ． 13．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）【阅读理解】小明发现，不计算结果，也可根据绝对值的性质去掉绝对值符号，如：；；；． 【尝试应用】根据上述规律，去掉下列各式的绝对值符号： （1）______；（2）______； 【深入研究】有理数、在数轴上的位置如图所示，则______； 【解决问题】用简便的方法计算： 【答案】[尝试应用]（1）；（2）； [深入研究]；[解决问题] 【详解】[尝试应用]（1），故答案为：． （2），故答案为：． [深入研究] 根据数轴中，的位置得出，，且， ，，，；故答案为：； [解决问题]解：原式． 14．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路学生改编了下列几题： (1)计算： ①__________；②__________． (2)蚂蚁在数轴的原点O处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位…按照这个规律，第2024次爬行后蚂蚁在数轴什么位置？ 【答案】(1)①；②；(2)第2024次爬行后蚂蚁在数轴上的． 【详解】（1）解：（1）①； ②；故答案为：、； （2）根据题意知第2024次爬行后蚂蚁在数轴上的 ． 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，将，，，，，，，，分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在，，分别表示其中的一个数，则的值为(   ) A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【详解】解：，，，， 解得：，，，．故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）有这样一类三位数，它们的各位数字之和等于，如的各位数字之和是，像这样的三位数共有 个． 【答案】15 【详解】解：当百位为5时，有500，共1个； 当百位为4时，有410，401共2个； 当百位为3时，有320、302，311，共3个； 当百位为2时，有230、203、221，212共4个； 当百位为1时，有140、104、131、113，122共5个。 一共：（个），故答案为：15。 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 【答案】或 【详解】解∶这8个数字的和是，横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都等于， 根据题意有∶，解得； 根据内圈正方形的4个数字之和等于，得内圈右边的圆圈应填3，则或． 因此，或．故答案为：或． 4．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）材料：式子“ ”由于较长，书写不方便，为了简便，可以表示为 ，这里“”是求和的符号．例如“ ”用“”可以表示为，“ ”用“”可以表示为． (1)“ ”用“”可以表示为 ； (2)把写成加法的形式是 ；(3)根据材料，计算：； (4)根据材料，探究：若为常数，请问，这个结论正确吗，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)(4)正确，详见解析 【详解】（1）解：，故答案为：； （2）解：，故答案为：； （3）解： ； （4）解：． 5.（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数． (1)______；______．(2)计算： (3)如果是有理数，求的值． 【答案】(1)，(2)(3)0或 【详解】（1）根据表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数可知： ；；故答案为：，； （2）原式； （3）是有理数，分2种情况讨论： ①为整数时，； ②不为整数，设的整数部分为时， ，； ，； 综上所述：的值为0或. 6．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为上沿着网格线运动．它从A处出发去看望、、处的其他甲虫．规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．如从A到记为：，从到A记为：，括号内第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中， (1) ， ； ， ． (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程； (3)若这只甲虫从A处去甲虫处的行走路线一次为，，，，请在图中标出的位置，并计算该甲虫走过的路程． 【答案】(1)，(2)10(3)图见解析，路程为15 【详解】（1），；故答案为，； （2）； （3）点如图所示． 路程为： 7．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 【答案】(1)9，3(2)6，5，4(3)；或 【详解】（1）解：（1）第3行上的数字和等于， 因此，,故答案为：9，3； （2）解：根据题意，每行、列和对角线上的数字和都等于15， 因此，，，故答案为：6，5，4； （3）解：根据题意，，解得； 将中间的正方形的未知顶点设为，则，解得； 因此或，故答案为：；或． 8．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换 (1)平移运动:①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______． A、       B、 C、       D、 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)翻折变换①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示______的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示的数是__________，点表示的数是__________． 【答案】(1)①D；②1012(2)①；②，1013 【详解】（1）解：①根据移动过程可得，故选：D． ②机器人跳动过程可以用算式表示为： 当机器人跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012故答案为：1012． （2）解：①表示的点与表示3的点重合折叠中点表示的数为 表示2024的点与表示的点重合 故答案为：． ②折叠中点表示的数为1， 点所表示的数为：;点B所表示的数为： 故答案为：，1013； 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$